Максимизация прибыли

Задача 1.

Функция предельных затрат фирмы МС = 10 + Q (руб.). Цена единицы продукции постоянна и равна 60 руб./шт. Определите объем выпуска, который позволит фирме максимизировать прибыль.

Решение:

Фирма максимизирует прибыль при МС = МR, который в условиях совершенной конкуренции равен цене единицы продукции, т.е. 60 руб.

Поэтому МR = 60 →МС = 60 → Q = МС – 10 = 50.

Задача 2.

Допустим, фирма полностью монополизировала производство товара. При этом ее предельный доход = 1000 – 20Q, а общий доход = 1000Q – 10Q2. Предельные издержки = 100+10Q. Сколько товаров будет продано и по какой цене, если фирма функционирует как чистая монополия?

Решение:

Т.к. для любой фирмы, в т.ч. и монополии, условием максимизации прибыли является соблюдение равенства MR = MC, то, приравняв друг к другу уравнения предельного дохода MR и предельных издержек MC, найдем объем продаж

Q: 1000 – 20Q = 100 + 10Q →Q = 30 ед.

Т.к. TR = P • Q = 1000Q – 10Q2, то функция спроса: Р = 1000 –

10Q →P = 700 ден. ед.

Задача 3.

Постоянные затраты монополиста составляют 400 млн. руб. в год, переменные затраты на единицу продукции составляют 10 тыс. руб. Спрос в интервале цен от 30 до 50 тыс. штук описывается линейной функцией в тыс. шт.: 100 - 1,4 'Р, где Р — цена в тыс. руб. При какой цене достигается максимум прибыли?

Решение:

Приведем решение с полным выводом всех формул. Пусть Р, q и П — неизвестные цена, количество и прибыль:П(Р, q) = R(P, q) - C(q), где R — выручка, а С — производственные затраты.

R(P, q) = P-q,

C(q) = F + V(q) = F + vq,

где F, V — постоянные и переменные расходы, v — удельные расходы (и = 10 тыс. руб./шт.).

Количество q ограничено спросом:

q < Dd(P) = D - d-P,

где D = 100 тыс. шт., a d = 1,4 тыс. шт./тыс. руб. = 1,4 шт./руб.

Итак, математически задача формулируется следующим образом:

П(Р, q) = P-q-vq-F-> max

при q < Dd(P) = D - d-P.

При цене (Р), большей, чем переменные издержки на единицу продукции (У), выгодно производить максимально возможное для продажи количество товаров, то есть ограничивающее неравенство превращается в равенство:

q = D - d-P,

и путем подстановки получаем:

- d-P2 + (D + d-v)-P - D-v - F -> max (по Р).

Максимум квадратичной формы с отрицательным коэффициентом при квадрате (-d) достигается в точке среднего арифметического корней:

Цена : P = p1 + p2 /2 = D + d *v /2d = 40,714 тыс. руб.;

Количество: q = D+d*v / 2 = 43 тыс. шт.,

где D = 100; d = 1,4; v = 10;

Максимальная прибыль:

П max = (D+d*v)2 / 4d – F = 1178 - 400 = 778 млн. руб.

Задача 4.

Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции. Цена установилась на уровне 10 тыс. руб. Зависимость общих затрат от выпуска продукции представлена в таблице:

Выпуск (шт.)	Общие затраты (тыс. руб.)
10	80
11	86
12	93
13	102
14	113
15	125

Какой объем производства выберет предприятие, максимизирующее прибыль?

Решение:

Применим маржинальный анализ. До тех пор пока маржинальная (предельная) отдача будет превышать маржинальные (предельные) затраты, следует увеличивать выпуск продукции. В общепринятых обозначениях этот критерий может быть записан:

Выпуск (шт.)	Общие затраты (тыс. руб.)		Маржинальные затраты МС (тыс. руб.)	Маржинальная отдача MR (тыс. руб.)	Маржинальная прибыль MP (тыс. руб.)
10	80		0	10	0
11	86		6	10	4
12	93		7	10	3
13	102	9		10	1
14	113	11		10	-1
15	125	12		10	-2

так: MR > МС.

В данном случае MR = Р, то есть отдача возрастает при фиксированной цене каждый раз на эту самую цену. Из составленной таблицы следует, что, выпустив тринадцать единиц продукции, нужно остановиться, так как четырнадцатая единица принесет уменьшение общей прибыли на 1 тыс. руб.

Ответ: 13.

Задача 5.

Допустим, общие затраты конкурентной фирмы на выпуск Q единиц продукции составляют Q2 - 16 • Q + 74. Сколько нужно выпускать, чтобы прибыль была максимальной, если рынок диктует цену, равную 20 единицам? Какова эта максимальная

прибыль?

Решение:

МС = 2-Q - 16, условие максимизации прибыли МС = MR, а в данном случае MR — Р, следовательно, Qo = 18,ТС = 110, TR = 360, прибыль равна 250.

Задача 6.

Монополист работает на рынке с неэластичным спросом. Как он должен изменить цену с целью максимизации прибыли? Ответ поясните.

Решение:

В зоне неэластичного спроса даже серьезное повышение цены ведет лишь к небольшому падению спроса. Таким образом, выручка с ростом цены вырастет. Издержки в этой ситуации снизятся в связи с сокращением объема продаж. Таким образом, прибыль фирмы увеличится при повышении цены.