Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Винницкий государственный педагогический университет им. М. Коцюбинского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat.analiz_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

6.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3126 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

План:

1. Розкриття невизначеностей типу 00 .

∞

2. Розкриття невизначеностей типу ∞ .

3. Розкриття невизначеностей типу 0 ∞, ∞ −∞, 1∞ , 00 ,∞0 .

На сьогоднішній лекції покажемо застосування похідних до розкриття невизначеностей, які ми розглядали раніше. Нагадаємо ще раз поняття невизначеності. В багатьох випадках відшукання границі функції, заданої аналітично, при прямуванні аргумента до деякого числа (скінченного чи нескінченного ), яке виконується шляхом формальної підстановки відповідного значення замість аргумента в

формулу, приводять до виразів виду 00 , ∞∞ ,0 ∞, ∞ −∞, 1∞ , 00 ,∞0 . Вони

називаються невизначеностями, оскільки по них не можна судити про те, існує чи ні вказана границя, не кажучи вже про знаходження її значення, якщо вона існує. В цьому випадку обчислення границі називається також “розкриттям невизначеності”.

Розкриття невизначеностей типу 00 .

Теорема 22.1 (перше правило Лопіталя). Нехай для функцій f (x) і g(x) виконуються умови:

250

g '(x)

1. функції визначені на проміжку	(	a;b	]	і lim	f (x) = lim g(x) = 0 ;
	(		]	x→a+0	x→a+0

2.в інтервалі (a;b) функції f (x) і g(x) диференційовні,

′	x (a,b);
причому g (x) ≠ 0

3. існує (скінченна або нескінченна) границя lim f '(x) = L .

x→a+0

Тоді існує границя відношення функцій gf ((xx)) при x →a +0 i

lim	f (x)	= lim	f '(x)	= L	(22.1)
lim	g(x)	= lim	g '(x)	= L	(22.1)
x→a+0	g(x)	x→a+0	g '(x)

(границя відношення функцій дорівнює границі відношення похідних від цих функцій).

Доведення.

Функції f (x)

і g(x) диференційовні в кожній точці

інтервалу (a;b),

тому вони в цьому інтервалі неперервні. В точці x = a

довизначимо функції

f (x) і g(x)

так,

щоб

вони

були

цій

точці

неперервними справа:

f (a) = lim

f (x) = 0,

g(a) = lim g(x) = 0.

Отже,

f (x) і g(x) :

x→a+0

1. визначені і неперервні на відрізку [a, x],

a<x<b;

2. диференційовні на (a; x),

′

x (a;b),

тоді має

причому g (x) ≠ 0,

місце теорема Коші на відрізку [a; x]:

f (x) − f (a)

′

f (c)

a < c

< x .

g(x) − g(a)

′

(c)

Оскільки f (a) = g(a) = 0 , тому

f (x)

f ′(c)

Перейдемо

останній

′

g(x)

g (c)

рівності до границі при x → a +0(c → a +0) : lim

f (x)

= lim

f '(c)

= L .

g(x)

x→a+0

x→c+0

g '(c)

251

Аналогічно	можна довести теорему, коли	x →b −0,	і	коли
x → a; x →b	(тобто перше правило Лопіталя	правильне	як	для

односторонніх границь, так і для границь функції в точці).

Теорему 22.1 доведено для випадку, коли a і b скінченні числа. Однак, вона правильна і тоді, коли a або b, або a і b дорівнюють

нескінченності. Дійсно, нехай a >0, b=+∞ і виконані всі умови теореми

22.1 для x (a; +∞) .

Зробимо

підстановку

x =

, то

, причому

функції

f (x) =

g(x) = g

диференційовні в

цьому

інтервалі і задовольняють умови 1) – 3) теореми 22.1. Тому:

lim	f (x)	=	lim

x→+∞ g(x)			y→0+0

1 f y =1 g y

′

−

(x)

′

lim

= lim

f (x)

y→0+0

x→∞

g (x)

g′

g′x

(x)

−

′

Приклад 1. Користуючись першим правилом Лопіталя, знайти границі функцій:

1) lim

ln x

Тут f (x) = ln x;

g(x) = x −1,

x (1;

b),

b >1,

x→1

x −1

lim f (x) = lim g(x) = 0 .

Знайдемо

похідні

′

;

g(x) =1 ≠ 0

(x) =

x→1

x (1;

і lim

ln x

= lim

=1.

x→1

x −1

x→1

lim

−e

−x

= lim

−e

−x

)

′

= lim

+ e

−x

′

−1

x→0

ln(e − x) + x −1

x→0

e −1

(ln(e − x) + x −1)

1− e

e − x

252

∞

Розкриття невизначеностей типу ∞ .

Розглянемо другу теорему Лопіталя, яка стосується розкриття

∞

невизначеностей виду ∞ .

Теорема 22.2 (друга теорема Лопіталя). Нехай для функцій f (x)

іg(x) виконуються умови:

1)функції визначені на півінтервалі (a;b] і при цьому

lim f (x)

= +∞,

lim g(x)

= +∞;

x→a+0

2) функції

f (x) і g(x) диференційовні в інтервалі (a;b), причому

′

x (a,b);

g (x) ≠ 0

3) існує (скінченна або нескінченна) границя lim

f '(x)

= L . (22.2).

g '(x)

x→a+0

Тоді існує

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

= L

(22.1)

x→a+0

g(x)

x→a+0

g (x)

′

Доведення.

1)Розглянемо випадок, коли в точці х=а існує скінченна права границя відношення похідних функцій f (x) іg(x) :

lim

f ′(x) = L

ε > 0 ε

f '(x) − L

< ε ,

δ > 0, x (a;a +δ ):

x→a+0

′

g '(x)

g (x)

′

або

L −

(x)

< L +

ε .

(22.3)

′

g (x)

Зафіксуємо довільне значення x1 (a, a +δ )(рис. 22.1) і визначимо

функцію α(x, x1 ) з умови :	f (x)	=	f (x) − f (x1 )		α(x, x1 ),	x ( a; x1 ],
функцію α(x, x1 ) з умови :	g(x)	=	g(x) − g(x1 )		α(x, x1 ),	x ( a; x1 ],
звідки	g(x)		g(x) − g(x1 )
звідки
		a	x	x1	a +δ	x
			Рис. 22.1

253

f (x)

g(x) − g(x1 )

1 −

g(x1 )

α (x, x1 )=

g(x)

;

f (x) − f (x )

1−

f (x )

g(x) − g(x )

f (x)

g(x1 )

1−

= 1−0 =1,

lim α (x, x1 )= lim

(x)

ε > 0 δ1

> 0 (δ1 ≤ x1 − a),

x→a+0

1−

f (x1 )

1−0

f (x)

x (a;a +δ1 )

α (x,

x1 )−1

(22.4)

Використовуючи теорему Коші про середнє, маємо

f (x)

f (x) − f (x1 )

α(x, x ) =

f ′(c)

α(x,

x ), x < c <

x .

g(x)

g(x) − g(x1 )

g′(c)

Оскільки c (x,

x1 ) (a;a +δ ), то згідно з (22.3) має місце нерівність

f ′(c)

f (x)

і L:

L + 2

≤

+ 2 .

Оцінимо модуль різниці

g′(c)

g(x)

f (x)

f ′(c)

− L

α (x, x1 )− L

(α (x, x1 )−1)+

− L

≤

g (x)

g′(c)

f ′(c)

(x, x )−

(x, x )−1

(4)

= ε ,

≤

g′(c)

2 2 2

f (x)

− L

x (a; a +δ ), а це й означає, що lim

f (x)

= L .

або

< ε

g (x)

x→a+0 g(x)

2) Розглянемо тепер випадок, коли L = +∞ (тобто є невласним числом):

lim

f ′(x)

= +∞.

Тоді

lim

g′(x)

= 0 ,

f ′(x)≠ 0

x (a;a +δ ), і

за

f (x)

x→a+0

(x)

x→a+0

′

першою частиною даної теореми:

254

lim

g(x)

= lim

g′(x)

0 , звідки

lim

f (x)

= +∞,

що і

треба було

(x)

g(x)

x→a+0

f (x)

x→a+0

′

довести.

Доведена теорема має місце і для випадку,

коли a

є невласна

точка, тобто a = +∞,

a = −∞.

Приклад 2. Знайти границю lim

ln x

x→+∞

ln x

∞

(ln x)

lim

= lim

= 0,

n N .

n−1

x→+∞

∞

x→+∞

x→+∞ nx

Зауваження 1. Теореми 22.1 і 22.2 мають тільки достатні умови

для правильності рівностей

lim

f (x)

lim

f ′(x)

. Ці умови не є

(x→b−0) g(x)

(x→b−0)

g′(x)

x→a+0

x→a

необхідними. Тобто, з того, що не існує границі lim

f ′(x)

, ще не

g (x)

x→a+0

′

означає, що не існує границі lim

f (x)

x→a+0

g(x)

Приклад 3. Нехай f (x)= x2 sin

;

g (x)= x , тоді для x ≠ 0 :

2xsin

+ x

cos

−

′

(x)

= 2xsin π

−π cos π .

g′(x)

lim

f ′(x)

= lim

2xsin π

−π cos π

–

не

існує,

оскільки не

існує

x→0

′

x→0

g (x)

limπ cos π

, а

lim 2xsin

= 0 .

Однак lim

f (x)

= lim xsin π

= 0.

g(x)

x→0

Зауваження 2. Якщо до умов теореми 22.1 і 22.2 додати умову

неперервності

похідних функцій

f (x)

іg(x) в точці а, то

рівність (22.1) набере вигляду:

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

f ′(a)

g′(a)≠ 0

x→a

(x)

x→a

′

(a)

g (x)

255

′

Зауваження 3. Якщо похідні функцій f (x) і g

(x)задовольняють

тим же умовам, що й самі функції

f (x)

g(x) , то правила

Лопіталя можна застосовувати повторно, тобто з того, що

lim

f '(x) = lim g '(x) = 0

lim

f ′′(x)

= L

x→a+0

′′

g (x)

lim

f (x)

= lim

f ′′(x)

= L.

x→a+0

′′

g(x) 0

(x)

Цей

спосіб

можна

застосувати

до

тих

пір,

поки

не прийдемо до

відношення lim

(n)

(x)

, яке має границю при x →a +0. Тоді

(n)

(x)

x→a+0

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

=... = lim

f (n) (x)

′

x→a+0

g(x)

x→a+0

(n)

(x)

Приклади.

Знайти

границі

функцій:

4x3

12x2

lim

= lim

+ 2cos x − 2

− 2sin x

− 2cos x

x→0 x

x→0 2x

x→0

= lim

24x

= lim

=12 ;

2sin x

2 cos x

x→0

∞

n−1

∞

(

n −1 xn−2

)

5) lim

= lim

=... = lim

= 0,

∞

x→+∞ e

x→+∞

x→+∞ e

lim xn = 0

x→+∞ ex

Розкриття невизначеностей типу 0 ∞, ∞ −∞, 1∞ , 00 ,∞0 .

Невизначеність виду ∞−∞. Нехай функції f (x) і g(x) визначені в інтервалі (a;b), скінченному або нескінченному і треба знайти границю

lim	f (x)− g (x)	)	при умові,	що		lim f (x)	= +∞,	lim g(x) = +∞;
x→a+0 (		)		)		a→+0		a→+0
lim	f (x) = +∞,	lim g(x) = +∞			.
(x→b−0		x→b−0
	Отже, маємо невизначеність					виду	«∞−∞».	Здійснимо такі
перетворення:

256

						1	−	1
		1		1		g(x)		f (x)

f (x) – g(x) = f (x)	g(x)		−		=				.
							1
	g(x)			f (x)

f (x)g(x)

Отримуємо невизначеність виду 00 , до якої вже можна застосувати перше правило Лопіталя.

Невизначеності виду 1∞ ,	00 ,∞0 .	Нехай	функції f (x) і g(x)
визначені в інтервалі (a;b),	скінченному або		нескінченному і треба

знайти границю lim ( f (x))g(x) при одній з трьох умов:

x→a+0

1)	lim	f (x)= 0,	lim g (x)= 0, f (x)> 0,
	x→a+0		x→a+0
2)	lim	f (x)=1,	lim g (x)= ∞,	f (x)≠1,
	x→a+0		x→a+0
3)	lim	f (x)= ∞, lim g (x)= 0,		g (x)≠ 0,
	x→a+0		x→a+0

g (x)≠ 0 x (a; c1 ), a < c1 < bx (a;c1 ), a < c1 < b ;

x (a;c1 ), a < c1 < b;

(або аналогічні умови можна записати при

x →b −0). Отже, маємо

справу відповідно з невизначеностями виду

1∞ , 00 ,∞0 . В цих випадках

функцію подамо у вигляді:

(

f (x))

g ( x)

= eg ( x) ln f ( x) ,

lim

f (x)g ( x)

lim g ( x) ln f ( x)

= lim eg ( x) ln f ( x) = ex→a−0

x→a−0

x→a

−0

ln x ∞

lim

∞

(

)

x→0+0

−

lim

−

6) lim xx =

= lim ex ln x = e

= e

= e0

=1.

= ex→0+0

x→0+0

(

) =

2 x

lim 1+ x2

ex −1−x

= 1∞

= limeex −1−x

= ex→0

ex −1

7) x→0 (

)

( )

ln 1+x2

lim

1+x2

x→0

lim

2 x

lim

(1+x2 )(ex −1)

x→0

x→0 2 x(ex −1)+(1+x2 )

= e

= e1 = e

8) lim(tgx −sec x)= (∞ −∞)= lim

sin x −1

= lim

cos x

= 0.

cos x

−sin x

−1

x→

x→ 2

257

План:

1.Вивід формули Тейлора.

2.Залишковий член формули Тейлора.

3.Многочлен Тейлора як многочлен найкращого наближення функції в околі заданої точки.

Вивід формули Тейлора.
Якщо функція	f (x) диференційовна в точці x0 , то за означенням її
приріст можна подати у вигляді			y = A	x + o( x), де o( x)→ 0, при
x →0, або f (x)	= f (x	)+ f ′(x	)(x − x	)+ o(x − x ),	x → x .
	0	0	0	0	0

258

259

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3126 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.2019329.22 Кб3lektsiya_4_.doc
#
21.11.2019649.22 Кб3Lektsiya_5.doc
#
14.11.201964.91 Кб2lektsiya_Ivanitskoyi.docx
#
24.08.2019110.57 Кб2Magna Carta.docx
#
11.11.2019550.91 Кб13main text2do.doc
#
08.06.20156.59 Mб72mat.analiz_1.pdf
#
08.06.201518.25 Кб14matematika2.docx
#
20.11.201982.25 Кб1Materiali_dlya_chitannya.docx
#
09.09.2019135.68 Кб2metodika_36-40 44-46.doc
#
22.11.2019176.13 Кб4Metodi_naukovikh_dosl_lekts.doc
#
30.11.201866.05 Кб2Metod_recom_ekol_projekt.doc