Курсовая работа
.pdfМетодические указания к курсовому проектированию |
21 |
LM-волны Вариант ¹17
LM-волны Вариант ¹18
LM-волны Вариант ¹19
LM-волны Вариант ¹20
LM-волны |
LM-волны |
Вариант ¹21 |
Вариант ¹22 |
LM-волны |
LM-волны |
Вариант ¹23 |
Вариант ¹24 |
LM-волны |
LM-волны |
Вариант ¹25 |
Вариант ¹26 |
22 |
Электродинамика и распространение радиоволн |
LM-волны |
LM-волны |
Вариант ¹27 |
Вариант ¹28 |
LM-волны |
LM-волны |
Вариант ¹29 |
Вариант ¹30 |
III. Использование программы «MathCad» для расч¸ та дисперсионных характеристик регулярных линиий передачи
Рассмотрим реализацию алгоритма расч¸ та дисперсионных характеристик прямоугольного двухслойного волновода в программе «MathCad» на примере LE-волн структуры, показанной на рис.1. LE-волны описываются нормированным дисперсионным уравнением (5.3).
На первом этапе определим частоты отсечек волн LEmn (индекс m предполагается заданным). Частоты отсечек V определяются численно пут¸ м решения уравнения:
|
|
|
æ |
|
|
ö |
|
m1 |
e2m2 |
2 |
e1m1 - (pm / W) |
2 |
+ |
||
- (pm / W) tg ç V |
|
÷ |
|||||
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
ö |
|
(1) |
+ m |
|
e m |
2 |
|
e m |
2 |
= 0, |
|||
|
- (pm / W) tg çB |
- (pm / W) |
÷ |
|
||||||
|
2 1 1 |
|
è |
2 |
2 2 |
|
ø |
|
|
которое получается из (5.3) при Γ = 0 . В результате решения
(1) определяются корни V, которые соответствуют нормированным частотам отсечек.
Методические указания к курсовому проектированию |
23 |
В первом блоке программы производится ввод значений:
ε1 := 19 |
μ1 |
:= 1 |
ε2 := 9 |
μ2 := 1 |
|
W := 4 |
B2 |
:= 2 |
m := 1 |
|
|
Затем зада¸ тся функция, равная левой части уравнения (1):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m |
ö |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m ö |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||||
f(x) := m1 |
× |
|
e2 × m2 |
- ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
× sinçx |
× |
|
e1 × m1 |
- ç |
|
|
|
|
|
÷ |
÷ |
× |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è W |
|
ø |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
è W |
|
|
ø |
÷ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m ö |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m ö |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
× cosçB2 |
× |
|
e2 |
× m2 - |
ç |
|
|
|
÷ |
|
÷ |
|
+ m2 × e1 |
× m1 - |
ç |
|
|
÷ |
|
× |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
W ø |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
W ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m ö |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m |
ö |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||||
× sin |
ç |
B |
× |
|
e |
|
× m |
|
- |
ç |
|
|
÷ |
|
÷ |
× cos |
ç |
x × |
|
e |
× m |
|
- ç |
|
|
|
|
÷ |
|
÷ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
è |
|
W ø |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
è W |
|
ø |
|
|
||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
Теперь необходимо определить все интервалы по координате V, на концах которых функция f имеет различные знаки. Для этого изменяя значения V с некоторым шагом h и вычисляя в каждой точке значение функции, при условии, что в двух соседних точках функция имеет различные знаки, записываем в массив значение середины интервала. Эти действия выполняет функция SignChange:
SignChange := i ← 0
c ¬ V _ min x ¬ c + h
while x < V _ max v ¬ f(c)
w ¬ f(x)
Pi ¬ c +2 x i ¬ i + 1
c ¬ x
x ¬ x + h
P
где V_min и V_max — интервал по переменной V.
24 |
Электродинамика и распространение радиоволн |
Кроме того, нам необходимо написать функцию, которая будет подсчитывать число таких интервалов:
NCount := i ← 0
c ¬ V _ min x ¬ c + h
while x < V _ max v ¬ f(c)
w ¬ f(x)
i ¬ i + 1 if v × w < 0 c ¬ x
x ¬ x + h
i
Теперь на каждом из найденных интервалов определяем корни уравнения (1):
FRoot := for j 0 . . NCount − 1 K ¬ SignChangej
Rj ¬ root(f(K),K)
R
В результате в массив FRoot будут записаны все нормиро-
ванные частоты отсечек V, например: |
|
|||
|
æ 0.632 |
ö |
||
|
ç |
1.243 |
÷ |
|
FRoot = |
ç |
÷ |
||
ç |
1.945 |
÷ |
||
|
||||
|
ç |
2.345 |
÷ |
|
|
è |
ø |
Заметим, что для использования привед¸ нных выше функций необходимо в начале программы задать границы интервала поиска корней V _ min и V _ max , а также шаг по параметру h. Функция root(f(x),x) является стандартной и позволяет определять корни трансцендентных уравнений методом секущих. Программа MathCad позволяет пользователю самому написать функцию, реализующую любой другой метод нахождения корней (например, метод бисекции или хорд).
Методические указания к курсовому проектированию |
25 |
На втором этапе численно решается нормированное дисперсионное уравнение:
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
2 |
|
|
e1m1 |
|
|
2 |
+ |
|
|
|||||
m1 e2m2 - G - (pm / W) tg ç V |
|
- G - (pm / W) |
÷ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
(2) |
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|||
+ m |
2 |
|
|
e |
m |
|
- G - (pm / W) |
2 |
|||||||
|
|
e m - G - (pm / W) tg çB |
2 |
|
÷ |
= 0. |
|||||||||
|
2 1 1 |
|
è |
2 |
2 |
|
|
|
|
ø |
|
Из решения уравнения (2) определяются корни Г при фиксированной нормированной частоте V.
В начале блока производим ввод значений:
ε1 |
:= 6 |
μ1 := 1 |
ε2 |
:= 3 |
μ2 := 1 |
W := 2 |
B2 := 3 |
|
m := 1 |
V := V1 + 0.01 |
Здесь V1 — нормированная частота отсечки волны LE01 (элемент массива FRoot0 , равный первому корню уравнения (1)).
После этого зада¸ тся функцию, равную левой части дисперсионного уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m |
ö |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m ö |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||||
f(x) := m1 |
× |
|
e2 × m2 - x - ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
× sinç V |
× |
|
e1 × m1 - x - ç |
|
|
|
|
÷ |
÷ |
× |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è W |
|
ø |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
è W |
|
ø |
÷ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m ö |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m ö |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
× cosçB2 |
× |
|
e2 |
× m2 |
- x - ç |
|
|
÷ |
|
÷ |
+ m2 × e1 |
× m1 - x - ç |
|
|
÷ |
|
× |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
W ø |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
W ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m ö |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p × m |
ö |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||||
× sin |
ç |
B |
× |
|
e |
|
× m |
|
- x - ç |
|
|
÷ |
|
÷ |
× cos |
ç |
V × |
|
e × m |
|
- x - ç |
|
|
÷ |
|
÷ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
è |
|
W ø |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
è W |
|
ø |
|
|
|||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
Обратим внимание, что условием распространения электромагнитной волны в волноводе является условие:
Γ ≤ Γ* = min {ε μ |
− (πm / W)2, ε |
μ |
2 |
− (πm / W)2 |
}. |
(3) |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
В противном случае подкоренное выражение оказывается отрицательным, а волна становится затухающей.
Для нахождения корней уравнения (2) необходимо сначала определить интервалы, на концах которых функция изменяет знак. Для этого можно воспользоваться функцией SignChange, а число таких интервалов определить при помощи NCount. Толь-
26 |
Электродинамика и распространение радиоволн |
ко в этом случае вместо параметра V _ min необходимо использовать нуль, а параметр V _ max заменить на G* из формулы (3).
В результате массив SignChange будет содержать середины интервалов, на концах которых функция меняет знак. Затем на каждом из найденных интервалов определются корни:
DRoot : = for j 0 . . NCount − 1 K ¬ SignChangej
Rj ¬ root(f(K),K)
R
В результате в массиве DRoot будут сохранены корни уравнения (2), например:
DRoot = 0.034
Из этого следует, что на выбранной частоте V может распространяться только одна волна LE01 . Первая точка дисперсионной кривой: V = V1 + 0.01; Γ = 0.034.
Затем необходимо численно решить уравнение (2) для другой частоты, например, V = V1 + 0.1 и т.д. Заметим, что при V > V2 ( V2 — нормированная частота отсечки волны или элемент массива FRoot1 ) при решении уравнения (2) массив DRoot будет содержать уже два элемента, например:
æ |
0.098 ö |
DRoot = ç |
÷ |
è |
3.324 ø |
Первый корень относится к волне LE02 , которая возникла только с частоты отсечки V2 ; а второй корень — к волне LE01 . Большее значение корня всегда соответствует волне с меньшим вторым индексом n.
Продолжая процесс численного решения уравнения (2) при различных значениях нормированной частоты V, получаем набор дисперсионных кривых, соответствующих различным собственным волнам частично-заполненного волновода.
На рис. 4 привед¸ н способ построения дисперсионных кривых по известным точкам ( V,G) .
В курсовой работе необходимо изменять значения нормированной частоты V от V1 до частоты отсечки V4 , соответствующей началу распространения четв¸ ртой низшей LE или LM-волне.
Методические указания к курсовому проектированию |
27 |
Γ |
|
m = 1 |
|
||
ΓL01 |
|
LE01 |
|
LE02 |
|
ΓL01 |
|
|
ΓL02 |
|
|
|
|
|
0 |
V1 |
V1 |
+ V V2 V2 + V |
V |
|
||||
|
( FRoot0) |
( FRoot1) |
|
Рис. 4. Построение дисперсионной кривой
Список использованной литературы
1.Бочкар¸ ва Т.С., Неганов В.А., Осипов О.В., Соболев В.А. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебное пособие для вузов / Под ред. Неганова В.А. — М: Радио и связь, 2003. — 324 с.
2.Егоров Ю.В. Частично заполненые прямоугольные волноводы. — М.: Советское радио, 1967. — 216 с.
3.Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика. Т.2 / Под ред. В.А. Неганова и С.Б. Раевского — М.: Радио и связь, 2001. — 575 с.
4.Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 544 с.
28 |
Электродинамика и распространение радиоволн |
Приложение. Пример выполнения работы.
А. Расч¸ т дисперсионных характеристик.
Рассмотрим пример расч¸ та дисперсионных характеристик LE-волн для прямоугольного двухслойного волновода, показанно на рис. 3.
Расч¸ т производился при следующих параметрах:
ε1 : = 15 |
μ1 := 1 |
ε2 := 9 |
μ2 := 1 |
W := 4 |
B2 := 2 |
m := 0 |
|
Привед¸ м значения нормированных частот отсечек первых пяти мод c индексом m = 0:
LE01 |
0.093 |
(первый корень уравнения (1) из п.III) |
LE02 |
0.904 |
(второй корень уравнения (1) из п.III) |
LE03 |
1.715 |
(третий корень уравнения (1) из п.III) |
LE04 |
2.526 |
(четв¸ ртый корень уравнения (1) из п.III) |
LE05 |
3.337 |
(пятый корень уравнения (1) из п.III) |
Привед¸ м значения рассчитанных параметров Г (расч¸ т корней уравнения (5.3) при m = 0):
V |
LE01 |
LE02 |
LE03 |
LE04 |
0.093 |
0 |
* |
* |
* |
0.1 |
0.2551 |
* |
* |
* |
0.2 |
0.9815 |
* |
* |
* |
0.3 |
1.375 |
* |
* |
* |
0.4 |
1.689 |
* |
* |
* |
0.5 |
1.948 |
* |
* |
* |
0.6 |
2.15 |
* |
* |
* |
0.7 |
2.295 |
* |
* |
* |
0.8 |
2.396 |
* |
* |
* |
0.9 |
2.467 |
* |
* |
* |
0.904 |
2.469 |
0 |
* |
* |
1.0 |
2.521 |
0.83 |
* |
* |
1.1 |
2.564 |
1.184 |
* |
* |
1.2 |
2.603 |
1.457 |
* |
* |
Методические указания к курсовому проектированию |
29 |
1.3 |
2.641 |
1.686 |
* |
* |
1.4 |
2.679 |
1.881 |
* |
* |
V |
LE01 |
LE02 |
LE03 |
LE04 |
1.5 |
2.721 |
2.046 |
* |
* |
1.6 |
2.767 |
2.181 |
* |
* |
1.7 |
* |
2.289 |
* |
* |
1.715 |
* |
2.303 |
0 |
* |
1.8 |
* |
2.373 |
0.7132 |
* |
1.9 |
* |
2.438 |
1.048 |
* |
2.0 |
* |
2.49 |
1.298 |
* |
2.1 |
* |
2.533 |
1.505 |
* |
2.2 |
* |
2.571 |
1.685 |
* |
2.3 |
* |
2.605 |
1.841 |
* |
2.4 |
* |
2.638 |
1.978 |
* |
2.5 |
* |
2.671 |
2.097 |
* |
2.526 |
* |
2.68 |
2.125 |
0 |
2.6 |
* |
2.706 |
2.198 |
0.6166 |
2.7 |
* |
2.744 |
2.284 |
0.9409 |
2.8 |
* |
2.784 |
2.356 |
1.176 |
2.9 |
* |
* |
2.416 |
1.369 |
3.0 |
* |
* |
2.465 |
1.536 |
3.1 |
* |
* |
2.507 |
1.683 |
3.2 |
* |
* |
2.543 |
1.814 |
3.3 |
* |
* |
2.575 |
1.931 |
3.337 |
* |
* |
2.587 |
1.971 |
Провед¸ м теперь расч¸ т дисперсионных характеристик при m = 1 при тех же параметрах задачи:
ε1 : = 15 |
μ1 := 1 |
ε2 := 9 |
μ2 := 1 |
W := 4 |
B2 := 2 |
m := 1 |
|
Привед¸ м значения нормированных частот отсечек первых пяти мод c индексом m = 1:
LE11 |
0.162 |
(первый корень уравнения (1) из п.III) |
LE12 |
0.99 |
(второй корень уравнения (1) из п.III) |
LE13 |
1.818 |
(третий корень уравнения (1) из п.III) |
LE14 |
2.647 |
(четв¸ ртый корень уравнения (1) из п.III) |
LE15 |
3.475 |
(пятый корень уравнения (1) из п.III) |
30 |
Электродинамика и распространение радиоволн |
Привед¸ м значения рассчитанных параметров Г (расч¸ т корней уравнения (5.3) при m = 1):
V |
LE11 |
LE12 |
LE13 |
LE14 |
0.162 |
0 |
* |
* |
* |
0.2 |
0.5886 |
* |
* |
* |
0.3 |
1.128 |
* |
* |
* |
0.4 |
1.496 |
* |
* |
* |
0.5 |
1.783 |
* |
* |
* |
0.6 |
2.001 |
* |
* |
* |
0.7 |
2.157 |
* |
* |
* |
0.8 |
2.264 |
* |
* |
* |
0.9 |
2.339 |
* |
* |
* |
0.99 |
2.39 |
0 |
* |
* |
1.1 |
2.441 |
0.8865 |
* |
* |
1.2 |
2.482 |
1.228 |
* |
* |
1.3 |
2.521 |
1.492 |
* |
* |
1.4 |
2.561 |
1.71 |
* |
* |
1.5 |
2.605 |
1.889 |
* |
* |
1.6 |
2.653 |
2.034 |
* |
* |
1.7 |
* |
2.15 |
* |
* |
1.8 |
* |
2.239 |
* |
* |
1.818 |
* |
2.253 |
0 |
* |
1.9 |
* |
2.308 |
0.6937 |
* |
2.0 |
* |
2.363 |
1.033 |
* |
2.1 |
* |
2.409 |
1.284 |
* |
2.2 |
* |
2.448 |
1.49 |
* |
2.3 |
* |
2.483 |
1.665 |
* |
2.4 |
* |
2.518 |
1.815 |
* |
2.5 |
* |
2.553 |
1.944 |
* |
2.6 |
* |
2.59 |
2.053 |
* |
2.647 |
* |
2.608 |
2.098 |
0 |
2.7 |
* |
2.629 |
2.145 |
0.5181 |
2.8 |
* |
2.671 |
2.221 |
0.8754 |
2.9 |
* |
* |
2.284 |
1.122 |
3.0 |
* |
* |
2.337 |
1.32 |
3.1 |
* |
* |
2.38 |
1.489 |
3.2 |
* |
* |
2.419 |
1.636 |
3.3 |
* |
* |
2.453 |
1.764 |
3.4 |
* |
* |
2.485 |
1.878 |
3.475 |
* |
* |
2.508 |
1.954 |
Жирным шрифтом выделены значения нормированных частот отсечек V.