Це означає, що існує лінійна функція (або многочлен першого степеня)
P |
(x)= f |
(x |
)+ f ′(x )(x − x |
)= y |
0 |
+ y' |
(x − x ) |
|
|
така, |
що |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
f (x) = P |
(x)+ o(x − x ), |
x → x , де P (x )= f |
(x |
), P' (x |
)= A = f '(x |
). |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
Поставимо більш загальну задачу. Нехай в деякому околі точки x0 |
існують похідні функції |
y = f (x) |
до п–го порядку включно. Потрібно |
встановити, чи існує многочлен Pn (x) степеня не вище п такий, що
функцію f (x) |
можна замінити |
цим многочленом з точністю до |
нескінченно |
малих більш високого порядку, |
ніж |
члени |
многочлена |
f (x) = Pn (x) + o((x − x0 )n ), |
x → x0 , |
|
|
(23.1) |
|
|
|
і |
P |
(x )= f (x |
); P' |
(x ) |
= f '(x ); |
... ; P(n) (x |
)= f |
(n) (x ) |
|
(23.2). |
|
n |
0 |
0 |
n |
0 |
0 |
|
n |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Будемо |
|
шукати |
цей |
|
многочлен |
у |
|
вигляді |
P |
(x)= A + A (x − x ) |
+ A |
(x − x )2 + A |
(x − x |
|
)3 |
+... + A (x − x |
)n , |
n |
|
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
3 |
0 |
|
|
n |
0 |
|
і знайдемо спочатку його похідні до п – го порядку включно:
Pn′(x)= A1 + 2A2 (x − x0 )+3A3 (x − x0 )2 +... + nAn (x − x0 )n−1 ,
′′ |
2A2 + 2 3A3 (x − x0 )+... +(n −1)nAn (x − x0 ) |
n−2 |
, |
Pn (x)= |
|
…………………………………………………………….
P(n) (x)=1 2 3 .... (n −1)nA = n!A . |
n |
n |
n |
З умов (23.2) і останніх рівностей при
Pn (x0 ) = A0 = f (x0 ) ; Pn′(x0 )= A1 = f ′(x0 );
Pn″(x0 )= 2!A2 = f (x0 );
......................................
Pn(n) (x0 )= n!An = f (x0 );
x = x0 отримаємо
A0 = f (x0 ), |
|
|
|
|
|
|
f ′(x ) |
|
|
|
A |
= |
|
|
0 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′′(x |
) |
|
|
A |
= |
|
|
0 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...................... |
|
|
|
|
f (n) |
(x |
|
) |
|
A |
= |
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тому многочлен Pn (x) можна записати у вигляді:
Pn (x) = fn (x0 ) + fn′1!(x0 ) (x − x0 )+ fn′′2!(x0 ) (x − x0 )2 +....+ + fn(nn)(!x0 ) (x − x0 )n .
Причому, з самої побудови многочлена зрозуміло, для нього виконуються всі умови (23.2). Перевіримо тепер, чи задовольняє він умову (23.1).
|
Різницю |
між |
значенням |
функції |
|
f (x) і |
|
многочленом Pn (x) |
позначимо |
|
rn (x)= f (x)− Pn (x). |
З |
|
умов |
(23.2) |
|
видно, |
що |
значення |
функції rn (x) і всіх її похідних до |
|
n −го |
|
порядку в точці x0 |
дорівнюватимуть нулеві: |
r (x |
)= r′(x )=... = r(n) |
(x )= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
n |
|
0 |
|
|
n |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Порівняємо нескінченно малі функції r (x) |
і |
(x − x )n |
(x → x ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
rn (x) |
|
|
|
|
|
|
I правило |
|
|
|
|
rn′(x) |
|
|
|
|
|
rn(n−1) (x) |
|
|
rn(n) (x0 ) |
|
|
|
|
|
0 |
Лопіталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
... = lim |
|
|
|
|
|
= |
|
= 0. |
(x − x |
)n |
|
|
|
|
|
− x |
|
− |
|
n !(x − x0 ) |
n ! |
x→x0 |
|
|
0 |
|
|
|
x→x0 n(x |
|
)n 1 |
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже rn (x) |
є нескінченно малою функцією вищого порядку малості, ніж |
(x − x0 )n |
при |
x → x0 , |
тобто |
rn (x)= o((x − x0 )n ), x → x0 . Отриманий |
результат сформулюємо у вигляді теореми: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 23.1. Нехай функція f (x) , яка визначена в інтервалі |
|
|
(a;b), має в точці x0 (a; |
b) |
похідні до порядку п включно. Тоді |
|
при x → x0 |
|
|
|
f ′(x0 ) |
|
|
|
|
|
f ′′(x0 ) |
|
|
|
|
|
f ′′′ |
(x0 ) |
|
|
|
|
f (x) |
= f (x |
) + |
|
|
(x − x |
)+ |
|
(x − x |
)2 + |
(x − x )3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
! |
|
|
|
0 |
|
|
2 ! |
0 |
3 |
! |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+.... |
|
|
+ |
f (n)(x0 ) |
(x − x0 )n + o((x − x0 )n ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
f |
(k ) |
(x0 ) |
(x − x0 )k +o((x − x0 )n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
f (x)= ∑ |
|
|
. |
(23.3) |
|
|
|
|
|
|
k |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ця теорема правильна і для функції y = f (x), де x [a;b] |
і x0 [a,b] , |
якщо для x0 |
= a (x0 = b) під похідними розуміти односторонні похідні. |
Означення 23.1. Формулу (23.3) називають формулою Тейлора |
п го порядку з залишковим членом у формі Пеано. Многочлен |
Pn (x) |
називають |
многочленом |
Тейлора, |
а |
функцію |
rn (x) = f (x)− Pn (x) |
називають |
залишковим |
членом |
п–го |
порядку формули Тейлора. |
x0 = 0, |
то одержимо частковий |
Якщо у формулі (23.3) покласти |
випадок формули Тейлора, яку називають формулою Маклорена. |
|
Доведена теорема дозволяє замінити довільну функцію, яка задовольняє умовам теореми 23.1, в околі деякої точки многочленом з точністю до нескінченно малих більш високого порядку, ніж члени многочлена. Таким многочленом є многочлен Тейлора. Величина похибки при цьому дається залишковим членом.
Залишковий член формули Тейлора.
Теорема 23.2. Якщо функція |
f (x) в деякому околі точки x0 має |
похідні (п+1) го порядку, то |
x Ο(x0 ) і p N знайдеться |
точка ξ [x0 , x] така, що для залишкового члена rn (x) формули |
Тейлора функції f (x) має місце формула
rn (x)= |
f (n+1) |
( |
|
)( |
|
) |
|
x |
|
x0 |
, |
|
|
ξ |
|
x −ξ |
|
n+1 |
|
|
− |
|
p |
|
|
|
|
n! p |
|
|
|
x −ξ |
|
|
яку називають формулою Шльомільха–Роша.
(О.Шльомільх (1823 1901) – німецький математик; Е.Рош (1820 1883) – французький математик і астроном).
Доведення. Проаналізуємо залишковий член r |
(x)= f (x)− P |
(x, x |
). |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
0 |
|
Нехай t [x0 , x], розглянемо допоміжну функцію: |
rn (x) |
|
|
|
ψ (t )= f (x)− Pn (x,t )−(x −t )p Q(x), в якій Q(x)= |
, або |
|
(x − x )p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(t ) |
|
f (n) (t ) |
|
|
0 |
|
|
|
ψ (t )= f (x)− f (t )− |
(x −t )−... − |
(x |
−t )n −(x −t )p Q(x). |
|
|
|
|
1! |
|
n! |
|
|
|
|
|
Покажемо, що ця функція ψ (t ) задовольняє умовам теореми Ролля:
1)ψ (t ) неперервна на [x0 , x] як алгебраїчна сума неперервних функцій на відрізку [x0 , x];
2)ψ (t )–диференційовна на інтервалі (x0 , x) і її похідна дорівнює:
ψ ′(t )= − f ′(t )+ |
f ′(t )− |
f ′′ |
(t ) |
(x −t ) |
+ |
f ′′(t ) |
2(x −t )− |
f ′′′(t ) |
(x −t ) |
2 |
+... + |
1! |
2! |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
f (n) (t ) |
n(x −t ) |
n−1 |
− |
f (n+1) |
(t ) |
(x −t ) |
n |
+ p(x |
−t ) |
p−1 |
Q(x), або |
|
|
n! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ′(t )= − f (n+n1!) (t )(x −t )n + p(x −t )p−1 Q(x).
3)ψ (x0 )= f (x)− Pn (x, x0 )−(x − x0 )p Q(x0 )= rn (x)− rn (x)= 0;
ψ(x)= f (x)− Pn (x, x)−(x − x)p Q(x0 )= f (x)− f (x)= 0,
ψ(x0 )=ψ (x)= 0, тому існує точка ξ [x0 , x] така, щоψ′(ξ)= 0, або
−f (n+n1)!(ξ )(x −ξ )n + p(x −ξ )p−1 Q(x)= 0, звідки
Q(x)= |
(x −ξ )n−p+1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
n! p |
|
f (n 1) (ξ ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді rn (x)= Q(x)(x − x0 ) |
p |
= |
(x −ξ )n+1 (x − x )p |
f |
+ |
(ξ ), або |
|
|
(x −ξ )p n! p |
|
(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
rn (x)= |
x − x0 |
p (x −ξ )n+1 |
f (n+1) |
(ξ ). |
|
(23.4) |
|
|
x −ξ |
|
|
n! p |
|
|
|
|
|
Випадок, коли x < x0 , розглядається аналогічно. |
|
|
|
Оскільки точка ξ лежить між точками |
x0 |
|
і x , то існує дробове |
додатне число 0 <θ <1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ − x0 =θ (x − x0 ), ξ = x0 +θ (x − x0 ), |
|
|
|
|
|
x −ξ = x − x0 −θ (x − x0 )= (1−θ )(x − x0 ), |
і |
формула (23.4) набере |
вигляду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rn (x)= |
(x − x |
|
)p (1 −θ )n+1 |
(x − x )n+1 |
|
+ |
(x0 |
+θ (x − x0 )), |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
f |
(n 1) |
або, |
після |
|
(1 −θ )p (x − x |
)p n! p |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скорочень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n+1) (x0 +θ (x − x0 ))(1 −θ )n+1−p |
|
n+1 |
|
|
|
r |
(x) |
= |
|
|
|
|
|
|
(x − x |
) |
|
(23.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n! p |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отримали залишковий член у формі Шльомільха Роша.
Розглянемо два випадки:
|
|
|
|
|
|
|
I. |
p = n +1, отже |
rn (x)= |
f (n+1) (x0 +θ (x − x0 )) |
(x − x0 ) |
n+1 |
(23.6) |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
Кажуть, що залишковий член записаний у формі Лагранжа, він нагадує наступний член у многочлені Тейлора, однак значення (n +1)
|
ої похідної обчислюється не в точці |
x0 , а в деякій проміжній точці |
|
ξ = x0 +θ (x − x0 ) , яка лежить між точками x і x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n+1) (x0 +θ |
(x − x0 )) |
(1−θ )n |
n+1 |
|
II. |
p =1, отже |
rn (x)= |
|
|
|
(x − x0 ) |
|
. (23.7) |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут кажуть, що залишковий член записаний у формі Коші. |
|
|
Обидві форми залишкового члену rn (x) використовуються в тих випадках, коли потрібно наближено обчислити значення функції f (x) і оцінити точність такого наближення. Зокрема, якщо функція f (x) і її похідні є обмеженими функціями, тобто n N і x Ο(0)
виконується нерівність f (n) (x) ≤ M , то залишковий член, записаний
у формі Лагранжа (x0 |
= 0) можна оцінити: |
|
|
|
|
|
|
|
r |
(x) |
|
= |
|
f (n+1) (θ x) |
|
|
x |
|
n+1 |
≤ M |
|
x |
|
n+1 |
→0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
(n +1)! |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Звідси випливає, що, вибираючи достатньо великий номер n , ми
можемо зробити залишковий член як завгодно малим. |
|
|
|
|
Многочлен Тейлора порядку n є многочленом, який найкраще |
серед всіх |
многочленів |
|
степеня |
|
n |
наближає |
функцію |
f (x) |
«в |
нескінченно малому околі» точки |
|
x0 , тобто при |
x → x0 . При цьому |
такий многочлен виявляється єдиним, тобто має місце теорема |
|
|
|
|
Теорема 23.3. Нехай функція |
|
f диференційовна до порядку n |
|
|
|
включно в точці x0 |
і нехай |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= Pn (x)+o((x − x0 )n ), |
x → x0 |
(23.8), |
|
|
|
|
|
|
Pn (x) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
= ∑ak (x − x0 )k |
– |
|
деякий многочлен степеня, |
не |
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
f (k ) (x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тобто P (x) |
|
|
|
|
вищого n . |
Тоді a |
k |
= |
|
0 |
|
, k = 0,1, 2,..., n, |
є |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочленом Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
Доведення. З формул (23.3) і (23.8) випливає, що при x → x0 : |
|
|
n |
( k ) |
(x0 ) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
f |
|
(x |
− x0 )k +o((x − x0 )n ) = ∑ak (x − x0 )k +o((x − x0 )n ) . |
(23.9) |
|
|
|
|
|
k =0 |
k! |
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
В останній рівності перейдемо до границі при x → x0 , отримаємо:
f (x0 ) = a0 .
Тоді в лівій і правій частині рівності (23.9) знищуємо рівні доданки f (x0 )
і a0 і скорочуємо на x − x0 , врахувавши, що o((x − x0 )n ) = ε(x)(x − x0 )n , |
ε(x) x→x →0. Отримаємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
( k ) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
(x − x0 )k −1 + o((x − x0 )n−1 ) |
= ∑ak (x − x0 )k −1 + o((x |
− x0 )n−1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
k! |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знову перейдемо до границі при |
|
x → x |
, отримаємо: |
f ′(x0 ) |
= a . |
|
1! |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовжуючи цей процес, |
отримаємо, що ak |
= |
f ( k ) (x0 ) |
, k = |
|
, |
|
2, n |
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тобто Pn (x) є многочленом Тейлора.
План:
1.Приклади розкладу функції за формулою Тейлора. Оцінка точності наближення.
2.Застосування формули Тейлора до обчислення границі функції, обчислення значення функції.
3.Доведення ірраціональності числа e.
Приклади розкладу функції за формулою Тейлора . Оцінка точності наближення.
1. |
y = sin x має похідні |
|
всіх |
порядків. |
Знайдемо |
для |
неї формулу |
|
Маклорена (x0 = 0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
(n) |
|
|
|
|
|
+ n |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = sin x |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
0, якщо n = 2k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1, 2,3,... |
|
|
|
|
(0)= sin n |
|
|
|
|
−1) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
( |
|
, якщо n = 2k +1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = 0 + |
|
1 |
x+0x2 − |
|
1 |
|
|
x3 +0x4 + |
|
1 |
|
|
x5 |
+... + |
(−1)2n+4 |
|
1 |
|
|
|
x2n+1 +o(x2n+2 ), |
|
|
|
3! |
5! |
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
n=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=3 |
|
|
|
|
|
n+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
k+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x5 |
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
n |
x2n+1 |
+ o(x |
2n+2 |
), при x |
|
sin x = x − |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
+... +(−1) |
|
|
|
|
|
→0, |
3! |
5! |
|
7! |
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
x |
2k+1 |
+ o(x2n+2 ), x → 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = ∑( |
−1)k |
|
|
|
|
|
|
|
(24.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Залишковий член тут записано у вигляді o(x2n+2 ), а не у вигляді
266
o(x2n+1 ), оскільки наступний за останнім виписаним доданком член
многочлена Тейлора дорівнює нулю. Залишковий член у формі Лагранжа записується у вигляді
|
|
|
x2n+2 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
і x [−r, r]: |
|
r2n+1 |
(x)= |
|
|
sin θ x + |
|
|
|
(n +1) |
, 0 |
|
<θ <1, |
|
(2n + 2)! |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2n+1 |
|
|
≤ |
r2n+2 |
|
(24.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n + 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. y = cos x має похідні всіх порядків.
cos |
(n) |
|
|
|
|
|
π |
, |
|
|
|
(x)= cos x + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(n) |
|
|
|
π |
|
|
0, якщо n = 2k +1, |
y |
|
|
= |
|
|
|
k = 0,1, 2,... |
|
(0)= cos n |
|
2 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
, якщо n = 2k, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x =1− |
x2 |
+ |
|
x4 |
− |
x6 |
+... +(−1)n |
x2n |
|
+o(x2 n+1 ), x |
→ 0, n = 0,1, 2,..., або |
|
|
|
|
6! |
(2n)! |
|
|
|
2! |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2k |
+o(x2n+1 ), x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x = ∑(−1)k |
|
|
|
|
|
|
|
(24.3) |
|
|
|
|
(2k )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічно |
, як і для функції y = sin x , маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2n (x) |
|
≤ |
|
|
|
r2n+1 |
|
|
x [−r, r] |
. |
|
|
|
|
|
(24.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
y = ex . |
|
Оскільки |
|
|
|
y(n) (x)= ex , то |
y(n) (0)= e0 |
=1, |
|
n = 0,1,2,... отже |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex =1 + x + |
x |
+ |
x |
+... + |
x |
+ o(xn ), x → 0, n = 0,1, 2,..., або |
|
2! |
3! |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
= ∑k=0 |
x |
+ o(xn ), x → 0 |
|
|
|
|
|
|
(24.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
Залишковий член |
у формі Лагранжа дорівнює |
|
|
|
|
rn |
(x)= |
|
eθx |
|
|
|
xn+1 |
і |
|
x [−r, r]: |
|
rn (x) |
|
≤ |
|
rn+1 |
|
er . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замінимо в останній формулі змінну x на −x , отримаємо розклад функції y = e−x :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
k |
x |
k |
|
(xn ), x → 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x = ∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
+o |
|
|
|
(24.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
y = shx := |
|
ex |
− e−x |
y = chx |
:= |
|
ex |
+ e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Додамо і віднімемо рівності (24.5) і (24.6), отримаємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
shx = ∑k=0 |
|
|
|
x |
|
+ o |
(x2n+2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k +1)! |
, x →0, n = 0,1,2... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
chx = ∑k=0 |
|
x |
+ o(x2n+1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2k )! |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y = (1+ x)α , де α R. Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n) =α (α −1) ... (α − n +1)(1 + x)α−n , то |
|
|
|
|
|
|
|
y(0) =1, |
|
y(n) (0)=α(α −1) ... (α −n +1), |
отже |
|
|
|
|
(1+ x)α =1+αx + |
|
α (α −1) |
x2 |
+ |
|
α (α −1)(α − 2) |
x3 +... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
+ |
α (α −1) ... (α − n +1) |
xn |
|
+ o(xn ), |
|
x → 0, n = 0,1, 2,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ x)α =1+ ∑α |
(α −1)...(α − k +1)xk |
+ o(xn ), |
x → 0 |
|
(24.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n N, то |
в останній формулі розглянути частинний випадок: α |
r (x)= |
α (α −1)...(α −n) |
(1+θ x)α−(n+1) |
xn+1 = |
n(n −1)...(n −n) |
(1+θ x)−1 xn+1 = 0, |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тому ми |
отримаємо |
вже |
|
|
відому |
вам |
формулу |
бінома |
Ньютона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ x)n |
=1+ |
n |
x + |
n(n −1) |
x2 |
+... + xn |
|
|
|
|
(24.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. y = ln(1+ x) .
|
y′ = |
1 |
= (1 + x)−1 |
; y′′ = −(1 + x)−2 ;....y(n) = (−1)n−1 (n −1)!(1 + x)−n ; |
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тому |
y(0)= ln1 = 0, |
y(n) (0)= (−1)n−1 (n −1)! і формула Маклорена |
|
матиме вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x3 |
|
|
n−1 xn |
n |
|
|
|
ln (1 + x)= 0 + x − |
|
+ |
|
+... + (−1) |
|
|
+ o(x |
|
), x → 0 , |
|
|
2 |
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
ln (1+ x) |
n |
|
|
k−1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑(−1) |
|
|
x |
+o(xn ), |
x → 0 |
|
|
(24.9) |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосування формули Тейлора до обчислення границі функції, обчислення значення функції.
f (x)
І. Обчислення границь функцій. Нехай потрібно обчислити lim ( ),
x→x0 g x
де |
lim f |
( |
x |
) |
= lim g |
( |
x |
) |
= 0 |
. Припустимо, що |
функції |
|
f |
(x) |
|
і g (x) |
x→x |
|
|
x→x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можна розкласти за формулою Тейлора в околі точки x0 : |
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= a(x − x0 )n +o((x − x0 )n ), a ≠ 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x)= b(x − x0 )m +o((x − x0 )m ), b ≠ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
n > m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
a(x − x0 ) |
|
+ o((x − x0 ) ) |
|
|
a |
|
|
n−m |
|
|
|
|
lim |
= lim |
|
= |
|
lim |
(x − x ) |
= |
a |
, |
n = m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ o((x − x0 )m ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 g (x) |
|
x→x0 b(x − x0 )m |
|
|
b x→x0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞, n < m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут |
ми поділили |
чисельник |
|
і знаменник почленно |
на |
(x − x )m |
і |
|
|
|
|
|
|
|
o((x − x0 )n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
врахували, що lim |
= 0 при n |
≥ m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − x )m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклади: |
|
|
|
ex |
− e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Знайти границю lim |
− 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
