Лабораторная работа 3. Представление чисел в позиционных системах счисления Теоретическое обоснование

Совокупность приемов наименования и записи чисел называется системой счисления. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом.

Если значение цифры или символа зависит от позиции в ряду цифр или символов изображающих число, то такая система счисления называется позиционной, в противном случае - непозиционной системой.

В любой системе счисления выбирается алфавит, представляющий собой совокупность некоторых символов (цифр или знаков), с помощью которого можно представить любое число. Если алфавит состоит из двух цифр 0 и 1, то система двоичная. В десятичной системе алфавит состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, …, 9. В восьмеричной - из восьми: 0, 1, 2, 3, …,7. В шестнадцатеричной - используется десять цифр 0, 1, 2, 3, …, 9 и буквы латинского алфавита A (обозначает цифру 10), B (11), C(12), D(13), E(14), F(15). Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе - разрядностью числа. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, а крайняя справа - младшего разряда.

Алгоритм перевода из 10-й системы в Р-ю (Р-целое, положительное число):

1. Целая и дробная части числа переводятся отдельно.

2. Целая часть числа последовательно делится нацело на величину Р и остатки от деления записываются, начиная с последнего как результат.

3. Дробная часть числа последовательно умножается на Р и целые значения записываются, начиная с первого как результат. Умножение выполняется до получения в дробной части 0 или с указанной точностью (по умолчанию – 6 знаков после запятой).

Пример 1. Перевести число Х=165,4₁₀ в 2-ю, 8-ю, 16-ю системы счисления.

Перевод целой и дробной части Х в 2-ю систему счисления:

165	2
-164	82	2					*	0,4	*	0,8	*	0,6	*	0,2	*	0,4	*	0,8
1	-82	41	2					2		2		2		2		2		2
	0	40	20	2				0,8		1,6		1,2		0,4		0,8		1,6
		1	-20	10	2
			0	-10	5	2
				0	-4	2	2
					1	-2	1
						0

Число Х в 2-ной системе счисления: Х= 165,4₁₀ =10100101,011001₂

Аналогично выполняется перевод в 8-ю и 16-ю системы.

165	8
-160	20	8
5	-16	2
	4

*	0,4	*	0,2	*	0,6	*	0,8	*	0,4	*	0,2
	8		8		8		8		8		8
	3,2		1,6		4,8		6,4		3,2		1,6

Число Х в 8-ной системе счисления: Х = 165,4₁₀ = 245,314631₈

165	16					*	0,4	*	0,4
-160	10	это	А				16		16
5							6,4		6,6

Число Х в 16-ной системе счисления: Х = 165,4₁₀ = А5,666…₁₆=А5,(6)₁₆

Перевод из Р-й системы в 10-ю (Р - целое, положительное число):

Любое число Х в позиционной системе счисления P можно представить в виде ряда:

где Х_Р – запись числа в системе счисления с основанием Р; х_i - целое положительное число, меньше Р; n – число разрядов в целой части числа;

m – число разрядов в дробной части числа.

Такая схема называется схемой Горнера.