Поведение спектра

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курсовая 4 курс - копия.docx

Скачиваний:

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

746.15 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………….	.…………………………………………...3
Поведение спектра………...….…	….………………………………………...5
Свойства собственных функций...	…………………………………………..17
Операторы преобразования……..	….……………………………………….23
Метод Гельфанда-Левитана……..	….……………………………………….31
Список использованных источников….	….……………………………………….36

ВВЕДЕНИЕ

Обратные задачи спектрального анализа состоят в восстановлении дифференциальных операторов по их спектральным характеристикам. Подобные задачи играют важную роль не только в различных разделах математики, но и имеют много приложений в естествознании и технике.

Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач получены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля

(1)

Первые исследования по спектральной теории операторов вида (1) были выполнены в связи с уравнением, описывающим колебание струны в XIX веке, а интенсивное развитие данная теория для различных классов операторов получила век спустя. Что касается обратных спектральных задач, то основные результаты и методы здесь были получены во второй половине XX века. Созданные методы позволили решить целый ряд важных прикладных задач в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно увеличивается благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время интенсивно развивается теория обратных задач во всем мире.

Целью данной курсовой работы является описание метода Гельфанда-Левитана. Метод позволяет получить алгоритм решения обратной задачи для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля, определяемого уравнением

и краевыми условиями

где λ – спектральный параметр; q(x), h и H вещественны; .

Курсовая работа состоит из введения, четырех глав и списка использованных источников. В первой главе изучаются основные спектральные характеристики краевых задач Штурма-Лиувилля на конечном интервале. В частности, доказана теорема о существовании и асимптотическом поведении собственных значений и собственных функций. Во второй главе исследуются свойства собственных функций. Доказано, что система собственных функций является полной и образует ортогональный базис в пространстве . В третьей главе строятся операторы преобразования, которые являются эффективным инструментом в спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля. В четвертой главе приведен алгоритм решения обратной задачи методом Гельфанда – Левитана, который позволяет свести данную задачу к линейному интегральному уравнению.

Поведение спектра

Рассмотрим краевую задачу L=L(q(x), h, H):

	(1.1)
	(1.2)

Здесь λ – спектральный параметр; q(x), h и H вещественны; . Оператор называется оператором Штурма-Лиувилля, а функцию q мы в дальнейшем будем называть потенциалом.

Нас интересуют нетривиальные решения краевой задачи (1.1)-(1.2)

Определение 1.1. Те значения параметра λ, для которых L имеет нетривиальные решения называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения называются собственными функциями. Множество собственных значений называется спектром L.

В этом разделе мы получим свойства спектра краевой задачи L и изучим асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций.

Пусть являются решениями уравнения (1.1) при начальных условиях

При каждом фиксированном x функции , , , являются целыми аналитическими функциями по λ. Ясно, что

(1.3)

Обозначим

(1.4)

где

Согласно формуле Остроградского-Лиувилля, вронскиан не зависит от x. Функция называется характеристической функцией краевой задачи L. Подставляя и в (1.4)

получаем

(1.5)

Функция является целой по λ и имеет не более счетного множества нулей .

Теорема 1.1. Нули характеристической функции совпадают с собственными значениями краевой задачи L. Функции и являются собственными функциями, и существует последовательность такая, что

(1.6)

Доказательство:

Пусть является нулем функции . Тогда, в силу (1.3)-(1.5) , и функции , удовлетворяют краевым условиям (1.2). Следовательно, - собственное значение, а , - соответствующие собственные функции.
Обратно, пусть является собственным значением L, и пусть - соответствующая собственная функция. Тогда

Ясно, что (если бы , то , и по теореме единственности решения задачи Коши ). Без ограничения общности полагаем . Тогда , и следовательно . Поэтому (1.5) дает . Мы также доказали, что каждому собственному значению соответствует только одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция. □

Обозначим

(1.7)

Числа называются весовыми числами, а числа называются спектральными данными краевой задачи L.

Лемма 1.1. Справедливо соотношение

(1.8)

где числа определяются формулой (1.6) и .

Доказательство:

Так как

, ,

то

и, следовательно, с учетом (1.5) имеем

При получаем

используя (1.6) и (1.7) получаем,

□

Теорема 1.2. Собственные значения и собственные функции , - вещественны. Все нули являются простыми, то есть . Собственные функции соответствующие различным собственным значениям ортогональны в .

Доказательство:

Пусть и - собственные значения с собственными функциями и соответственно. Вычисляем

так как , , то подстановка исчезает. Поэтому

Так как , то и так как , то имеем

Далее, пусть - невещественное собственное значение с собственной функцией . Тогда

Так как и , и вещественны, то

то есть - также собственное значение с собственной функцией . Так как , то

что невозможно. Таким образом, все собственные значения задачи L вещественны. И, следовательно, собственные функции , также вещественны, так как , , то в силу (1.8) имеем . □

Пример 1.1. Пусть , и пусть . Тогда (1.1) - (1.2) примет вид:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Замечание 1.1. Пусть здесь и в дальнейшем , . Покажем, что , .

В самом деле, пусть . Тогда

Так как , то.

Аналогично для

Лемма 1.2. При верны следующие асимптотические оценки:

(1.9)

(1.10)

равномерно по . и символы Ландау.

Доказательство:

Рассмотрим уравнение

Метод вариаций произвольных постоянных дает

(*)

Из (*) следует

Функция является решением задачи Коши

(**)

Применим (*). У нас . Тогда

(1.11)

Пусть верно (1.11). Тогда

(1.12)

и следовательно, верно (**).

Вспомним: , . Умножим (1.11) на :

Обозначим

При имеем

или

при достаточно больших .

Поэтому или .

Подставляя эту оценку в правую часть (1.11) и (1.12) получаем

и приходим к (1.9).

Аналогично получается и (1.10). Заметим, что (1.10) может быть получено, используя (1.9). В самом деле,

Рассмотрим функцию Тогда , . Следовательно,

Поэтому (1.9) верно и для . Так как , то получаем (1.10). □

Теорема 1.3. Краевая задача имеет счетное множество собственных значений . При этом

	(1.13)
	(1.14)

где

Здесь и в дальнейшем один и тот же символ обозначает различные последовательности из , а символ обозначает различные положительные константы, не зависящие от , и .

Доказательство:

Подставляя асимптотику для из (1.9) в правые части (1.11) и (1.12), вычисляем

(1.15)

где

Согласно, (1.5) , . Следовательно, в силу (1.15), имеем

(1.16)

где

Обозначим ,

покажем, что

	(1.17)
	(1.18)

при достаточно большом .

Пусть . Достаточно доказать (1.17) для области

Положим . Пусть . При имеем . Так как , то при

, (так как )

Таким образом (1.17) доказано. Далее, используя (1.16), получаем для

и, следовательно, (1.18) доказано.

Обозначим

В силу (1.16)

Согласно (1.17), при достаточно больших . Тогда по теореме Руше число нулей функции внутри совпадает с числом нулей функции , то есть равно . Таким образом, в круге расположено собственных значений краевой задачи . Применяя теперь теорему Руше к кругу , заключаем, что при достаточно больших в лежит ровно один ноль функции , а именно . В силу произвольности имеем

(1.19)

Подставляя (1.19) в (1.16), получаем

и, следовательно

(1.20)

Тогда , то есть . С помощью (1.20), вычисляем более точно то есть (1.13) доказано. Подставляя (1.13) в (1.15), приходим к (1.14), где

(1.21)

Следовательно, , и теорема 1.3 доказана. □

В силу (1.6) при имеем

Тогда, используя (1.7), (1.14), (1.21), получаем

Через обозначим пространство функций , таких, что функции абсолютно непрерывны и .

Теорема 1.4. Задание спектра однозначно определяет характеристическую функцию по формуле

(1.22)

Доказательство:

Из (1.16) вытекает, что является целой по функцией порядка ½ и, следовательно, по теореме Адамара однозначно определяется своими нулями с точностью до постоянного множителя: