Illyustratsii_k_lektsiam_TsOS

Дисциплина:

Цифровая обработка сигналов – ЦОС

(иллюстрационный материал для лекций)

Сигналы и их спектральное представление

Основные типы сигналов

1

Математическая запись любого дискретного сигнала имеет вид:

∞

x(n) = ∑x(k)·δ(n −k)

k =0

Итак, согласно выражению (1) дискретный сигнал представляет сумму δ - функций, следующих с интервалом времени Т. Эти функции имеют амплитудные коэффициенты, равные отсчетам сигнала x(t) в точках дискретизации kT.

Обобщенная схема цифровой обработки аналоговых сигналов

Задачи ЦОС сигнала обычно сводятся к трем действиям:

–ввод цифрового сигнала, или преобразование входного аналогового сигнала в цифровую форму;

–обработка полученного массива данных с использованием различных алгоритмов;

–вывод полученного результата, или обратное преобразование цифрового сигнала в аналоговую форму.

Примеры некоторых дискретных сигналов

Единичный импульс ( δ -импульс) - δ -функция в дискретной форме:

Дискретизация непрерывных сигналов. Дискретные сигналы.

Обозначение дискретных сигналов x(nT), x(n), xn , {x0; x1; x2; …}.

∞

x(n) = ∑x(k)δ(n −k)

k =−∞

2

Различие спектров непрерывного и дискретного сигналов

Спектры непрерывных и дискретных сигналов

«Реальный» сигнал – сигнал, ограниченный по времени

«Идеальный» сигнал – сигнал, ограниченный по частоте

Спектр периодического сигнала

Спектр непрерывного сигнала

Спектр дискретного сигнала

3

Прямое и обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Линейные системы с постоянными параметрами (ЛПП-системы)

x(n) y(n)

ЛПП

Линейность – выполнение принципа суперпозиции

Постоянство параметров –

независимость параметров от времени (инвариантность от времени) x(n) → y(n)

x(n −n0 ) → y(n −n0 )

Импульсная характеристика - h(n)

x(n) y(n)

ЛПП

h(n) – реакция на δ(n)

x(n) → y(n)

x(n) = δ(n) → y(n) = h(n)

Система реализуема (физически реализуема)

h(n) = 0 при n < 0

Система устойчива

Необходимое и достаточное условие устойчивости системы:

∞

∑h(n) < ∞

n=−∞

4

∞

вход - x(n) = ∑x(m) δ(n −m)

m=−∞

Дискретная СВЕРТКА

Уравнение дискретной свертки y(n) = ∑n h(m) x(n −m)

m=0

Пример графического построения свертки (первый вариант)

Для КИХ-системы N=0

Примеры:

разностное уравнение первого порядка

y(n) =b0 x(n) +b1x(n −1) −a1 y(n −1)

Схема реализации разностного уравнения первого порядка

разностное уравнение второго порядка

y(n) = b0 x(n) +b1x(n −1) +b2 x(n −2) −a1 y(n −1) −a2 y(n −2)

Схема реализации разностного уравнения второго порядка

6

Представление дискретных сигналов и систем в частотной области

x(n) – дискретный сигнал

X (e jω) , X ( j ω) – комплексная спектральная плотность (спектр)

ДВПФ

Дискретное во времени преобразование Фурье (ДВПФ) x(n) X (e jω)

h(n) – импульсная характеристика ЦФ

H (e jω) , H ( j ω) – частотная характеристика ЛПП-системы (ЦФ)

с импульсной характеристикой h(n)

ДВПФ

h(n) H (e jω)

Прямое ДВПФ – ряд Фурье

∞

H (e jω) = ∑h(k)e− jωk

k =−∞

В общем случае H (e jω) – комплексная функция и может быть выражена через свои действительную и мнимую части

H (e jω) = Re(H (e jω))+ j Im(H (e jω))

или через модуль и аргумент

H (e jω) = H (e jω) e− j arg H (e jω )

Частотная характеристика H(ejω) является непрерывной функцией частоты.

Кроме того, это периодическая функция частоты ω с периодом 2π.

Поскольку H(ejω) – периодическая функция частоты, она может быть представлена в виде ряда Фурье:

∞

H (e jω) = ∑h(k)e− jωk ,

k=−∞

вкотором коэффициентами Фурье являются значения импульсной характеристики

СВОЙСТВО дискретное во времени преобразование Фурье от свертки

∞

y(n) = ∑h(k)x(n −k)

k =−∞

Y (e jω) = H (e jω) X (e jω).

7

Z-преобразование дискретного сигнала

преобразование Фурье дискретного времени – прямое ДВПФ

Z-преобразование

Z-преобразование X (z) дискретного сигнала x[n] определено только для области z, в которой степенной ряд (1) сходится.

Эта область сходимости включает в себя все значения z, находящиеся вне некоторого круга на комплексной z-плоскости, радиус которого r0 , который

называется радиусом сходимости, т.е. при r0 < z < ∞ ряд сходится.

Область сходимости степенного ряда

В области сходимости существует взаимно-однозначное соответствие между

Свойства Z-преобразования

1. Свойство линейности

Последовательность ax[n] +by[n] имеет Z-преобразование aX (z)+bY (z)

2. Свойство задержки

Последовательность x[n −m] имеет Z-преобразование z−m X (z)

z−m – множитель задержки

Элемент задержки

на входе x[n] Z −пр X (z) x(n) z -1 x(n-1)

Z −пр

на выходе x[n −1] z−1 X (z)

z−1 – передаточная функция элемента задержки на один отсчет

3. Свойство свертки

∞

Последовательность y[n] = x[n] h[n] = ∑x[m]h[n −m] - свертка

m=−∞

имеет Z-преобразование Y (z)= X (z)H (z)

8

Обратное Z-преобразование

Обратный переход от z–преобразования X(z) к последовательности x(n) определяется соотношением

Это обратное z–преобразование содержит интеграл по любому замкнутому контуру с направлением обхода против часовой стрелки, расположенному в области сходимости и окружающему начало координат.

Способы нахождения обратного Z-преобразования

1.Прямое вычисление с помощью теоремы о вычетах.

2.Разложение X (z) на простые дроби.

3.Разложение X (z) в степенной ряд.

1. Прямое вычисление с помощью теоремы о вычетах.

Для рациональных z–преобразований контурные интегралы вида (2) удобно вычислять с помощью теоремы о вычетах, согласно которой

где res X (z)zn−1 – вычет подынтегральной функции в полюсе z=pi

z=pi

Пусть a – полюс порядка m , тогда

2. Разложение X (z) на простые дроби.

Например, для рационального z–преобразования с однократными полюсами X(z) можно представить в форме

3. Разложение X (z) в степенной ряд.

Если z–преобразование имеет вид степенного ряда, можно заметить, что значение x(n) последовательности есть коэффициент при z-n в этом ряде

∞

X (z) = ∑x(n)z−n .

n=0

X (z) = x(0)z−0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 +...

X (z) = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 +...

Если X(z) дается в замкнутом виде, то часто можно вывести соответствующий степенной ряд или использовать известное разложение в ряд.

Например, представление в виде степенного ряда можно получить

непосредственным делением числителя на знаменатель

X (z) = 6z2 −4z1 +2 z2 + z −1

Передаточная (системная) функция

Z −пр

на входе x[n] X (z)

Z −пр

на выходе y[n] Y (z)

Z −пр

импульсная характеристика h[n] H (z)

Свойство свертки Z-преобразования

∞

Последовательность y[n] = x[n] h[n] = ∑x[m]h[n −m] - свертка

имеет Z-преобразование Y (z)= X (z)H (z) m=−∞

Н(z) = Y (z)

X (z)

Н(z) – передаточная (системная) функция ЛПП-системы (цифрового фильтра)

9

Если систему можно описать линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, то ее передаточная функция является отношением полиномов.

Разностное уравнение N-гo порядка

Применяя z-преобразование к обеим частям разностного уравнения с учетом свойства линейности и свойства задержки, получим

Эта формула дает конкретное выражение для передаточной функции, и коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе являются соответственно

коэффициентами в правой и левой частях разностного уравнения.

Понятие нуля и полюса функции

Нуль функции y = f (x) – значение аргумента xн , при котором функция обращается в нуль, т.е. y = f (xн) = 0 .

Нуль передаточной функции – корни (z=zi) уравнения, стоящего в числителе

H (z) .

Полюс передаточной функции – корни (z=pi) уравнения, стоящего в знаменателе H (z) .

10

Общие свойства передаточной функции.

Частотные характеристики.

Комплексная передаточная функция дискретной цепи (частотная характеристика) связана с передаточная (системной) функция дискретной цепи

Комплексная передаточная функция (частотная характеристика)

+(b1 sin ωT +... +bM sin MωT )2

+(a1 sin ωT +... +aN sin NωT )2