Клиент 8.

1)Ф (11,37-13.58)/4.53=Ф(-0.55)= -0.2088

2)Ф (11,37-8.86)/4.53=Ф(0.55)= 0.2088

3) Ф(11,37-13.88)/8.80=Ф(-0.29)= -0.1141

4) Ф(11,37-8.86)/8.80=Ф(0,29)= 0.1141

Р(х)_min= -0.2088 Р(х)_max= 0,2088

1)Ф (6.67-8.86)/4.53=Ф(-0.48)=-0,1844

2)Ф (6.67-13.8)/4.53=Ф(-1,59)= -0,4441

3) Ф(6.67-8.86)/8.80=Ф(-0.25)= -0, 0987

4) Ф(6.67-13.88)/8.80=Ф(-0.82)= -0,2939

Р(х)_min= -0,2939 Р(х)_max= -0,0987

Р_min =0,61

Р_max =-0.02

Р_р =((0,61+-0,02)/2)*100%=29,5

Клиент 7.

1)Ф (11,37-8,73)/3=Ф(0,88)= 0,3106

2)Ф (11,37-12,07)/3=Ф(-0,23)= -0,0910

3) Ф(11,37-8,73)/5,8=Ф(0,46)= 0,1772

4) Ф(11,37-12,07)/5,8=Ф(0,12)= -0,0478

Р(х)_min= -0,0910 Р(х)_max= 0,3106

1)Ф (0-8,73)/3=Ф(-2,91)= -0,4982

2)Ф (0-12,07)/3=Ф(-4,02)= -0,499968

3) Ф(0-8,73)/5,8=Ф(-1,51)= -0,4345

4) Ф(0-12,07)/5,8=Ф(-2,08)= -0,4812

Р(х)_min= -0,499968 Р(х)_max= -0,4345

Р_min =-0,0910-(-0,4345)=0,3435

Р_max =0,3106-(-0,499968)=0,811

Р_р =(0,3435+0,811)/2=57,73

Клиент 0

1)Ф (5,73-7,2)/3,89=Ф(-0,38)= -0,1480

2)Ф (5,73-11,52)/3,89=Ф(-1,49)= -0,4319

3) Ф(5,73-7,2)/7,56=Ф(-0,20)= -0,0793

4) Ф(5,73-11,52)/7,56=Ф(-1,42)= -0,2794

Р(х)_min= -0,4319 Р(х)_max= -0,1480

1)Ф (9,36-7,2)/3,89=Ф(0,56)= 0,2123

2)Ф (9,36-11,52)/3,89=Ф(-1,33)= -0,4082

3) Ф(9,36-7,2)/7,56=Ф(0,29)= 0,1141

4) Ф(9,36-11,52)/7,56=Ф(-0,29)= -0,1141

Р(х)_min= -0,4082 Р(х)_max= 0,2123

Р_min =-0,18

Р_max =-0,03

Р_р =((-0,21)/2)*100%=10,5

Итоговое решение о степени риска продолжения взаимоотношений с конкретным клиентом принимается исходя из анализа полученной вероятности и диаграммы областей риска и диаграммы областей риска

Рис. 1

Характеристики областей риска.

1.Безрисковая область характеризуется отсутствием каких-либо потерь при заключении и действии договора с гарантией, что все пойдет по установленным в договоре правилам. Коэффициент риска, характеризующий его степень в этой области равен нулю (К_r=0).

2.Область минимального риска (0-1).

В пределах этой области целесообразно принимать решения по заключению договоров с грузовладельцами, так как величина потерь в этих случаях незначительна, несколько меньше ожидаемой прибыли. Коэффициент риска в этой области изменяется в пределах 0-25%.

3.Область среднего риска (1-2).

В этой области возможно осуществление производственно-финансовой деятельности, но нежелательно, так как в ее пределах ДЦФТО рискует тем,

что в результате заключения договора он произведет только покрытие всех затрат. Коэффициент риска в этой области находиться в пределах 25-50%.

4.Область высокого риска (2-3).

В границах этой области риск нежелателен, поскольку ДЦФТО при заключении договоров в такой ситуации подвергается опасности понести существенные расходы. Коэффициент риска этой области имеет пределы 50-75%.

5.Область максимального риска (3-4).

Риск в этой области недопустим, так как в ее границах возможны такие потери, которые повлияют не только на показатели работы ДЦФТО, но и на конечные результаты деятельности всей железной дороги. Коэффициент риска в этой области изменяется в пределах 75-100%.

Таблица 10

Результаты расчетов определения степени риска

Клиент			ДИ для	ДИ для	Рmax	Pmin	Pp
1	11.37	7,07	[8.71;14.03]	[4.8;9.3]	0,71	0,12	41,23
5	13,60	7,20	[10,88;16,32]	[4,89;9,50]	0,06	-0,10	-2,00
4	33.16	13,57	[28.05;38.27]	[9.2;17.9]	0,18	-0,06	5,99
8	11.37	6,67	[8,86;13,88]	[4,53;8,80]	-0,02	0,61	29,50
7	10.4	4,43	[8.73;12.07]	[3.0;5.8]	0,81	0,61	57,73
0	9,36	5,73	[7,20;11,52]	[3,89;7,56]	-0,18	-0,03	-10,5

Таблица 11

Клиент	Вероятность задержки на срок менее 14 дней, Рр%	Вероятность задержки на срок более 14 дней, (100-Рр)%	Степень риска (определяется по диаграмме на рис.1)
1	41,23	58,77	Область высокого риска
5	-2,00	102,00	Область макс. риска
4	5,99	94,01	Область макс.риска
8	29,50	70,50	Область высокого риска
7	57,73	42,27	Область среднего риска
0	-10,50	110,50	Область высокого риска

Вывод:

Клиенты №2,7 попадают в область среднего риска. В этой области возможно осуществление производственно-финансовой деятельности, но нежелательно, так как в ее пределах ДЦФТО рискует тем, что в результате заключения договора он произведет только покрытие всех затрат.

Клиенты №1,6,9 попадают в область высокого риска. В границах этой области риск нежелателен, поскольку ДЦФТО при заключении договоров в этой ситуации подвергается опасности понести существенные расходы.

Клиент №4 попадает в область максимального риска. Риск в этой области недопустим, так как в ее границах возможны такие потери, которые повлияют не только на показатели работы ДЦФТО, но и на конечные результаты деятельности всей железной дороги.

ЗАДАНИЕ 2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Инвестор планирует вложить капитал в ценные бумаги. После анализа рынка ценных бумаг оказалось, что наиболее подходящими являются два варианта вложения средств: вариант А с номиналом 100 руб./акция и вариант Б с номиналом 110 руб./акция. Кроме того имеется возможность вложить средства в безрисковые ценные бумаги с эффективностью 3%. Исходные данные для расчета параметров следует взять из задания №1, учитывая, что бумаг каждого вида имеется по 10000 штук.

= 151,6 тыс. руб. = 46,60 тыс. руб.

= 124,83 тыс. руб. = 11,46 тыс. руб.

В задании необходимо:

1. Используя только рисковые ценные бумаги и приняв, что ценные бумаги не коррелированы (независимы друг от друга), составить 11 портфелей по следующему принципу: в портфеле с номером i = 0…10 доля первых бумаг составляет х₁=1-0,1i, доля вторых составляет х₂= (1- х₁), рассчитать их характеристики. Повторить расчеты для случаев положительно коррелированных бумаг рост (снижение) доходности одной бумаги сопровождается ростом (снижением) доходности другой бумаги, коэффициент корреляции изменяется в пределах: (01) и отрицательно коррелированных бумаг рост (снижение) доходности одной бумаги сопровождается снижением (ростом) доходности другой бумаги, коэффициент корреляции изменяется в пределах: (-10). Результаты оформить в виде таблиц, отдельно для некоррелированных бумаг, положительно коррелированных и отрицательно коррелированных бумаг, нанести портфели на плоскость риск-эффективность и отметить траектории эффективных портфелей.

2. Сформулировать и решить задачи формирования портфелей минимального риска при заданной эффективности и портфелей максимальной эффективности при заданном риске из трех видов ценных бумаг: акции А, акции Б и безрисковых ценных бумаг.

Риск портфеля – 20 %

Доходность - 9,5 %

Решение

1.На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п. Инвестор, у которого есть свободный капитал, всегда будет искать на финансовом рынке активы, способные удовлетворить его пожелания относительно пропорции между доходностью и риском.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг.

Набор ценных бумаг, находящийся у участников рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его ценных бумаг. Доходность портфеля – это доходность на единицу стоимости портфеля, выраженная в процентах годовых.

Пусть х_i – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i –го вида. Весь капитал принимается за единицу, поэтому очевидно, что х_i = 1. Пусть d_i – доходность в процентах годовых ценных бумаг i –го вида в расчете на одну денежную единицу, определяем по формуле

,

где - прибыль, полученная на весь пакет ценных бумаг.

= 151,60 тыс. руб.

= 124,83 тыс. руб.

Ст_i – стоимость i –той бумаги

d_А=(151.6*10³/(10000*100))*100%=15,60

d_Б=(124,83*10³/(10000*110))*100%=11,35

Тогда доходность всего портфеля определяют по формуле

d_р0 = 1*15,60+0*9,5 =13,8%

d_р1 = 0,9*15,60+0,1*9,5 =15,16%

d_р2 = 0,8*15,60+0,2*9,5 =14,59%

d_р3 = 0,7*15,60+0,3*9,5 =14,03%

d_р4 = 0,6*15,60+0,4*9,5 =12,90%

d_р5 = 0,5*15,60+0,5*9,5 =12,33%

d_р6 = 0,4*15,60+0,6*9,5 =11,76%

d_р7 = 0,3*15,60+0,7*9,5 =11,20%

d_р8 = 0,2*15,60+0,8*9,5 =10,63%

d_р9 = 0,1*15,60+0,9*9,5 =10,07%

d_р10 = 0*15,60+1*9,5 = 9,5%

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени и является, строго говоря, случайной величиной. Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и суммарная доходность портфеля также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля определяем по формуле

m_A1=(175*10³/10000-100)*100%=17,5%

m_A2=(304*10³/10000-100)*100%=30,4%

m_A3=(130*10³/10000-100)*100%=13%

m_A4=(120*10³/10000-100)*100%=12%

m_A5=(117*10³/10000-100)*100%=11,7%

m_A6=(150*10³/10000-100)*100%=15%

m_A7=(161*10³/10000-100)*100%=16,1%

m_A8=(144*10³/10000-100)*100%=14,4%

m_A9=(201*10³/10000-100)*100%=20,1%

m_A10=(18*10³/10000-100)*100%=1,8%

m_A11=(62*10³/10000-100)*100%=6,2%

m_A12=(88*10³/10000-100)*100%=8,8%

m_Б1=(100*10³/10000-110)*100%=1%

m_Б2=(106*10³/10000-110)*100%=1,06%

m_Б3=(118*10³/10000-110)*100%=1,18%

m_Б4=(130*10³/10000-110)*100%=1,3%

m_Б5=(152*10³/10000-110)*100%=1,52%

m_Б6=(120*10³/10000-110)*100%=1,2%

m_Б7=(129*10³/10000-110)*100%=1,29%

m_Б8=(124*10³/10000-110)*100%=1,124%

Дисперсия доходности портфеля бумаг по прошлым данным:

D_А ²= (1/311-1) *∑((17,5-13,8)²*28+(30,4-13,8)²*6+(13-13,8)²*11+(12-13,8)²*43+(11,7-13,8)²*27+(15-13,8)²*38+(16,1-13,8)²*39+(14,4-13,8)²*45 +(20,1-13,8)²*23+(1,8-13,8)²*3+(6,2-13,8)²*17+(8,8-13,8)²*31)= (1/311-1)*5681,13=18,33

D_А=4,28

D_Б ²=(1/70-1)*∑((1-11,9)²*7+(1,06-11,9)²11+(1,18-11,9)²*15+(1,3-11,9)²*6+(1,52-11,9)²*4+(1,2-11,9)²*8+(1,29-11,9)²*9+(1,24-11,9)²*10)=115,19

D_Б=10,73

Определяем дисперсию доходности

D_p0=4,28²*1+10,73²*0=18,32

D_p1=4,28²*0,9+10,73²*0,1= 24,26

D_p2=4,28²*0,8+10,73²*0,2=31,02

D_p3=4,28²*0,7+10,73²*0,3=38,63

D_p4=4,28²*0,6+10,73²*0,4=14,90

D_p5=4,28²*0,5+10,73²*0,5=56,33

D_p6=4,28²*0,4+10,73²*0,6=66,42

D_p7=4,28²*0,3+10,73²*0,7=77,35

D_p8=4,28²*0,2+10,73²*0,8=89,11

D_p9=4,28²*0,1+10,73²*0,9=101,71

D_p10=4,28²*0+10,73²*1=115,13

Определяем среднеквадратическое отклонение :

σ_p0=4.28

σ_p1=4.93

σ_p2=5.57

σ_p3=6.22

σ_p4=6.86

σ_p5=7.51

σ_p6=8.15

σ_p7=8.80

σ_p8=9.44

σ_p9=10.09

σ_p10=10.73

Определяем риск портфеля (коэффициент вариации):

V₀ = 4,28/13.8*100% = 31.01%

V₁ = 4.93/13.37*100% = 36.87%

V₂ = 5.57/12.94*100% = 43.04%

V₃ = 6.22/12.51*100% = 49.72%

V₄ = 6.86/12.08*100% = 56.79%

V₅ = 7.51/11.65*100% = 64.46%

V₆ = 8.15/11.22*100% = 72.64%

V₇ = 8.8/10.79*100% = 81.56%

V₈ = 9.44/10.36*100% = 91.12%

V₉ = 10.09/9.93*100% = 101.61%

V₁₀ = 10.73/9.5*100% = 112.95%

Таблица 8

Номер портфеля Показатель	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х1	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0
Х2	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
Доходность %	13.8	13.37	12.94	12.51	12.08	11.65	11.22	10.79	10.36	9.93	9.5
Дисперсия доходности, (%)2	18.32	24.26	31.02	38.63	14.9	56.33	66.42	77.35	89.11	101.71	115.13
Среднеквадратическое отклонение доходности, %	4.28	4.93	5.57	6.22	6.86	7.51	8.15	8.80	9.44	10.09	10.73
Риск портфеля (коэф. вариации), %	31.01	36.87	43.04	49.72	56.79	64.46	72.64	81.56	91.12	101.61	112.95

Каждый инвестор сталкивается с дилеммой выбора между доходностью и риском. Любой портфель оценивается по двум критериям – эффективности (доходности) и риску. Между портфелями существует отношение доминирования. Один портфель будет недоминируемым, когда для двух портфелей с эффективностью и риском (е₁, r₁) и (е₂, r₂), соответственно, выполняются условия Такой портфель будет называться эффективным.

Для аналитического построения траектории эффективных портфелей, рассмотрим возможность комбинирования в портфеле двух видов рисковых ценных бумаг с характеристиками (m₁, ₁)(m₂, ₂).

Воспользуемся определением парного коэффициента корреляции и преобразуем формулу для дисперсии и доходности портфеля к следующему виду, предполагая n=2.

При прямой зависимости бумаг одного вида от другого r = -0,5.

D_p0 = 1² *(4.28)² +2*1*0*(-0,5)*4.28*10.73+0²*(10.73)² =18,32%

D_p1 = 0,9² *(4,28)² +2*0,9*0,1*(-0,5)*4,28*10,73+0,1²*(10,73)² = 11,86%

D_p2 = 0,8² *(4,28)² +2*0,8*0,2*(-0,5)*4,28*10,73+0,2²*(10,73)² =8,98%

D_p3 = 0,7² *(4,28)² +2*0,7*0,3*(-0,5)*4,28*10,73 +0,3²*(10,73)² = 9,7%

D_p4 = 0,6² *(4,28)² +2*0,6*0,4*(-0,5)*4,28*10,73+0,4²*(10,73)² = 14%

D_p5 = 0,5² *(4,28)² +2*0,5*0,5*(-0,5)*4,28*10,73+0,5²*(10,73)² = 21,88%

D_p6 = 0,4² *(4,28)² +2*0,4*0,6*(-0,5)*4,28*10,73+0,6²*(10,73)² = 33,36%

D_p7 = 0,3² *(4,28)² +2*0,3*0,7*(-0,5)*4,28*10,73+0,7²*(10,73)² = 48,42%

D_p8 = 0,2² *(4,28)² +2*0,2*0,8*(-0,5)*4,28*10,73+0,8²*(10,73)² = 66,94%

D_p9 = 0,1² *(4,28)² +2*0,1*0,9*(-0,5)*4,28*10,73+0,9²*(10,73)² = 90,13%

D_p10 = 0² *(4,28)² +2*0*1*(-0,5)*4,28*10,73+1²*(10,73)² =115,13%

σ_р0=4,28

σ_р1=3,44

σ_р2=2,99

σ_р3=3,11

σ_р4=3,74

σ_р5=4,68

σ_р6=5,78

σ_р7=6,96

σ_р8=8,18

σ_р9=9,49

σ_р10=10,73

V₀ = 4,28/13,8*100% = 31,01 %

V₁ = 3,44/13,37*100% = 25,73 %

V₂ = 2,99 /12,94*100% = 23,11 %

V₃ = 3,11/12,51*100%= 24,86 %

V₄ = 3,74/12,08*100%= 30,96 %

V₅ = 4,68/11,65*100% = 40,17 %

V₆ = 5,78/11,22*100%= 51,52 %

V₇ = 6,96/10,79*100%= 64,50 %

V₈ = 8,18/10,36*100%= 78,96 %

V₉ = 9,49/9,93*100%= 95,57 %

V₁₀ = 10,73/9,5*100%= 112,95 %

Таблица 9

Номер портфеля Показатель	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х1	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0
Х2	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
Доходность %	13,8	13,37	12,94	12,51	12,08	11,65	11,22	10,79	10,36	9,93	9,5
Дисперсия доходности, (%)2	18,32	11,86	8,98	9,7	14	21,88	33,36	48,42	66,94	90,13	115,13
Среднеквадратическое отклонение доходности, %	4,28	3,44	2,99	3,11	3,74	4,68	5,78	6,96	8,18	9,49	10,73
Риск портфеля (коэф. вариации), %	31,01	25,73	23,11	24,86	30,96	40,17	51,52	64,50	78,96	95,57	112,95

При обратной зависимости бумаг одного вида от другого r= 0,5.

D_p0 = 1² *(4,28)² +2*1*0*0,5*4,28*10,73+0²*(10,73)² =18,32%

D_p1 = 0,9² *(4,28)² +2*0,9*0,1*0,5*4,28*10,73+0,1²*(10,73)² = 20,12%

D_p2 = 0,8² *(4,28)² +2*0,8*0,2*0,5*4,28*10,73+0,2²*(10,73)² =23,68%

D_p3 = 0,7² *(4,28)² +2*0,7*0,3*0,5*4,28*10,73+0,3²*(10,73)² = 28,98%

D_p4 = 0,6² *(4,28)² +2*0,6*0,4*0,5*4,28*10,73+0,4²*(10,73)² =36,03 %

D_p5 = 0,5² *(4,28)² +2*0,5*0,5*0,5*4,28*10,73+0,5²*(10,73)² = 44,84%

D_p6 = 0,4² *(4,28)² +2*0,4*0,6*0,5*4,28*10,73+0,6²*(10,73)² = 55,4%

D_p7 = 0,3² *(4,28)² +2*0,3*0,7*0,5*4,28*10,73+0,7²*(10,73)² = 67,7%

D_p8 = 0,2² *(4,28)² +2*0,2*0,8*0,5*4,28*10,73+0,8²*(10,73)² = 81,76%

D_p9 = 0,1² *(4,28)² +2*0,1*0,9*0,5*4,28*10,73+0,9²*(10,73)² = 97,57%

D_p10 = 0² *(4,28)² +2*0*1*0,5*4,28*10,73+1²*(10,73)² =115,13%

σ_р0=4,28

σ_р1=4,48

σ_р2=4,87

σ_р3=5,38

σ_р4=6,00

σ_р5=6,69

σ_р6=7,44

σ_р7=8,23

σ_р8=9,04

σ_р9=9,88

σ_р10=10,73

V₀ = 4,28/13,8*100% = 31,01%

V₁ = 4,48/13,37*100% = 33,51%

V₂ = 4,87/12,94*100% = 37,64%

V₃ = 5,38/12,51*100%= 43,00%

V₄ = 6,00/12,08*100%= 49,67%

V₅ = 6,69/11,65*100% = 57,42%

V₆ = 7,44/11,22*100%= 66,31%

V₇ = 8,23/10,79*100%= 76,27%

V₈ = 9,04/10,36*100%= 87,26%

V₉ = 9,88/9,93*100%= 95,37%

V₁₀ = 10,73/9,5*100%= 165,08%

Таблица 10

Номер портфеля Показатель	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х1	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0
Х2	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
Доходность %	13,8	13,37	12,94	12,51	12,08	11,65	11,22	10,79	10,36	9,93	9,5
Дисперсия доходности, (%)2	18,32	20,12	23,68	28,98	36,03	44,84	55,4	67,7	81,76	97,57	115,13
Среднеквадратическое отклонение доходности, %	4,28	4,48	4,87	5,38	6,00	6,69	7,44	8,23	9,04	9,88	10,73
Риск портфеля (коэф. вариации), %	31,01	33,51	37,64	43,00	49,67	57,42	66,31	76,27	87,26	95,37	165,08

Любой инвестор заинтересован в уменьшении риска портфеля при поддержании его эффективности на определенном уровне. Рассмотрим математическую формализацию задачи формирования оптимального портфеля, которую предложил американский экономист Марковиц.

Задача формируется следующим образом: необходимо сформировать два портфеля, один из которых обеспечивает наибольшее значение ожидаемой доходности для фиксированного уровня риска, а другой – наименьший риск для заданной ожидаемой доходности.

Математически задача определяется следующими формулами:

1. Максимизация доходности при фиксированном уровне риска

В результате решения поставленной задачи методом множителей Лагранжа, получаем следующую систему уравнений:

Решая систему, получим:

где m ₀ – доходность безрисковой бумаги,

m₁ и m₂ – доходности бумаг вида А и Б соответственно,

и - среднеквадратическое отклонение доходности бумаг вида А и Б соответственно,

1₁ и 1₂ –коэффициенты функции Лагранжа.

х₀- третий вид ценных бумаг, которые являются безрисковыми.

m₀ = 3 %, m₁ = 14,09 %, m₂ = 11,98 %, r_p= 14 %

Вывод: Для того, чтобы сформировать портфель ценных бумаг с максимальной доходностью при фиксированном риске 14%, необходимо: