Тема 7 Законы распределения

§ 7.1 Характерные черты варьирования

В любом более или менее симметричном вариационном ряду заметна одна характерная особенность – накапливание вариант в центральных классах и постепенное убывание их численности по мере удаления от центра ряда. Эта особенность варьирования количественных признаков встречается довольно часто. Так, например, среди взрослого населения чаще встречаются люди среднего роста, а индивиды очень высокого или очень низкого роста – значительно реже. Одновременно в массе одновозрастных индивидов людей выше и ниже среднего роста оказывается примерно одинаковое количество (рис.5)

Рис. 5 Гистограмма изменчивости длины тела у 117 мужчин

(по Н.Бейли, 1959)

Впервые на эту закономерность варьирования обратил внимание А.Кетли (1835), исследовавший распределение нескольких тысяч американских солдат по росту. "Человеческий рост, – писал он, – изменяющийся, по-видимому, самым случайным образом, тем не менее, подчиняется самым точным законам ..."

Описанная закономерность относится не только к человеку. Примеров можно привести много. Особенно примечательно, что не только распределения живых существ и продуктов их жизнедеятельности, но и случайные ошибки измерений подчиняются этой закономерности

Таким образом, прослеживается широко распространенная в природе закономерность: в массе относительно однородных единиц, составляющих статистическую совокупность большинство членов оказывается среднего или близкого к нему размера, и чем дальше они отстоят от среднего уровня варьирующего признака, тем реже встречаются в данной совокупности. И это независимо от формы распределения, что указывает на определенную связь между числовыми значениями варьирующих признаков и частотой их встречаемости в данной совокупности. Наглядным выражением этой связи и служит вариационный ряд и его линейный график – вариационная кривая. Эту закономерность можно воссоздать априори в виде математической модели, причем более или менее достоверно согласно фактам.

§ 7.2 Случайные события. Вероятность события и ее свойства.

Случайные события

На языке теории вероятностей всякий результат, или исход, однократного испытания называется событием. Под испытанием, которое может повторятся бесконечно большое число раз, подразумевают комплекс условий, необходимых для того, чтобы тот или иной исход мог осуществляется.

Например, подброшенный камень падает вниз, брошенный в воду – тонет. У каждого из отмеченных здесь событий есть только один исход, заранее предсказуемый. Такие события называются достоверными. Если же при осуществлении комплекса условий события заведомо произойти не могут, они называются невозможными.

Существуют события, исход которых заранее непредсказуем. Если подбрасывать монету, то заранее нельзя сказать, как она упадет – вверх гербом или решкой. Здесь исход испытания зависит от случая. События, исход которых при осуществлении комплекса условий точно предсказать нельзя, называют случайными.

Случайные события называются несовместимыми или несовместными, если в серии испытаний всякий раз возможно осуществление только одного из них. например, при метании монеты она может упасть вверх гербом или решкой. Здесь два равновозможных и несовместимых исхода. События, которые в данных условиях могут произойти одновременно, называются совместными.

Вероятность события и ее свойства

Случайное событие можно предсказать лишь с некоторой уверенностью или вероятностью, которую данное событие имеет. При этом вероятность рассматривают как числовую меру объективной возможности осуществления события А при единичном испытании и обозначается символом Р(А).

Вероятность события А выражается отношением числа благоприятствующих осуществлению этого события исходов m к числу равновозможных и несовместимых исходов n, т.е.

Вероятность представляется числом, заключенным между нулем и единицей (0 ≤ Р(А) ≤ 1), т.е. выражается в долях единицы.

Очевидно, вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равны нулю. Из этого аксиоматических свойств вероятности следует, что вероятность событияА и вероятность противоположного события в сумме равны единице, т.е.

Считают, что события, имеющие очень малую вероятность, в единичных испытаниях не присутствуют, т.е. такие события рассматривают как практически невозможные. Если же вероятность события достаточно велика, его принято считать практически достоверным. Этот принцип практической уверенности в прогнозировании исходов случайных событий позволяет использовать теорию вероятностей в практических целях.

Примечание: для упрощения символики принято значение вероятности ожидаемого события обозначать буквой p, а значение вероятности противоположного события – буквой q, т.е. и, а отсюда

Вероятность, которую можно указать до опыта, называют априорной. Например, при подбрасывании монеты заранее известно, что она может упасть вверх гербом или решкой. Здесь только два возможных исхода, вероятность которых одна и та же: . Иное дело, например, испытание действия на организм различных доз лекарственных или токсических веществ. В таких случаях результаты отдельных испытаний заранее, до опыта, указать невозможно; вероятность осуществления таких событий может быть установлена только на основании опыта, т.е.апостериорно.

Встречаются, однако, и такие события, исход которых, как правило, отклоняется от их вероятности. Ярким примером такого рода событий служит соотношение полов в потомстве многих животных и человека. Как известно, вероятность появления в потомстве мужских и женских особей и та же: . Но статистические данные показывают, что на 1000 новорожденных приходится в среднем 480 девочек (). Отсюда в отличие от "классической" вероятности частности случайных событий, а точнее – их придельные значения, обладающие определенной устойчивостью, принято называтьстатистической вероятностью этих событий.