ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Квантовая механика и некоторые задачи фтт

(5 семестр)

1. Соотношение между корпускулярной и волновой точками зрения: кванты света, волны де Бройля.

2. Волновая функция, принцип суперпозиции, волновой пакет. Вероятностная интерпретация. Оценки характерных размеров и энергий квантовых систем по соотношению неопределенностей для координаты и импульса.

3. Уравнение Шредингера. Плотность и ток вероятности, уравнение непрерывности. Стационарные состояния.

4. Одномерное движение. Дискретный спектр. Общие свойства решений. Классификация по четности. Нахождение уровней энергии и волновых функций для прямоугольной ямы. Мелкий уровень, дельта-яма.

5. Одномерное движение. Непрерывный спектр. Постановка задачи. Коэффициенты прохождения и отражения.

6. Операторы физических величин. Собственные функции и собственные значения, ортогональность, полнота. Вектор состояния, разложение по базисным векторам. Вид операторов в различных представлениях, переход от одного представления к другому. Условия, при которых две физические величины могут иметь определенные значения в одном состоянии.

7. Дифференцирование операторов по времени. Сохраняющиеся величины. Эволюция состояний во времени. Представление Гайзенберга.

8. Гармонический осциллятор. Спектр и волновые функции с помощью операторов рождения и уничтожения. Когерентные состояния осциллятора.

9. Квазиклассическое приближение. Квазистационарные состояния. Ширина и время жизни. Альфа-распад ядер.

10. Симметрии в квантовой механике. Представление операторами, генераторы преобразований. Сдвиг в пространстве-времени, пространственные повороты.

11. Периодическое поле. Теорема Блоха, зонная структура, квазиимпульс, закон дисперсии. Приближение сильной связи и электронный спектр графена.

12. Орбитальный момент, алгебра его операторов, их собственные функции, собственные значения и матричные элементы.

13. Частица в центральном поле.

14. Атом водорода. Спектр и волновые функции связанных состояний.

15. Уравнение Шредингера для бесспиновой частицы в магнитном поле. Уровни Ландау.

16. Вариационный метод.

17. Стационарная теория возмущений.

18. Влияние электрического поля на спектры атомов. Эффект Штарка в водороде.

19. Квантовая механика частицы со спином ½.

20. Уравнение Паули. Магнитные моменты электрона, протона, нейтрона. Динамика спина ½ во внешнем магнитном поле. Понятие об электронном парамагнитном резонансе и ядерном магнитном резонансе.

21. Сложение моментов. Матричные элементы скалярных и векторных операторов. Правила отбора по моменту количества движения и его проекции на ось .

22. Тождественность частиц. Принцип Паули.

23. Элементы теории атома. Атом гелия. Обменное взаимодействие. Таблица Менделеева. LS – взаимодействие и тонкая структура уровней. Определение нормальных термов атомов по правилам Хунда. Магнитный момент атома. Эффект Зеемана.

24. Двухатомная молекула. Классификация состояний. Колебательные и вращательные уровни. Оценки характерных энергий. Валентность.

25. Эволюция состояний с гамильтонианом, зависящим от времени. Внезапное возмущение. Адиабатическое возмущение. Периодическое возмущение. Почти резонансное возмущение. Переходы в непрерывный спектр.

26. Квантование электромагнитного поля. Излучение и поглощение света. Вероятности перехода, спонтанное и индуцированное излучение. Правила отбора. Угловое распределение. Принцип работы лазера.

27. Упругое рассеяние. Амплитуда и сечение, оптическая теорема. Борновское приближение. Критерии применимости для медленных и быстрых частиц. Рассеяние в кулоновском поле. Атомный формфактор. Неупругое рассеяние.

28. Упругое и неупругое рассеяние в конденсированных средах как метод определения их структуры и спектра возбуждений.

29. Квантовые компьютеры: кубиты, основные квантовые вентили, квантовые алгоритмы факторизации, поиска в базе данных, телепортация квантового состояния.

Примерный план семинарских занятий.

1. Соотношения де Бройля. Применение законов сохранения энергии-импульса в процессах с участием фотонов. Оценки по соотношению неопределенностей.

2. Волновой пакет для нерелятивистских частиц.

3. Яма с бесконечными стенками. Координатное и импульсное распределения. Переход к классическому пределу. Конечная яма. Особенности применения соотношения неопределенностей для мелкой ямы. -ямы.

4. Уровни энергии гармонического осциллятора из уравнения Шредингера.

5. Представление Гейзенберга. Вычисление коммутатора операторов при не совпадающих временах.

6. Одномерные задачи в непрерывном спектре. Коэффициенты отражения и прохождения для барьера (ямы) и комбинации барьеров (ям).

7. Задачи в периодическом поле. Нахождение примесного уровня и его волновой функции.

8. Квазиклассический метод нахождения уровней для конкретных потенциалов. Решение задачи о двойной яме путем сшивания квазиклассических волновых функций.

9. Квазистационарные состояния, ширина и время жизни для модельных потенциалов.

10. Орбитальный момент количества движения. Явный вид волновых функций для .

11. Сферический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Решение в прямоугольных координатах и анализ решения в терминах собственных функций момента импульса для низколежащих состояний.

12. Атом водорода. Явный вид координатных волновых функций. Построение состояний, соответствующих классическим круговым орбитам.

13. Теория возмущений. Ангармонические поправки к уровням энергии осциллятора.

14. Нейтральная частица со спином ½ во внешнем постоянном и переменном магнитном поле. Уровни Ландау однослойного графена в магнитном поле.

15. Тонкая структура уровней на примере спектров щелочных атомов. Эффект Зеемана и Пашена-Бака. Примеры определения основных термов элементов по правилам Хунда.

16. Теория возмущений, зависящих от времени. Внезапные возмущения. Адиабатические переходы в атоме водорода в переменном электрическом поле. Фотоэффект.

17. Магнито-дипольное излучение при перевороте спина во внешнем магнитном поле.

18. Борновское приближение для амплитуды рассеяния на сферически-симметричных потенциалах разной формы.

19. Неупругое рассеяние быстрых электронов на атоме водорода с возбуждением из основного состояния в состояние c.

20. Простейшие одно- и двухкубитовые квантовые вентили NOT, CNOT и т.д. Модельная реализация этих вентилей.