decision_4132

Задача 1

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.

__ ^ __

Найти: 1) |AB|; 2) (AB;AC); 3) пр AB;

AC;

4) площадь грани ABC; 5) уравнение грани ABC

6) уравнение ребра AD; 7) угол между ребром AD и

гранью ABC;

8) смешанное произведение (AB, AC, AD) и V - объём пирамиды ABCD;

9) уравнение высоты,опущенной из вершины D на грань ABC и

ее длину; 10) уравнение плоскости, проходящей через точку D

параллельно грани ABC.

A(2;0;8); B(0;2;0); C(3;2;8); D(0;5;0)

1) |AB|;

2) (AB;AC);

3) пр AB

AC;

4) площадь грани ABC;

5) уравнение грани ABC

6) уравнение ребра AD;

7) угол между ребром AD и гранью ABC;

8) смешанное произведение (AB, AC, AD) и V - объём пирамиды ABCD;

9) уравнение высоты,опущенной из вершины D на грань ABC и ее длину;

10) уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно грани ABC.

Задача 2

На координатной плоскости задан треугольник ABC

координатами своих вершин. Требуется найти :

1) уравнение стороны AB, 2) уравнение высоты CD

и вычислить ее длину, 3) уравнение медианы BM,

угол q между высотой CD и медианой BM

A(3;2); B(7;8); C(8;2)

Уравнение стороны АB

2) уравнение высоты CD и вычислить ее длину,

k1*k2=-1

k2=-1/ k1= -1/2.5 = -0,4

y-2=-0.4(x-8)

y-2=-0.4x-3.2

y=-0.4x-1.2 – уравнение высоты.

3) уравнение медианы BM,

Xм= (Xa+Xc)/2 = (3+8)/2=5.5

Yм= (Ya+Yc)/2 = (2+2)/2=2

угол q между высотой CD и медианой BM

Задача 3

Выполнить следующие действия над комплексными числами

u 3_ 5

1) u + v; 2) u - v; 3) u ∙ v; 4) ───; 5) √v; 6) v

v

u = 8 + i ; v = -4 - i

1) u + v = 8 + i – 4 – i = 4

2) u – v = 8 + i + 4 + i = 12 +2i

3) u ∙ v = (8 + i) ∙(- 4 – i) = - (8 + i) ∙(4 + i) = - (32 + 4i + 8i + i²)=

=- (32 + 4i + 8i - 1) = - (31 + 12i)= - 31 – 12i

4)

5)

6)

Задача 4

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

1)

3 2

-x + 16x - 62x - 16

lim ─────────────────────

x─>8 3 2

6x - 39x - 76x + 32

2)

3 2

-4x - x + 2

lim ──────────────────

x─>OO 3 2

-2x + x - 8x – 2

3)

______________ _____________

/ 2 / 2

√ 6x - 10x + 68 - √ 9x - 7x + 62

lim ─────────────────────────────────────

x─>1 ________________ ____________

/ 2 / 2

√ - 9x + 3x + 42 - √ x - 4x + 39

4)

_____________

/ 2

√ 4x - 3x - 9

lim ───────────────

x─>OO 7x + 8

5)

2

┌ 2 ┐3x + x - 5

│ - 2x + 6x - 6 │

lim │ ─────────────── │

x─>OO │ 2 │

│ - 2x + 6x + 9 │

└ ┘

6)

lim (3x + 2)( Ln(8x - 6) - Ln(8x - 3))

x─>OO

Задача 5

Найти производную y' данной функции

5 3 3 5 6 7

y = 5[ sin(x )∙arctg(x )] + [ 5cos(x )] + 4Ln[ 8ctg(x )]

Задача 6

Исследовать методами дифференциального исчисления

и построить график функции

2

y = ( - 3x + 6x + 3)∙exp(x - 1)

Решение.

1) Найдем область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

Функция определена на всей числовой оси

В каждой точке области определения функция непрерывна.

2) Выясним четность, нечетность и периодичность функции.

Следовательно, функция не является ни четной ни нечетной.

Функция непериодична, т.к. y(x±T)y(x), где Т– некоторое действительное число.

3) Найдем асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные).

А) Вертикальные асимптоты – нет , так как нет точек разрыва.

Б) горизонтальные асимптоты.

Для нахождения горизонтальной асимптоты нужно найти предел функции при х→∞, раскрывая неопределенность вида ∞/∞. Если существует конечный предел.

то прямая y=b определяемая уравнением, есть горизонтальная асимптота графика. Если же этот предел равен бесконечности, то горизонтальной асимптоты нет. Найдем пределы

График имеет горизонтальную асимптоту y=0 слева.

В) наклонная асимптота

наклонная асимптота – y=kx+b

Найдем оба указанных предела для заданной функции

Т.е. наклонная асимптота превращается в горизонтальную.

Наклонных асимптот нет.

4) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы. Находим сначала первую производную функции:

Критическими точками первого рода являются точки, в которых

y’(x)=0 или , следовательно (х² –3)=0, т.е. х=

Критические точки х=разбивают числовую ось ОХ на 3 интервала монотонности функции. По знаку производной в этих интервалах определяем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции. Полученные данные заносим в таблицу.

Х	(-∞;)		(;)		(; +∞)
y’(x)	+	0	-	0	-
y(x)	Убывать	-1,067 - минимум	Возрастать	9,133 максимум	Убывать

5) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

Находим сначала вторую производную функции:

Критическими точками второго рода являются точки в которых y’’=0 =0; х = -3; х= 1.

Критические точки разбивают числовую ость ОХ на 3 интервала, в которых по знаку второй производной определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика и ординату точки перегиба. Полученные данные заносим в таблицу.

Х	(-∞;-3)	-3	(-3;1)	1	(1; +∞)
y’(x)	-	0	+	0	-
y(x)	Выпукла	-0,769	Вогнута	6	выпукла

Точка перегиба функции (-3; - 0,769) и (1; -6)

7) Используя результаты исследования, строим график функции

Задача 7

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

6 4 2

f(x) = 4x - 9x + 6x + 4 на [-2 ; 3]

Задание 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций у=f(x) на отрезке [a,b]

y= 4x⁶ – 9x⁴+6x²+4; x [-2;3]

Решение.

Используем правило для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у=f(x) на отрезке [a,b]

1) найти критические точки из уравнения , лежащие внутри отрезка [a,b], и вычислить значения функции в этих точках (не выясняя будет ли в них экстремум функции и какого вида);

2) Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. значения f(a) и f(b)

3) Сравнить значения функции в критических точках и на концах отрезка: самое большое из них будет наибольшим значением у_наиб, а самое меньшее – наименьшим значением у_наим функции y=f(x) на всем данном отрезке.

Находим производную y’= 24x⁵ –36х³+12x = 12 x( 2x⁴ –3х²+1)

Находим критические точки, принадлежащие отрезку [-2; 3] из уравнения:

12 x( 2x⁴ –3х²+1) = 0 , x= 0;

Вычисляем значения функции в критических точках:

y= 4x⁶ – 9x⁴+6x²+4

Вычисляем значения функции на концах отрезка:

Сравнивая все вычисленные значений функции заключаем:

Ответ