mat.analiz_1

1.yn = n2 ; 1; 4; 9; 16; ...; n2 ; ...;

2.yn = (−1)n ; −1; 1; −1; 1;... ,

3.(1 ); 1; 1; 1; 1; ... ,

4.yn = sin 1n ; sin1; sin 12 ; sin 13;...;sin 1n ;...

б) Задання послідовності рекурентним способом, за яким задається декілька перших членів і правило утворення n го члена за допомогою попередніх членів.

Приклади:

члена цієї послідовності.

Розв’язання. Знайдемо всі послідовності вигляду (qn ), q R , які задовольняють рівність:

співвідношенню. Знайдемо значення сталих c1 і c2 , при яких

Отже, формула загального члена набирає вигляду:

yn = 2n −3n−1, n ≥1.

91

8. (Числа Фібоначчі) (yn ): y1 = y2 =1, yn+2 = yn+1 + yn , n N , тобто

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ...

Виходячи з зауваження, знайдемо розв’язок квадратного рівняння:

Отже,

Останню формулу називають формулою Біне.

Арифметичні операції над числовими послідовностями.

Нехай маємо дві числові послідовності:

підмножина множини натуральних чисел N , то послідовність

93

послідовності .

Пр иклади:

9. (n): 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;...

Отже, (2n) є підпослідовністю послідовності (n) .

Означення 7.3. Числова послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує число М, що для будь якого n N виконується нерівність yn ≤ M .

94

тому дана послідовність обмежена.

Границя числової послідовності. Необхідна умова збіжності.

Розглянемо числові послідовності (xn ),(yn ),(zn ),(un ) та позначимо кілька їх членів точками на числовій осі.

1. xn = 1n , n N :

2. yn = 2 + (−n1)n , n N :

3. z1 =1; z2 =1, 7; z3 =1, 73; z4 =1,732; z5 =1, 7320; z6 =1, 73205,...:

95

Для кожної з послідовностей (xn ), (yn ), (zn ) існує єдине число (відповідно 0, 2, 3 , до якого наближаються члени послідовності із зростанням номера n). Для послідовності такого числа немає: члени послідовності з парним індексом попадають у точку 1, а члени послідовності з непарним індексом – у точку –1.

Символічно процес наближення членів послідовності до числа а можна записати так: xn → 0, n → ∞; yn → 2, n → ∞; zn → 3, n → ∞.

Це означає, що із зростанням номера n , наприклад для відстань від точки yn до точки 2, тобто yn −2 , зменшується. Виникає запитання: чи може ця величина стати меншою за 0,01; 0,001; 0,0001 і взагалі меншою за будь яке наперед задане як завгодно мале додатне число ε ?

З'ясуємо, наприклад, коли (для яких номерів n) виконува тиметься нерівність:

Номерами n , які задовольняють останню нерівність, є 101, 102, ...,

96

тобто всі натуральні числа, починаючи з n = 101.

Нерівність yn −2 <0,001 виконується для n = 1001, 1002, ... .

Геометрично цей результат означає, що всі члени yn послідовності, коли n ≥101 , знаходяться від точки 2 на відстані, яка менша за 0,01, тобто попадають в окіл точки 2.

Рис.7.1

Аналогічно можна розв'язати поставлене запитання для даної послідовності, задавши будь яке інше додатне число, тобто в загальному випадку

В цьому випадку кажуть, що число 2 є границею послідовності

(yn ) і записують lim yn = 2 .

n→∞

границями.

У загальному випадку для числової послідовності (xn ) дамо означення границі.

Означення 7.4. Число а називають границею числової послідовності (xn ), якщо для будь–якого як завгодно малого

Символічно це означення можна записати:

(7.5)

97

Означення 7.5. Послідовність, яка має скінченну границю, називається збіжною, у протилежному випадку – розбіжною.

Здійснимо рівносильні перетворення нерівності xn − a < ε : xn −a <ε −ε < xn −a <ε a −ε < xn < a +ε xn (a −ε;a +ε).

Геометрично це означає: який би окіл точки а ми не взяли, всі члени xn послідовності, починаючи з деякого номера n > n0 , попадають в цей окіл (так що поза цим околом може залишитись тільки скінченне число членів послідовності) (рис. 7.2).

скінченне число безліч скінченне число

Рис. 7.2

Теорема 7.1 (необхідна умова збіжності) Будь яка збіжна послідовність обмежена.

Доведення.

a −1 < xn < a +1.

Рис.7.3

Оцінимо

xn = (xn − a)+ a ≤ xn −a + a <1+ a , n > n0 .

Отже, всі члени послідовності, починаючи з деякого номера, за модулем стають менші від числа a +1.

98

Обмеженість числової послідовності є необхідною умовою збіжності числової послідовності. Обернене твердження, взагалі кажучи, неправильне.

Приклад:

13. Розглянемо числову послідовність {(−1)n}. Тут

(−1)n ≤1 n N , тобто послідовність обмежена, однак

границя її не існує.

Основні властивості збіжних числових послідовностей.

Теорема 7.2 (єдиність границі) Збіжна числова послідовність може мати тільки одну границю.

Доведення проведемо методом від супротивного. Припустимо,

Отримали суперечність, яка виникла в припущенні існування двох різних границь. Значить, a =b.

99