Лабораторная работа 4. Двоичная арифметика

Основным недостатком использования двоичной системы счисления является необходимость перевода исходных числовых данных из десятичной системы счисления в двоичную, а результатов решения - из двоичной системы счисления в десятичную. Операции, связанные с переводами чисел в двоичную систему счисления и обратно, выполняются ЭВМ по специальным подпрограммам с использованием вспомогательной двоично-десятичной системы счисления. Все арифметические операции с двоичными числами сводятся к операции сложения и сдвига разрядов.

При этом числа представляются в прямом, обратном или дополнительном кодах.

Прямым кодом числа называется число, представленное в двоичном виде в разрядной сетке.

Обратный код получается инвертированием прямого кода числа, т. е. заменой нулей на единицы, а единицы на нули всех разрядов, кроме знакового.

Дополнительный код получается из обратного прибавлением единицы.

Сложение двоичных чисел

Сложение выполняется, начиная с младшего разряда, по правилам:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

При сложении трёх и более двоичных чисел необходимо внимательно следить за образующимися при сложении переносами в старшие разряды, поскольку эти единицы могут переходить не только в соседние старшие разряды, но и в более удалённые.

Пример: Вычислить сумму А+В, если А=60 В=25

Переведем оба числа в двоичную систему счисления и получим прямые коды для них. Для наглядности и так как числа небольшие возьмем 8-ми разрядные сетки.

60₁₀= 111100₂

25₁₀= 11001₂

		1 1
+	0	0 1 1 1 1 0 0	Прямой код числа 60
	0	0 0 1 1 0 0 1	Прямой код числа 25
	0	1 0 1 0 1 0 1	Прямой код результата

Результат положителен, переведем его в 10-ю систему:

1 0 1 0 1 0 1₍₂₎ =1*2⁶ +0*2⁵ +1*2⁴ + 0*2³ +1*2² +0*2¹ +1*2⁰= 64+16+4+1=85

^{6 5 4 3 2 1 0}

Вычисление разности.

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию арифметическо-логического устройства.

Рассмотрим пример: А-В= 988,15 – 547,58.

Данный пример можно представить, как сложение двух чисел: положительного А=988,15 и отрицательного В=-547,58. В полученном выражении В – отрицательное и по абсолютной величине меньше чем А.

Сложение обратных кодов.

В этом случае поступают следующим образом.

Отрицательное число В переводится из прямого в обратный код и складывается с числом А. После сложения в знаковом разряде получаемого числа появляется единица, которая переносится в младший разряд числа и складывается.

	0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1. 1 0 0 1 0 1 0
+	1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0. 0 1 1 0 1 0 1
	0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0. 0 0 1 0 0 1 1
+	10	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0. 1 0 0 1 0 0 0
		1
	0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0. 1 0 0 1 0 0 1

В_пр

В_об

А_пр

Сложение дополнительных кодов.

Число В переводится в дополнительный код, который получается путем образования обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Число В в обратном, дополнительном коде:

	0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1. 1 0 0 1 0 1 0	Впр
+	1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0. 0 1 1 0 1 0 1	Воб
		1
	1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0. 0 1 1 0 1 1 0	ВДоп

После этого вычисляется А+В_Доп. Получаемая в знаковом разряде дополнительная единица отбрасывается:

+	1	111111111111110111011100.0110110
	0	000000000000001111011100.0010011
	10	000000000000000110111000.1001001
	0	000000000000000110111000.1001001

Проверка результата переводом из двоичной системы счисления в десятеричную систему счисления.

А-В=988,15-547,58=440,57

Перевод числа с помощью схемы Горнера:

1 1 0 1 1 1 0 0 0,1 0 0 1 0 0 1₍₂₎ =1*2⁸+1*2⁷+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2^-1+1*2^-4+1*2^-7 ≈

^{8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7}

≈440,57

Вычисление разности В – А (А>B).

Сложение обратных кодов.

Отрицательное число А переводится из прямого в обратный код и складывается с числом В. Затем биты цифровой части результата инвертируется.

	0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0. 0 0 1 0 0 1 1
+	1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1. 1 1 0 1 1 0 0
	0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1. 1 0 0 1 0 1 0
	1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1. 0 1 1 0 1 1 0
	1	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0. 1 0 0 1 0 0 1

А_пр

А_об

В_пр

Сложение дополнительных кодов.

Число А переводится в обратный дополнительный код:

	0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0. 0 0 1 0 0 1 1	Апр
+	1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1. 1 1 0 1 1 0 0	Аоб
		1
	1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1. 1 1 0 1 1 0 1	АДоп

После этого вычисляется А_Доп+В, затем в прямой код инвертруются биты цифровой части результата и к младшему разряду прибавляется единица.

+	1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1. 1 1 0 1 1 0 1	АДоп
	0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1. 1 0 0 1 0 1 0	Впр
	1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1. 0 1 1 0 1 1 1
+	1	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0. 1 0 0 1 0 0 0
		1
	1	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0. 1 0 0 1 0 0 1

Проверка результата переводом из двоичной системы счисления в десятеричную систему счисления.

1 1 0 1 1 1 0 0 0.1 0 0 1 0 0 1 ₍₂₎ =1*2⁸ + 1*2⁷ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2^-1 +

^{8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4- 5 -6 -7}

1*2^-4+1*2^-7 ≈ -440,57