3283

Р(К*/Di) = ( Кj*/Di);

С учетом указанных замечаний преобразуем обобщенную формулу Байеса к виду, удобному для выполнения практических вычислений:

Р( Di/К*) = [Р( Di) · Р(К*/Di)]/ Р(К*) = [Р( Di) ·(Кj*/Di)] /·(Кj*/Di).

ЛИТЕРАТУРА

1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог : учебник для вузов ж.-д. транспорта / А.В. Ефимов, А.Г. Галкин. – М.: УМК МПС России, 2000. –

С. 398–401.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3

Самостоятельное определение диагноза железобетонной опоры контактной сети (4 часа)

Цель работы: изучить статистический метод постановки диагноза технического состояния объекта по косвенным признакам, основанный на обобщенной теореме Байеса; выполнить самостоятельный расчет диагноза железобетонной опоры по вариантам заданий.

ДИАГНОСТИКА ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ ОПОРЫ ПО КОСВЕННЫМ ПРИЗНАКАМ

Рассмотрим практическое применение обобщенной формулы Байеса на примере задачи определения диагноза железобетонной опоры контактной сети по двум косвенным признакам.

Пример. При диагностировании степени электрокоррозии арматуры железобетонных опор с помощью прибора АДО-2М проверяются два признака: К1 – заниженное значение потенциала арматуры и К2 – завышенное значение декремента колебаний опоры. Появление этих признаков связано либо с образованием трещин в бетоне опоры, либо с наличием коррозии арматуры опоры. Наличие трещин в бетоне опоры обозначим как диагноз D1, а наличие коррозии арматуры опоры обозначим как диагноз D2. Исправному состоянию опоры соответствует диагноз D3.

ПридиагнозеD1 признакК1 встречается в18 % случаев, апризнакК2 – в31 % случаев.

11

ПридиагнозеD2 признакК1 встречается в38 % случаев, апризнакК2 – в49 % случаев. ПридиагнозеD1 признакК1 невстречается, апризнакК2 встречается в4 % случаев. По окончании срока службы 6 % опор имеют трещины бетона (диагноз D1), 17 %

опор имеет коррозию арматуры (диагноз D2) и 73 % опор имеют нормальное состояние (диагноз D3).

Необходимо определить состояние опоры, т. е. поставить ей один из трех диагнозов при всех возможных сочетаниях проверяемых признаков.

Решение.

1. На основании исходных данных составим таблицу вероятных априорных признаков и состояний опоры (табл. 1). При этом появление признака Кj при диагнозе Di и непоявление признака Кj при диагнозе Di будем считать полной группой событий. Тогда

Р( Кj/ Di) + Р( Кj/ Di) = 1.

2. Определим вероятности диагнозов D1, D2 и D3 при наличии признаков К1 и К2:

- вероятность наличия трещин в бетоне опоры (диагноз D1) при наличии признаков К1 и К2 составит:

Р(D1/К1К2) = (0,18·0,31·0,06)/(0,18·0,31·0,06 + 0,38·0,49·0,17 + 0,00·0,04·0,73) = 0,096;

-вероятность наличия коррозии в арматуре опоры (диагноз D2) при наличии признаков К1 и К2 составит:

Р(D2/К1К2) = (0,38·0,49·0,17)/(0,18·0,31·0,06 + 0,38·0,49·0,17 +0,00·0,04·0,73) = 0,904;

-вероятность исправного состояния опоры (диагноз D3) при наличии признаков К1

иК2 составит:

Р(D3/К1К2) = (0,00·0,04·0,73)/(0,18·0,31·0,06 + 0,38·0,49·0,17 + 0,00·0,04·0,73) = 0,00.

3. Определим вероятности диагнозов D1, D2 и D3 при отсутствии признака К1 и наличии признака К2:

-вероятность наличия трещин в бетоне опоры (диагноз D1) при отсутствии признака К1 и наличии признака К2 составит:

Р(D1/К1К2) = (0,82·0,31·0,06)/(0,82·0,31·0,06 + 0,62·0,49·0,17 + 1,00·0,04·0,73) = 0,159;

-вероятность наличия коррозии в арматуре опоры (диагноз D2) при отсутствии признака К1 и наличии признака К2 составит:

Р(D2/К1К2) = (0,62·0,49·0,17)/(0,82·0,31·0,06 + 0,62·0,49·0,17 + 1,00·0,04·0,73) = 0,537;

12

- вероятность исправного состояния опоры (диагноз D3) при отсутствии признака К1 и наличии признака К2 составит:

Р(D3/К1К2) = (1,00·0,04·0,73)/(0,82·0,31·0,06 + 0,62·0,49·0,17 +1,00·0,04·0,73) = 0,304.

4.Определим вероятности диагнозов D1, D2 и D3 при наличии признака К1 и отсутствии признака К2:

- вероятность наличия трещин в бетоне опоры (диагноз D1) при наличии признака К1 и отсутствии признака К2 составит:

Р(D1/К1К2) = (0,18·0,69·0,06)/(0,18·0,69·0,06 + 0,38·0,51·0,17 + 0,00·0,96·0,73) = 0,184; - вероятность наличия коррозии в арматуре опоры (диагноз D2) при наличии

признака К1 и отсутствии признака К2 составит:

Р(D2/К1К2) = (0,38·0,51·0,17)/(0,18·0,69·0,06 + 0,38·0,51·0,17 + 0,00·0,96·0,73) = 0,816;

- вероятность исправного состояния опоры (диагноз D3) при наличии признака К1 и отсутствии признака К2 составит:

Р(D3/К1К2) = (0,00·0,96·0,73)/(0,18·0,69·0,06 + 0,38·0,51·0,17 + 0,00·0,96·0,73) = 0,00.

5.Определим вероятности диагнозов D1, D2 и D3 при отсутствии признаков К1 и К2: - вероятность наличия трещин в бетоне опоры (диагноз D1) при при отсутствии

признаков К1 и К2 составит:

Р(D1/К1К2) = (0,82·0,69·0,06)/(0,82·0,69·0,06 + 0,62·0,51·0,17 + 1,00·0,96·0,73) = 0,043;

-вероятность наличия коррозии в арматуре опоры (диагноз D2) при при отсутствии признаков К1 и К2 составит:

Р(D2/К1К2) = (0,62·0,51·0,17)/(0,82·0,69·0,06 + 0,62·0,51·0,17 + 1,00·0,96·0,73) = 0,068;

-вероятность исправного состояния опоры (диагноз D3) при при отсутствии признаков К1 и К2 составит:

Р(D3/К1К2) = (1,00·0,96·0,73)/(0,82·0,69·0,06 + 0,62·0,51·0,17 + 1,00·0,96·0,73) = 0,889. 6. Результаты вычислений сведем в таблицу диагнозов (табл. 2).

Данные таблицы позволяют сделать следующие выводы:

1. При наличии признаков К1 и К2 наиболее вероятным является диагноз D2, что соответствует коррозии арматуры опоры. Вероятность этого состояния опоры составляет

Р(D2/К1К2) = 0,904.

13

2.При наличии признака К1 и отсутствии признака К2 наиболее вероятным является диагноз D2, что соответствует коррозии арматуры опоры. Вероятность этого состояния опоры составляет Р(D2/К1К2) = 0,816.

3.При наличии признака К2 и отсутствии признака К1 наиболее вероятным является диагноз D2, что соответствует коррозии арматуры опоры. Вероятность этого состояния опоры составляет Р(D2/К1К2) = 0,537. Однако эта вероятность достаточно мала

ине позволяет однозначно определить возможное состояние опоры. Необходимы дополнительные исследования.

4.При отсутствии признаков К1 и К2 наиболее вероятным является диагноз D3, что соответствует исправному состоянию опоры. Вероятность этого состояния опоры составляет Р(D3/К1К2) = 0,889.

САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИАГНОЗА ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ ОПОРЫ КОНТАКТНОЙ СЕТИ ПО ВАРИАНТАМ ЗАДАНИЙ

Выполнить самостоятельный расчет диагноза опоры по вариантам заданий, руководствуясь методическими указаниями 1716 «Классификация состояний технических систем методом Байеса». Оформить результаты расчета в соответствии с требованиями к оформлению расчетно-графической работы (с. 11 методических указаний) и сдать работу на проверку преподавателю. Результаты выполнения самостоятельного расчета используются для промежуточной аттестации успеваемости студентов.

ЛИТЕРАТУРА

1.Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог : учебник для вузов ж.-д. транспорта / А.В. Ефимов, А.Г. Галкин. – М.: УМК МПС России, 2000. –

С. 398–401.

2.Классификация технических состояний систем методом Байеса : методические указания к выполнению и оформлению расчетных работ, выполняемых на практических занятиях студентами специальностей 140606 и 190401 очной и заочной форм обучения / составители : Ю.В. Киселев, С.А. Привалов, В.Н. Водолазов. – Самара : СамГАПС, 2006.

–12 с.

14

ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4

Энтропия системы. Пример определения информации о состоянии твердой изоляции обмоток трансформатора (2 часа)

Цель работы: изучить правила нахождения энтропии системы независящих и зависящих друг от друга элементов, рассмотреть меру информации, решить практическую задачу по нахождению меры информации о состоянии объектов СЭЖТ.

ЭНТРОПИЯ СИСТЕМЫ

На практике реальные объекты СЭЖТ состоят из достаточно большого количества элементов и, в свою очередь, могут рассматриваться как системы.

Если число состояний каждого элемента, входящего в систему, больше двух, и эти состояния не зависят друг от друга, то энтропия системы Нс может быть найдена из выражения:

Нс = i,

где n – число элементов системы; Нi – энтропии состояний каждого элемента системы. При этом энтропия состояния Нi каждого элемента системы может быть найдена

из известного нам выражения:

Hi = – (ei) log2 P(ei) = – (ei) log10 P(ei)/ log10 2 = – (ei) log10 P(ei)/0,301.

где m – число состояний элементов системы; P(ei) – вероятность нахождения элемента в каком-либо из m возможных состояний.

Иногда состояния элементов, составляющих систему, зависят друг от друга. В этом случае энтропия системы определяется на основании правила теории вероятности о зависимых событиях.

Энтропия состояния системы из двух зависимых друг от друга элементов А и В определяется из выражения:

H(АВ) = H(А) + H(В/А) = H(В) + H(А/В),

15

где H(А/В) – условная энтропия (зависимость состояния) элемента А относительно элемента В; H(В/А) – условная энтропия (зависимость состояния) элемента В относительно элемента А.

Условная энтропия H(А/В) находится из выражения:

H(А/В) = (Bi)· H(А/Вi) = –(Bi)· H(Аj/Вi)· log2 P(Аj/Вi),

где Р(А/В) = Р(АВ)/ Р(В).

В общем случае энтропия состояния системы из двух зависимых друг от друга элементов А и В определяется из выражения:

H(АВ) = – (Bi)· H(АiВj)·log2 P(АiВj),

Если состояния элементов системы независимы, то наблюдение за одним объектом не дает никакой информации о состоянии другого объекта. В этом случае связей между состояниями независимых друг от друга объектов нет. Но когда между отдельными объектами системы есть связь, то наблюдая за одним объектом, можно получить информацию о другом объекте. Это очень удобно, когда получение информации о какомлибо объекте путем непосредственного наблюдения за ним затруднено или невозможно. Например, мы судим о состоянии арматуры по сопротивлению опоры, полагая, что при низком сопротивлении опоры ее арматура будет ускоренно разрушаться от электрокоррозии.

Среднюю информацию о состоянии объекта А через наблюдение за объектом В можно определить из выражения:

JA(В) = Н(А) – Н(А/В),

где Н(А) – первоначальная (априорная) энтропия объекта А; Н(А/В) – энтропия объекта А после того, как стало известно состояние объекта В.

По аналогии справедливо и выражение:

JВ(А) = Н(В) – Н(В/А),

где Н(В) – первоначальная (априорная) энтропия объекта В; Н(В/А) – энтропия объекта В после того, как стало известно состояние объекта А.

Для практических расчетов используется следующее выражение о величине информации об объекте А через информацию об объекте В:

JA(В) = (AiBj)· log2 [P(АiВj)/( P(Ai)· P(Bj))].

16

ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНФОМАЦИИ О СОСТОЯНИИ ТВЕРДОЙ ИЗОЛЯЦИИ ОБМОТОК ТРАНСФОРМАТОРА

Проводится диагностика твердой изоляции обмоток трансформатора по показателю содержания примесей в масле. Проверены 100 трансформаторов. 64 трансформатора признаны исправными с состоянием изоляции А1, а 36 трансформаторов признаны неисправными с состоянием изоляции А2. Количество примесей в масле было квантовано (разделено) на три уровня В1, В2 и В3. При этом связь между состояниями изоляции Аi и уровнями примесей Вj такова, что при В1 было 40 исправных и 0 неисправных трансформаторов, при В2 было 20 исправных и 6 неисправных трансформаторов, а при В3 было 4 исправных и 30 неисправных трансформаторов.

Необходимо определить:

1.Среднюю информацию о состоянии твердой изоляции по результатам исследования масла.

2.Величины информации об исправном и неисправном состоянии твердой изоляции по результатам исследований масла.

3.Величины информации о состоянии твердой изоляции для каждого уровня квантования примесей в масле.

Решение.

Данные о состоянии изоляции трансформаторов при соответствующих уровнях примесей сведем в табл. 1.

Средняя информация о состоянии изоляции по исследованиям масла может быть определена:

Величина информации об исправном состоянии изоляции:

JA1(В) = (Bj/A1)·log2[P(А1Вj)/(P(A1)·P(Bj))] = 1/log2·[0,40/0,64·log(0,40/(0,64·0,40)) + + 0,20/0,64·log(0,20/(0,64·0,26)) + 0,04/0,64· log(0,04/(0,64·0,34))] =0,33.

17

Величина информации о неисправном состоянии изоляции:

JA2(В) = (Bj/A2)·log2 [P(А2Вj)/(P(A2)·P(Bj))] = 1/log2·[0/0,36·log(0/(0,36·0,40)) + + 0,06/0,36·log(0,06/(0,36·0,26)) + 0,30/0,36 log(0,04/(0,30·0,34))] = 0,97.

Величина информации о состоянии твердой изоляции для первого уровня квантования примесей в масле B1:

JA(В1) = (Аi/B1)·log2[P(АiВ1)/(P(B1)·P(Ai))] = 1/log2 ·[0,40/0,40·log(0,40/(0,64·0,40)) + + 0/0,40·log(0/(0,36·0,40))] = 0,64.

Величина информации о состоянии твердой изоляции для второго уровня квантования примесей в масле B2:

JA(В2) = 0,05.

Величина информации о состоянии твердой изоляции для третьего уровня квантования примесей в масле B3:

JA(В3) = 0,85.

Студентам необходимо самостоятельно выписать полное выражение для определения величины JA(В2) и JA(В3).

Полученные результаты сведем в табл. 2.

Таблица 2

Результаты расчетов JA1(Вj)

Выводы. Для повышения информативности диагностических мероприятий необходимо уточнить уровни квантования примесей в масле, поскольку выбранный уровень квантования В2 несет очень малое количество информации о состоянии твердой изоляции трансформатора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог : учебник для вузов ж.-д. транспорта / А.В. Ефимов, А.Г. Галкин. – М.: УМК МПС России, 2000. –

С. 301–306.

18

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИНФОРМАТИВНОСТИ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5

Опора контактной сети, как протяженный объект диагностирования (2 часа)

Цель работы: рассмотреть модель протяженного объекта на примере опоры контактной сети.

ОПОРА КОНТАКТНОЙ СЕТИ КАК ПРОТЯЖЕННЫЙ ОБЪЕКТ ДИАГНОСТИКИ

Объекты диагностики условно можно разделить на сосредоточенные и протяженные в пространстве.

Рассмотрим модель протяженного объекта на примере опоры контактной сети. Нас будет интересовать состояние опоры как несущей конструкции. От чего зависит несущая способность опоры?

Несущая способность опоры определяется пространством состояний с большим числом координат:

Z = Ψ(…..),

где Z – выходные функция или отклики объекта диагностики; Ψ – система передаточных функций; аргументы, от которых зависят выходные функции, нам предстоит выяснить

В этой связи необходимо выделить следующие 3 свойства опоры:

1.Опора имеет конечные отличные от нуля геометрические размеры и непостоянную по своей протяженности прочность.

2.Нагрузки на опору по ее протяженности неодинаковы.

3.Степень и скорость коррозии арматуры под действием токов и бетона по протяженности опоры различны.

На практике часто применяются косвенные методы диагностики состояния опор контактной сети. Так, по сопротивлению арматуры опоры судят о степени ее коррозии.

При принятой конусности опоры нагрузка на уровне пяты консоли составляет 50 % от момента, действующего на опору на уровне обреза фундамента. Для опоры с предварительно напряженной арматурой следует учитывать это напряжение. В зависимости от конструкции опоры не все стержни ее арматуры доходят до торца. Из-за конической формы опоры число стержней арматуры, приходящееся на единицу объема железобетона, будет выше в ее верхнейчасти. Поэтомубетонвверхней частиопорыболеенапряжен, чемвнижней.

В общем случае неравномерность нагрузки по протяженности опоры складывается из 3-х составляющих:

19

1. Неравномерный момент по длине опоры. Эпюра моментов сил, действующих на опору, представлена на рис. 1.

Как видно из рисунка, направление моментов меняется на некоторой глубине y0. Величина y0 зависит от заглубления опоры h и свойств грунта.

При заглублении опоры на h = 3,5 м для некоторых грунтов y0 = 2,5 м. При этом максимальный изгибающий момент Mmax будет иметь место на глубине около yМmax ≈ 0,5 м. Величина yМmax зависит от характера и состояния грунта. Например, в скальном грунте или при его промерзании эта величина стремится к 0. Это свидетельствует также и о существенной зависимости эпюры моментов от температуры окружающей среды.

Рис. 1. Эпюры моментов сил, действующих на опору:

а– надземная часть опоры; б – подземная часть опоры

2.Неравномерная нагрузка кольцевого сечения опоры при изгибающих моментах в сторону пути. На рис. 2 представлены эпюры краевых напряжений консольной опоры.

Рис. 2. Эпюры краевых напряжений консольной опоры

20