Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Винницкий государственный педагогический университет им. М. Коцюбинского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat.analiz_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

6.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>


				4
	3n3 −4		3	−				3 −0
5. lim	3n3 −4	= lim	3	−		n3	=	3 −0	= 3.
5. lim	n3 +6	= lim					=	1+0	= 3.
n→∞	n3 +6	n→∞		6				1+0
			1	+
			1	+	n3

		1+ 2 +... + n												1+ n			n					1						n2		+ n					1							1				1
		1+ 2 +... + n								= lim				2			n				=	1						n2		+ n				=	1						+	1			=	1
6.	lim																							lim														lim 1									.
6.	lim				n	2								n		2								lim					n		2							lim 1								2	.
	n→∞				n							n→∞		n									2 n→∞						n							2 n→∞						n				2
																		1							1		n
																		1			1−				2
																									2																1		n+1
				1			1						1											1																	1
				1			1						1											1											2				1−
7.	lim	1+		2	+			4	+...		+		2n	= lim							1− 2										= lim										2					=
7.	lim			1				1						= lim													n				= lim									1		n+1				=
	n→∞	1+		1	+			1	+...		+		1	n→∞										1			n					n→∞ 3								1		n+1
		1+		3	+			9	+...		+		n					1			1−				3										2				1−		3
				3				9				3													3										2						3
																						1− 1
																								3
																												1	n+1
															4					lim 1−								2									4
														=	4					n→∞								2						=			4	.
														=	3													1	n+1					=	3			.
															3													1	n+1						3
																				lim 1−								3
																				n→∞								3
			Невизначеності типу																	0	,	∞		,		0 ∞,						∞ −∞.
			Невизначеності типу																0		,	∞		,		0 ∞,						∞ −∞.
																			0			∞
	Ми розглянули вирази																			x		± y				,		x		y			,		xn					і в припущенні, що
	Ми розглянули вирази																			x		± y				,		x		y			,							і в припущенні, що
																					n				n				n			n			yn
																																			yn
існують				скінченні								границі							числових										послідовностей															(xn ) і (yn ),

встановили границю кожного з цих виразів. Однак залишилися без уваги випадки, коли: 1) границі (xn ) і (yn ) – нескінченні і 2) в частці границею знаменника є нуль. З усіх цих випадків ми зупинимося лише на чотирьох, які мають важливі і цікаві особливості. Отже,

110

нехай маємо

числову

послідовність

Потрібно знайти lim

n→∞

10 Якщо

→ 0,

→0, то lim

= lim

= li m

= li mn = ∞;

n n→∞

n2 n→∞

n→∞ yn

n→∞ 1

n→∞ n

n→∞

20 Якщо

→ 0,

→ 0 , то lim

= lim

= li m

= 0;

n→∞

n n→∞

n→∞

n→∞ 1

n→ ∞ n

30 Якщо x

→ 0,

→0 , то lim

= lim

= lim a = a ;

n n→∞

n→∞ yn

n→∞ 1

n→∞

(

−1 n

(−1)n

)

→ 0,

→0 , то

lim

= lim

−1

4 Якщ о

–

n→∞

n n→∞

n→∞

n→∞ (

)

не існує.

Тут ми зустрілись з таким особливим випадком: не знаючи самих

змінних

(xn ) і

(yn ),

ніяких тверджень

про

границю їх

частки

ми

зробит и не можемо. Ця границя в залежності від конкретного закону зміни обох змінних може мати різні значення або навіть зовсім не існувати. Тому, для того, щоб охарактеризувати цю особливість,

кажуть, що коли lim x			= 0 і	li m y		= 0 , то вираз	xn	є невизначеністю
кажуть, що коли lim x		n	= 0 і	li m y	n	= 0 , то вираз	yn	є невизначеністю
	n→∞	n		n→∞	n

типу	.

111

Нехай тепер числова послідовність

така,

що

Потрібно знайти li m

n→ ∞

= n →∞,

= n

→ ∞ , то li m

= lim

= 0 ;

Якщо

n→∞

n→∞ yn

n→ ∞ n2

n →∞ n

= n

→∞,

= n → ∞ , то li m

= lim

= lim n = ∞;

Якщо

n→∞

n→∞ yn

n→ ∞ n

n →∞

= a

= n → ∞

, то li m

= li m

= lim a = a ;

Якщо

→ ∞,

n→∞

n→ ∞

n→∞

Якщо

(−1)n

→∞,

= n →∞, то lim

= lim

(−1)n n

= li m

(

−1 n

–

n→∞

)

не існує.

Отже, у цьому випадку кажуть, що коли lim xn = ∞ і lim

yn = ∞,

n→∞

то вираз

є невизначеністю типу .

Нехай

числова

послідовність

така,

що

, потрібно знайти lim xn yn .

n→∞

Якщо

→ 0,

= n2

→ ∞, то lim x y

= lim

= lim n = ∞;

n n→∞

n→∞

n→∞ n

n→∞

Якщо

→ 0,

= an → ∞, то li m x y

= lim an

= lim a = a ;

n n→∞

n→∞

Якщо x

→ 0,

= n → ∞, то lim x y

= lim

n = lim

= 0 ;

n→∞

n→∞ n2

n→∞ n

Якщо

(−1)n

→0,

y =n →∞, то lim x y

= lim

(−1)n

n =li m

(

−1 n

–

n→∞

n→∞ n n

n→∞

)

не існує.

Отже, у цьому випадку кажуть, що числова послідовність (xn yn )

є невизначеністю типу

112

Нарешті

нехай

числова

послідовність

така, що

. Потрібно знайти lim

xn + yn ).

10 Якщо

n→∞

= a

n →+

= −n →− ∞ , то

n→∞

lim

(xn + yn ) = lim

(a + n − n) = lim a = a ;

n→∞

20 Якщо

= 2n →+ ∞,

yn = −n →− ∞, то

n→∞

n →∞

lim(xn + yn ) = lim(2 n − n)

= lim n = ∞

;

n→∞

30 Якщо

= (−1)n + n → + ∞,

= −n → −∞, то

n→∞

lim

+ y

) = lim

(

(−1)n

+ n − n

)

= lim

(−1)n – не існує;

n→∞

40 Якщо x

+ n →+ ∞, y

= −n →−∞,

то

n→∞

lim(x

+ y

)= lim

+ n − n = lim

= 0.

n→∞ n

n→∞

n→∞ n

Отже, у

цьому

випадку

кажуть, що

числов а

послідовність

є невизначеністю типу

В усіх ци х випадках необхідно безпосередньо враховувати закони зміни обох змін них, досліджувати конкретний вираз. Подібне дослідж ення називається розкриттям невизначеності. Вона далеко не завжди таке просте, як в наведених прикладах.

Пр иклад 8. Знайти границ ю числової послідовності

n + 2 −

n ).

Розв’язання.

(

− n )(

n + 2 + n )

n + 2

lim n + 2 −

n = (∞ − ∞)= lim

(

n + 2 +

n )

n→∞ (

)

n→ ∞

= lim

n + 2 − n

= lim

= 0 .

n )

n→∞ (

n + 2 +

n →∞

n + 2 +

113

Приклад 9. Знайти границю відношення двох многочленів:

lim apn p + ap−1n p−−1 +... + a0 .

n→∞ bqnq +bq−1nq 1 +... +b0

a. Нехай p = q.

Поділимо

чисельник

знаменник

на n p ,

і,

враховуючи, що

→0, k N , матимемо

n→∞

ap + ap−1 n

+... + a0

a p

lim

n p

n→∞

bq +bq−1 n

+... +b0

b. Нехай p > q. Поділимо чисельник і знаменник на nq :

n p−q + a

n p−1−q +... + a

lim

p−1

0 nq

= ∞.

n→∞

+... +b

q−1 n

0 nq

c. Нехай p < q . Поділимо чисельник і знаменник на n p :

+ a

+... + a

p−1 n

lim

0 n p

= 0 .

n→∞ b nq−p +b

nq−1−p +... +b

q−1

0 n p

p = q,

n p

+ a

n p−1 +... + a

lim

p−1

= ∞,

p > q,

nq−1 +

n→∞ b nq

... +b

p < q,

q−1

Приклад 10.

Розглянемо

числові

послідовності

(an ), a >1

(nk ), k N .

114

xn = an → + ∞ (a >1), yn = nk →∞ (k > 0).

n→∞

Якщо a >1, то нехай a = λ +1,

λ > 0 ,

тоді за формулою бінома

Ньютона маємо an

= (λ +1)n

=1+ nλ +

n(n −1)

λ2 +... + λn >

n(n −1)

λ2 .

Оскільки для n > 2 виконується нерівність n −1 >

, то

an >

n(n −1)

λ2 >

λn = (a −1)2

n2 ,

an >

(a −1)2

: n

(8.10)

> (a −1)2

→∞ lim

= +∞.

n→∞

n→∞ n

Оскільки цей результат правильний

a >1,

то взявши k >1,

можна записати ( n > N ):

n k

→ +∞, тому

n .

(8.11)

Приклад 11. Знайти

lim

n→∞

Розв’язання. Розглянемо числову послідовність (n n ). Обчислимо на калькуляторі чи комп’ютері декілька її членів:

2 =1, 414213;

3 3 =1, 442249;

44 =1, 414213;

55 =1,379729;

115

10 10 =1, 258925;

100 100 =1,047128;

1000 1000 =1,006931;

1000000 1000000 =1,000013;

...........................................

Висунемо припущення про те, що із збільшенням номера n члени послідовності прямують до одиниці, тобто

(8.12)

Доведемо це припущення.

Використаємо

нерівність (8.10):

an >

(a −1)2

n2 , в якій покладемо a = n n , тоді

(n n −1)2

(n n )n >

n2 ,

(n n −1)2

n >

> (n n −1)2 ,

n n −1

< ε .

З останньої нерівності оцінимо n : n >

≥

= n . Тобто

ε > 0 ми вказали номер n

, такий що n > n

виконується

нерівність

n n −1

< ε , а це і означає, що lim n

n =1.

n→∞

116

Приклад 12. Довести, що

(8.13)

Доведення. Використаємо границю (8.11) для k =1:

lim

= ∞ (a >1). Нехай an

= t n = loga t . Якщо n → ∞, то t →∞.

n→∞

Отже,

lim

= ∞ lim

loga t

=0.

n→∞ loga t

n→∞

Приклад 13. Довести, що

(8.14)

Доведення. Очевидно,

що

a > 0

n :

. Отже, маємо

0 < an = an0 a n! n0 ! n0

an0

n−n0

...

n0 !

an0

1 n−n0

lim

= lim

n→∞

n→∞ n !

, звідки

	an0		0 = 0 .
	n !		0 = 0 .
	n !
	0

Приклад 14. Довести, що					.	(8.15)
Доведення. Використаємо границі з прикладу 13:
	a	n		df	(ε =1) n0 , n > n0 :	a	n
lim	a		= 0	ε > 0		a		<1,
lim			= 0	ε > 0		n!		<1,
n→∞ n!						n!
					an < n!,
				n an < n n!,
					n n! > a .
А оскільки a > 0 – довільне число, то lim n n! = ∞.
					n→∞

117

План:

1.Границя монотонної послідовності.

2.Число e.

3.Теорема про стяжну послідовність вкладених відрізків.

Мета лекції: усвідомити, що обмеженість монотонної послідовності є необхідною і достатньою умовою її збіжності; знати другу «чудову» границю, уміти застосовувати теорему про границю монотонної

послідовності до різних задач.

Границя монотонної послідовності.

Основні теореми про границі дають змогу встановлювати існування та знаходити числове значення границі заданої послідовності за допомогою границь інших числових послідовністей, які пов’язані з заданою числовою послідовністю. Проте в деяких випадках, як теоретичного так і практичного характеру, не завжди можна використати ці теореми. Тому доводиться застосовувати інші способи, зокрема використовувати ознаки збіжності числових послідовностей.

Означення 9.1. Послідовність (xn ) називається неспадною (незростаючою), якщо кожний елемент цієї послідовності, починаючи з другого, не менший (не більший) попереднього елемента: x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ ... ≤ xn ≤ xn+1 ≤...

(x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ ... ≥ xn ≥ xn+1...).

Якщо ж кожний наступний елемент більший (менший) за попередній, то (xn ) називається зростаючою (спадною)

послідовністю: x1 < x2 < x3 < ... < xn < xn+1 <...

(x1 > x2 > x3 > ... > xn > xn+1...).

118

Зростаючі, спадні, неспадні, не зростаючі послідовності називаються монотонними.

Теорема 9.1. Якщо послідовність

x1 , x2 ,..., xn ,... (9.1)

є монотонно неспадна (незростаюча) і обмежена зверху (знизу),

то вона збіжна, причому

lim x

= sup{x },

lim x

= inf {x

}

)

n→∞ n

(n→∞ n

Доведення. Нехай послідовність (xn ) – неспадна, тобто:

x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ ... ≤ xn ≤ ...

і обмежена зверху, тобто існує таке число М, що xn ≤ M

n N . Тоді

множина (xn )

має точну верхню грань, яку позначаємо через а.

Покажемо, що lim xn

= a .

n→∞

a = sup {xn }

1) n :

xn ≤ a;

n=1,2...

2) ε > 0 n0

: xn > a −ε .

a −ε <xn

≤ xn +1

≤ xn +2 ≤

...≤a < a

+ε , або

ε > 0 n , n ≥ n : a −ε < x > a +ε

− a

< ε lim x

= a .

n→∞ n

Ця теорема дає ознаку, за якою можна встановити тільки існування границі числової послідовності, але не можна знайти її числове значення.

Зауваження 1. Якщо числова послідовність (xn ) монотонна і необмежена, то вона є нескінченно велика.

Доведення. Нехай (xn ) – неспадна і необмежена зверху.

(xn )	− необмежена зверху M
(xn )	− неспадна xn	≤ xn	+1	≤ xn	+2
	0	0		0

тобто lim xn = ∞.

n→∞

> 0 n : x		> M
0	n0		xn	> M n > n0 ,
≤...			xn	> M n > n0 ,

Зауваження 2. Умова монотонності в теоремі 9.1 є обов’язковою.

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.2019329.22 Кб3lektsiya_4_.doc
#
21.11.2019649.22 Кб3Lektsiya_5.doc
#
14.11.201964.91 Кб2lektsiya_Ivanitskoyi.docx
#
24.08.2019110.57 Кб2Magna Carta.docx
#
11.11.2019550.91 Кб13main text2do.doc
#
08.06.20156.59 Mб71mat.analiz_1.pdf
#
08.06.201518.25 Кб14matematika2.docx
#
20.11.201982.25 Кб1Materiali_dlya_chitannya.docx
#
09.09.2019135.68 Кб2metodika_36-40 44-46.doc
#
22.11.2019176.13 Кб3Metodi_naukovikh_dosl_lekts.doc
#
30.11.201866.05 Кб2Metod_recom_ekol_projekt.doc