Дифференциальные уравнения Лекция 19. Дифференциальные уравнения первого порядка

План лекции

19.1. Задачи, приводящие к дифференциации уравнениям.

19.2. Основные понятия о дифференциальных уравнениях.

19.3. Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

19.4. Однородные уравнения.

19.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

19.6. Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

19.7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

19.1

В различных областях науки и техники весьма часто выражаются задачи, для решения которых требуется решить одно или несколько уравнений, содержащих производные искомых функций. Такие уравнения называются дифференциальными. Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Задание 1.на плоскости ХОУ найти кривую, проходящую через О(0;0), у которой угловой коэффициент касательной, проведен к любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания.

Пусть у = f(x) – уравнение искомой кривой. По условию известно, что в каждой точке M(x;f(x)) есть касательная к этой кривой, угловой коэффициент которой, то есть f^/(x) равняется 2х. Найти уравнение кривой.

Таким образом, имеем (1).

Из (1) следует, что y = f(x) есть первообразная для 2х. Следовательно, (2).

Из (2) следует, что дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, то есть уравнению (1) удовлетворяет не одна кривая, а бесконечное множество парабол. Чтобы из этого множества кривых выбрать нужную кривую, надо воспользоваться тем, что искомая кривая проходит через точку О(0;0). Следовательно, координаты О должны удовлетворять (2). Поэтому О = О + С, то есть С = О. Значит, искомая кривая будет .

Задание 2. Найти закон уравнения свободного падающего в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю. Скорость в этом случае выражается, как известно, формулой .

Решение.

(3) следовательно, S – первообразная для gt, следовательно . Имеем.следовательно, то, то есть.

Задание 3. Пусть тело имеющее температуру Q₀ в момент времени t=0, помещено в среду температуры Q(Q₀>Q). Требуется найти закон, по которому изменяется температура тела в зависимости от времени. Искомая температура есть функция от времени, которую обозначают через Q(t).

Из функции известно, что скорость движения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Учитывая, что функция Q(t) убывает, в силу максимального смысла произведения получаем , гдеk – коэффициент пропорциональности. ,.

Заметим, что уравнение (4) при Q=0 так же записывает радиоактивный распад.

В рассмотренных задачах мы приходим к дифференциации уравнения вида . Это уравнение является простейшим дифференциальным уравнением. Однако в большинстве случаев естественные и технические процессы описываются гораздо более общими и сложными дифференциальными уравнениями.

19.2.

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения: F(x,y.y^/,…y⁽ⁿ⁾) = 0 (1).

Причем F(x,y.y^/,…y⁽ⁿ⁾) может не зависеть от некоторых величин x,y.y^/,… Но если это уравнение n-го порядка, то от y⁽ⁿ⁾ обязательно зависит.

Например, у^/ + ху = 0, у^//+2у^/ = 1,

1-го порядка 2-го порядка 1-го порядка.

Всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение (1), обращает его в тождество, называетсярешением этого уравнения.

График решения обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка будем называть интегральной кривой этого уравнения.

Например, является ли функция y = 1+2e^-4x решением дифференциального уравнения а) , б). Найдему^/ и у^// и подставим у, у^/, у^// в данные уравнения:

,

а) б)

0 = 0 – верно - ложно.

Следовательно, данная функция решения дифференциального уравнения а) не является решением дифференциального уравнения б).

Дифференциальное уравнение первого порядка называется соотношение вида F(x,y,y^/) = 0 (2) - в полном виде.

Относительно y^/: - в явном или естественном его можно разрешить. (2^/).

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , зависящая от переменойx и от произвольной постоянной C, обращающая уравнение (2) в верное равенство.

Иногда решение уравнения может быть получено и неявной форме: Ф(х,у,с) = 0 или Ф(х,у) = С.

Решить данное дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение в той или иной форме.

Решение, которое получается из общего решения при котором фиксированном значение произвольной постоянной C, называется частным решением.

Частное решение выделяется из общего с помощью так называемого начального условия.

Условие, что при х = х₀ функция у должна равняться заданному числу у₀ называется начальным условием.

Пример. По общему решению дифференциального уравнения у = сх² + х²sinx. Найти частное решение удовлетворяющее начальному условию

Тогда частное решение имеет вид: .

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка F(x,y,…y^/) = 0⁽¹⁾ называется функция , зависящая отn произвольных постоянных и образующая уравнение (1) в тождество.

Решение, получаемое из общего при закреплении постоянных С₁, С₂,,….С_n называются частными.

Пусть при заданном значении х = х₀ функция у и ее первые (n-1) производная принимают значения: . Эти условия называются начальными. С их помощью можно выделить из общего решения единственное частное решения.

Пример. По общему решению дифференциального уравнения . Найти частное отвечающее условию(так как в общем решении 2 постоянных, то это решение дифференциального уравнения 2-го порядка).

, ,

,,

- частное решение.

Остановимся далее на отдельных видах дифференциальных уравнений и методах их решения.

19.3.