Московский государственный университет путей сообщения рф (миит) Кафедра «Физика-2»

Институт, группа_____ИТТСУ, ТСТ112__ К работе допущен____________________

(Дата, подпись преподавателя)

Студент _ Маслов Р.А._________ Работа выполнена___________________

(ФИО студента) (Дата, подпись преподавателя)

Преподаватель Андреев А.И . Отчёт принят_______________________ (Дата, подпись преподавателя)

Отчёт по лабораторной работе №____61____

.____ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ _______________________________________________

(Название лабораторной работы)

._____________________________________________________________________________________________

1. Цель работы:

Определение моментов инерции тел правильной геометрической формы ­ _____________________________________________________________ ­

2. Принципиальная схема установки (или её главных узлов):

рис 1 – Устройство прибора для измерения крутильных колебаний

Эталонное тело

Диск

Станица

Винты

Пружина

Для измерения момента инерции в данной лабораторной работе используются крутильные колебания изображенного на рисунке устройства, состоящего из диска 1 и лежащих на нем одного или нескольких тел 2. В работе используется эталонное тело (ЭТ) с известным моментом инерции. Диск расположен на станине 3, имеющей винты 4 для корректировки горизонтального положения плоскости диска. Пружина 5 служит для возвращения диска в положение равновесия и создания колебательного движения относительно вертикальной оси (рис.1).

3. Основные теоретические положения к данной работе (основополагающие утверждения: формулы, схематические рисунки):

Инертные свойства тела при вращении определяются не только массой тела, но и расположением отдельных частей тела по отношению к оси вращения. Для характеристики этих свойств вводится понятие момента инерции.

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему из материальных точек с неизменными расстояниями между ними.

Момент инерции I_i материальной точки относительно некоторой оси вращения определяется как произведение ее массы m_i; на квадрат расстояния r_i , до оси вращения

I_i  m_i r_i².

М

I 

омент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частей - материальных точек

.

Если абсолютно твердое тело имеет форму тела вращения относительно оси, проходящей через его центр инерции, то выражение для момента инерции принимает более простой вид:

I  kmR², (1)

где m и R - масса и радиус тела соответственно;

k – коэффициент, зависящий от формы тела.

Для обруча и тонкостенного цилиндра k  1, для сплошного цилиндра и диска k =1/2, для шара k = 2/5.

Если ось вращения не проходит через центр инерции тела, то для вычисления его момента инерции пользуются теоремой Штейнера:

Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_о относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния а между осями

(

I  I_о  mа²

2)

Момент инерции системы тел относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции относительно этой оси всех тел, входящих в систему:

I  I₁  I₂  I₃  ...  I_N. (3)

Момент инерции тела как характеристика его инертных свойств входит в уравнения динамики вращательного движения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде:

M I , (4)

где М – проекция результирующего момента всех внешних сил на ось вращения;  – угловое ускорение.

Так как угловое ускорение может быть записано как вторая производная по времени от угла поворота:

то уравнение (4) можно представить в виде

.

При отклонении диска на некоторый угол  (в пределах упругой деформации пружины) со стороны пружины на диск действует возвращающая сила, проекция момента которой пропорциональна углу отклонения:

М   b, (6)

где b — упругая постоянная пружины.

Если пренебречь влиянием силы трения, то уравнение движения диска на основании формул (5) и (6) примет вид

_,

где I – момент инерции диска с лежащими на нем грузами.

Решение этого уравнения имеет вид

  ₀ cos (t  ),

то есть угол отклонения диска от положения равновесия изменяется по гармоническому закону и вся система совершает гармонические колебания с амплитудой ₀ и круговой частотой . Величину (t  ) называют фазой колебания,  – начальной фазой, определяющей угол отклонения  при t  0.

Найдя первую и вторую производные угла  по времени t и подставив их в уравнение (7), получим

I ² ₀ cos (t  )   b ₀ cos (t ) ,

откуда найдем

,

а затем формулу для периода колебаний T:

Если колеблется только диск, то его период колебаний:

, (8)

где I_д – момент инерции диска без грузов.

Если на диске лежит эталонное тело, то период колебаний системы T_ЭТ, в этом случае можно записать аналогично:

. (9)

Используя выражения (8) и (9), получим:

.

Если диск колеблется вместе с телом, момент инерции которого I_x требуется определить, то период его колебаний

,

откуда

I_x .

Используя полученные выражения для b и I_д, получим окончательную формулу для определения момента инерции исследуемого тела:

.

4. Таблицы и графики¹.

Таблица 1 – измерения полных колебаний с эталонным телом

№ опыта	Число колебаний, n	Колебания диска без грузов		Колебания диска с эталонным телом
		t, c	T0, c	t, c	TЭТ, c
1 2 3	4 5 6	4,4 4,8 5,8	1,1 0,96 0,96	5,3 5,8 7,7	1,32 1,16 1,28
Средняя величина	__________	________	1,01	_______	1,25

Таблица 2 - измерения полных колебаний с исследуемым телом

Номер тела	Число колебаний n	t, c	Tх, c	Ix, кгм2
1	4	5,7	1,42	2,28
	5	6,8	1,36	2,06
	6	8	1,33	1,86
2	4	4,2	1,05	0,21
	5	5,3	1,06	0,25
	6	6,5	1,16	0,81

Таблица 3 - измерения полных колебаний с эталонным и с исследуемым телом с учетом форм тел

Номер тела	Форма тела	Масса тела m, кг	Радиус тела R, м	Ix , кгм2 по формуле (1)	Ix ср, кгм2 из табл.2
1 2	Цилиндр Цилиндр	1,258 0,5	4,0= 4,0	0,028 0,45	2,05 0,42

Таблица 4 - измерения полных колебаний с эталонным и с исследуемым телом

№ опыта	n	t, c	T, c	Момент инерции двух тел по формуле (10) Ix кгм2
1 2 3	4 5 6	5,5 6,5 8,2	1,38 1,3 1,36	2,20 1,68 2,07
Среднее значение	­­_____	________	1,35	0,002
Момент инерции двух тел: Ix  Ix1 ср  Ix2 ср				2,48

Таблица 5 - измерения полных колебаний с эталонным телом, находящимся на некотором расстоянии от центра диска

№ опыта	n	t, c	T, c	Момент инерции по формуле (10), Ix кгм2
1 2 3	4 5 6	5,4 6,8 8,3	1,35 1,36 1,38	0,0213 0,002 0,0024
Среднее значение	____	___	1,36	0,002
Момент инерции по формуле (2): I = …..				5,625