Типовые задачи

I. Эллипс. Гипербола. Парабола.

1. По уравнению эллипса 4x² + 9y² – 36 = 0 определить: а) его полуоси; б) эксцентриситет; в) уравнения директрис; г) расстояние между фокусами; д) расстояние от вершины до ближайшей директрисы.

2. Дано уравнение гиперболы 25x² – 4y² –100 = 0. Определить а) ее полуоси; б) уравнения асимптот; в) эксцентриситет; г) расстояние между его фокусами; д) уравнения директрис; е) расстояние от вершины до ближайшей директрисы

3. Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если ее уравнение имеет вид:

а) y² – 10x = 0; б) 2у²– 3х = 0; в) 5x² + 4y = 0.

4. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее директрисами равно , а ее эксцентриситет равен.

5. Составить каноническое уравнение параболы, если ее директриса имеет уравнение x+15=0.

6. Найти полярное уравнение кривой, заданной своим каноническим уравнением:

а) ; б); в) y²=10x.

7. Написать каноническое уравнение кривой, заданной своим полярным уравнением:

а) ; б); в)

II. Общая теория линий второго порядка

8. Не приводя к каноническому виду уравнение линии 2-го порядка определить ее вид:

а) х²– 2ху + 2у² – 4у – 15=0; б) 4х²– 4ху+у²– 15=0; в) 2ху– 4х+2у– 3 = 0.

8. Найти векторы асимптотических направлений кривых:

а) 2х²– 3ху + у²+ 4х – у– 1 = 0; б) х²– 6ху + 9у² + 18х – 10у + 5 = 0; в) х²– ху + у² + 8х = 0.

8. Написать уравнения прямых, проходящих через точку В(1, – 1) и пересекающих линию, заданную уравнением 6xy + 2у²– 4x– 2y + 3 = 0, только в одной точке.

9. Написать уравнения касательных

а) к параболе y² = 8x, параллельных прямой x – y + 27 = 0;

б) к эллипсу , перпендикулярных прямойx – y + 5 = 0;

в) к линии x² + xy + y² + 2x + 3y – 3 = 0, которые параллельны оси абсцисс;

г) к гиперболе , проходящие через точку (4, 3);

д) к линии : 2xy=1, проходящей через точку А(2, 0).

8. Найти центры кривых второго порядка:

а) 3x²– 4xy+8y²+2x+12y– 8=0; б) 2x²– 12xy + 18y² + 2x– 6y– 5=0.

8. Найти вектор, сопряженный вектору (2, – 1) относительно линииx²– 4xy + 9y² + 2x – y– 3=0, и написать уравнение диаметра, сопряженного направлению вектора (2, – 1).

9. Написать уравнение диаметра кривой 2x² + 6xy + 4y² – 8x + 2y = 0,

а) проходящего через точку М(– 1, – 1);

б) параллельного прямой х– у– 18=0.

8. Написать уравнения двух сопряженных диаметров эллипса , один из которых параллелен прямойx – 2y+1=0

9. Написать уравнение общего диаметра двух линий x²– xy– y²– x– y=0 и x² + 2xy + y² – x + y=0.

10. Найти векторы главных направлений и уравнения главных диаметров следующих линий: а) x² –4xy + y² + 6x –2y –31=0; б) 2xy – 3y² + 4y – 7=0; в) 4x² – 8xy + 8y² – 5=0.

11. Найти оси симметрии линии 2-го порядка, заданной уравнением 2xy – 4x + 2y – 3=0

12. Найти ось симметрии и вершину параболы 4x²– 4x y+ y² – x– 2=0.