Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет по землеустройству

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Геодезия_ч3.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

739.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Тотжеуголбылизмеренвысокоточным теодолитом3Т2КП, что дало результат (см. приложение табл. 2). Приняв это значение за точное, вычислить:

–СКП измерений угла;

–определить СКП самого СКП;

–найти предельную погрешность.

Задача 2.

Дана совокупность угловых невязок в треугольниках объемом 50 единиц. На данной совокупности проверить свойства случайных погрешностей. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить СКП и произвести оценку точности СКП, вычислить предельную погрешность.

								Таблица 3.3

№	fβ ″	№	fβ ″	№	fβ ″	№	fβ ″	№	fβ ″
1	+1,02	11	-1,72	21	-0,90	31	+2,80	41	-0,44
2	+0,41	12	+1,29	22	+1,22	32	-0,81	42	-0,28
3	+0,02	13	-1,81	23	-1,84	33	+1,04	43	-0,75
4	- 1,88	14	-0,08	24	-0.44	34	+0.42	44	-0.80
5	-1,44	15	-0,50	25	+0,18	35	+0.68	45	-0,95
6	-0,25	16	-1,89	26	-0.08	36	+0,55	46	-0.58
7	+0,12	17	+0,72	27	-1.11	37	+0,22	47	+1,60
8	+0,22	18	+0,24	28	+2,51	38	+1.67	48	+1,85
9	-1,05	19	-0,13	29	-1,16	39	+0,11	49	+2.22
10	+0,56	20	+0,59	30	+1,65	40	+2,08	50	-2,59

3.3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИИ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

Следует обратить особое внимание на содержание этого раздела и учесть порядок определения СКП функции, вычисляемой по измеренным величинам (аргументам) с СКП, связанными с искомой величиной функционально.

Функция задана в общем виде:

u = f (x1 , x2 ,..., xn ) ,

(3.5)

где x1 , x2 ,..., xn –

аргументы,

полученные из измерений с

СКП mx .

СКП функции mu

вычисляется по формуле:

∂f

(3.6)

+... +

∂x

где ∂f – частныепроизводныефункциипокаждомуаргументу.

∂xi

Порядок вычисления СКП функции общего вида следующий: 1) составляем функцию, связывающую оцениваемую величи-

ну с измеренными величинами, например (объем цилиндра):

V = πR 2 H ,

(3.7)

где R – радиус основания цилиндра, м; H – высота цилиндра,м.

Объем цилиндра является функцией двух аргументов – радиуса и высоты, а π – постоянная;

2) применяя формулу (3.6), записываем СКП V в общем виде:

2		∂V 2	2	∂V 2	2
mV	=		mR +		mH ;	(3.8)

		∂R		∂H

3) находим частные производные:

∂V = π		∂V = πR2
	2 RH ,		;	(3.9)
		∂H
∂R

4)полученные выражения частных производных подставляем

вформулу СКП функции:

mV2 = (2πRH )2 mR2 + (πR2 )2 mH2 ;

(3.10)

5) в соответствии с условием задачи в полученную формулу подставляем числовые значения аргументов и их СКП и вычис-

ляем величину mV .

Решение задач

Пример 3.

Пусть проложен висячий теодолитный ход. Горизонтальные углы хода β1 , β2 ,..., βn измерялись независимо друг от друга в оди-

наковых условиях с СКП mβ1 = mβ2 =... = mβn = mβ . Найти СКП mαn

дирекционного угла последней линии рассматриваемого хода. При этом будем считать αнач. величиной безошибочной.

Решение.

Для определения погрешности дирекционного угла последней линии, прежде всего, необходимо представить этот дирекционный угол как функцию исходных и измеренных величин. Так как были измерены правые по ходу углы, искомый дирекционный угол может быть вычислен по формуле:

αn =αнач. +180o n − β1 − β2 −... − βn.

На основании формулы (3.6) для СКП дирекционного угла последней линии хода можно записать:

2		∂α	2	2		∂α		2	2			∂α		2	2

mαn		∂β		mβ1		∂β			mβ2	+		∂β			mβn .
	=				+		2				... +		т
Получим		1
		2		2		2				2		2

	mαn		= mβ1		+mβ2		+...+mβn				= n mβ ,

или

mαn = mβ n.

Окончательно можно сделать вывод, что при передаче дирекционных углов случайные погрешности накапливаются пропорционально корню квадратному из числа измеренных горизонтальных углов.

Пример 4.

Для получения горизонтального проложения линии на плане определены координаты концов этой линии, что дало результаты X1 , Y1 и X 2 , Y2 . Эти величины получены со СКП mX1 и mY1 , mX 2 и mY2 . Необходимо вычислить горизонтальное проложение между

этими точками и его СКП.

Решение

Горизонтальное проложение между точками определяют по формуле:

S = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

Применим формулу (3.6) и вычислим частные производные S по всем координатам:

∂S

[(X 2 − X1 )2 +(Y2

−Y1 )2 ]−

2(X 2

− X1 ) (−1) = −

X 2 − X1

∂X1

Аналогично:

X 2 − X1

Y2 −Y1

∂S

;

∂S

= −

;

∂S

∂X

∂Y

ТогдаСКПгоризонтальногопроложенияопределяетсяформулой:

		X	2	− X	1	2					X	2	− X		1		2				Y	2	−Y		2	Y		−Y	2
mS =			2		1	mX2 +						2			1	mX2				+		2	1		mY2 +		2	1	mY2 .
mS =				S		mX2 +							S			mX2				+			S		mY2 +			S	mY2 .
				S				1					S							2			S		1			S	2
При условии, что mX										1	= mX			2		= mY				= mY			= m		, будем иметь:
										1				2					1			2
	mS = m						2(x	2	− x )2				+ 2( y					2	− y )2			= m		2S 2		= m 2 ,
								2			1							2		1
или													S 2												S 2
													S 2												S 2
													mS				= m 2

Пример 5.

Для получения дирекционного угла направления между точками на плане определены координаты концов отрезка, соединяющие эти точки ( X1 , Y1 ; X 2 , Y2 ). Эти величины получены с СКП mX1 и mY1 , mX 2 и mY2 . Необходимо вычислить дирекцион-

ный угол направления и его СКП.

Решение.

Дирекционный угол направления вычисляют по формуле:

α = arctg	Y2	−Y1		,
	X 2	− X	1

где X1 , Y1 , X 2 , Y2 – координаты концов отрезка.

Согласно (3.6) необходимо вычислить частные производные α по всем координатам:

∂α

−

−Y

(−1) =

( X

− X

)2 (Y

−Y )

∂X1

−Y

(X 2 − X1 )2

[( X 2 − X1 )2 + (Y2

−Y1 )2 ] ( X 2 − X1 )2

S 2

1 +

X 2

− X1

Окончательно:

∂α = sinα ;

∂X1 S

Аналогично найдем частные производные α по остальным координатам:

∂α		=				1							−			Y −Y							(+1) = −														( X		2		− X	1	)2	(Y −Y )							= −		(Y −Y )
																	2			1																			2			1		2		1							2		1
∂X 2						Y		−Y			2				(X 2 − X1 )2																	[(X 2 − X1 )2 +(Y2 −Y1 )2 ] (X 2 − X1 )2																						S 2
		1 +				2				1

					X 2			− X1
					X 2			− X1
																										∂α				= −				sinα				;
																														= −								;
																									∂X 2										S
	∂α	=						1										−1					= −														( X 2 − X1 )2												= −		( X 2 − X1 )				.
	∂Y	=					Y2		−Y1					2	(X − X )								= −			[(X − X )2 + (Y −Y )2 ] ( X − X )																							= −			S 2			.
1							Y2		−Y1								2				1								2					1					2			1			2			1
1		1 +															2				1								2					1					2			1			2			1

						X 2			− X
						X 2			− X		1
																												∂α					= −			cosα				;
																												∂Y					= −							;
																												∂Y									S
																															1
			∂α	=							1											1					=												( X 2 − X1 )2											=		( X 2 − X1 )
			∂Y	=						Y2		−Y1					2		(X − X )								=		[(X − X )2 + (Y −Y )2 ] ( X − X )																					=			S 2
		2								Y2		−Y1									2			1									2				1				2			1			2		1
		2																			2			1									2				1				2			1			2		1
						1 +
						1 +				X		− X
										X	2	− X			1

∂α = cosα .

∂Y2 S

СКП дирекционного угла определяется формулой:

mα = ρ′′

sinα 2

cosα 2

где ρ′′ - радианная мера угла в секундах, равная 206265".

При условии, что mX1

= mX 2

= mY1

= mY2

= m , будем иметь:

mα = mρ

′′

2sin

α +

2 cos

mρ

′′

2 .

S 2

Пример 6.

Вычислить приращения координат и их СКП по линии дли-

ной 250,17	м, имеющей	дирекционный		угол 63°27,0', если
mS = 0,08м и	mα = 2,0'.
Решение.			X ,		рассчитывают по
Известно, что приращения координат				Y
формулам	X = S cosα	и Y = S sinα ,	что		дает результаты

X = +111,83м и Y = +223,79м. СКП приращений координат могут быть полученыизсоотношений:

∂( X ) 2

∂S

∂α

mα

∂( Y ) 2

m Y

∂S

∂α

mα .

Найдем:

∂( X ) ;

∂(

Y ) ;

∂(

Y ) :

∂S

∂α

∂S

∂α

∂(

X )

= cosα

;

∂(

X ) = −S sinα = − Y;

∂S

∂α

∂(

Y )

= sinα;

∂( Y )

S cosα =

X .

∂S

∂α

Тогда:

Y )2 mα2 ;

m2X

= cos2 α mS2

+ (−

m2Y

= sin 2 α mS2

+ (

X )2 mα2 .

При вычислениях величина mα должна быть представлена в

радианной мере, но в условии задачи она задается в градусной мере. С учетом этого предыдущие формулы примут вид:

m2X = cos2 α mS2 + (− Y )2	m2	;
	α
	ρ2
	ρ2

	m2
m2Y = sin 2 α mS2 + ( X )2	α	.

	ρ2

Подставив соответствующие значения величин, получаем:

		(0,454 0,08)		2	224 2			2
m X	=				+			= 0,14м;
						3440

m Y		(0,891 0,08)	2		112 2		2	= 0,08м.
	=				+
						3440

Окончательно

X =111,83м;	m X = 0,14м;
Y = 223,79м;	m Y = 0,08м.

Задача 3.

Найти СКП превышения, полученного из геометрического нивелирования методом из середины по черным сторонам реек, принимая СКП отсчета по рейке m0 равной 1 мм.

	Задача 4.			хода D измерена частями с СКП
	Линия теодолитного			хода D измерена частями с СКП
mD	= 0,01м, mD	2	= 0,02 м, mD	= 0,03 м. Определить СКП D = D1 + D2 + D3
1		2	3

длины линии D .

Задача 5.

Определить СКП превышения, вычисленного на станции геометрического нивелирования методом из середины по черным и красным сторонам реек, если СКП отсчета по рейке m0 =1мм.

Задача 6.

Вычислить превышение, полученное тригонометрическим нивелированием, и его предельную погрешность, если расстояние, измеренное нитяным дальномером D =210,5м с СКП mD = 0,8 м; угол наклона визирной оси при визировании на верх рейки ν = ……(см. приложение табл. 2) с СКП mv = 0,5′; высота

прибора i= 1,30м с СКП mi = 0,02 м; длина рейки

V = 3,00м с СКП mV = 0,01 м.

Задача 7.

При определении расстояния АВ, недоступного для измерения лентой, в треугольнике AВС были измерены: базис

AС=84,55м с СКП базиса mAC = 0,03 м; углы A=56°27,0' и С=35°14,0' со СКП, равной mβ =0,5'.

Вычислить расстояние АВ и ее СКП.

Задача 8.

Для вычисления угла β2 определены координаты трех точек

X1 и Y1 , X 2			и Y2 ,		X 3	и Y3	. Эти величины получены со СКП mX	1	= mY
= mX		= mY	= mX		= mY = m .			1	1
= mX	2	= mY	= mX	3	= mY = m .
	2	2		3		3

Необходимо найти угол β2 , вершина которого лежит в точке 2, и его СКП.

Задача 9.

В треугольнике измерены основание а и высота h с погрешностями, соответственно равными ma и mh . Найти СКП площади треугольника.

Задача 10.

В треугольнике измерены две стороны а и b и угол β между ними с СКП, соответственно равными ma , mb и mβ . Найти СКП площади треугольника.

3.4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЯДА РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При математической обработке ряда равноточных измерений одной и той же величины вычисляют:

1) среднеарифметическое значение измеренной величины (как наиболее надежное)

L =	[l]	= l0	+	[ε]		,	(3.11)
	n				n

где l0 – приближенное (как правило – наименьшее) значение измеряемой величины;

ε =li −l0 – остатки;

n– число измерений;

2)СКП одного измерения по формулеБесселя:

m =	[V 2 ]	,	(3.12)
	n −1

где V = L −li – поправки к результатам измерений (уклонения

от средне-арифметического); 3) СКП среднеарифметического

M =	m	,			(3.13)
	n
4) СКП самой СКП	m
mm =				,	(3.14)
	2(n		−1)

Решение задач

Пример 7.

Линия теодолитного хода измерена мерной лентой пять раз. Получены следующие результаты: 217,24 м; 217,31 м; 217,38 м; 217,23 м; 217,20 м. Произвести математическую обработку ряда равноточных измерений.

Решение.

					Таблица 3.4

№ п/п	l, м	ε , см	V, см	V 2		ε 2
				5
1	2	3	4	5		6
				9
1	217,24	+ 4	+ 3	9		16
2	31	+11	- 4	16		121
3	38	+18	-11	121		324
4	23	+ 3	+ 4	16		9
5	20	0	+ 7	49		0

l0 = 217,20 [ε] =+36 [V]= -1 [V 2 ]=211 [ε 2 ] =470

L = 217,20м+ 365см = 217,272м.

Lок. = 217,27м.

Контроль: [V ] = 0 .

За счет округления величины L появляется ошибка округле-

ния ω = Lок. − L = −0,002м = −0,2см.

В этом случае контролем вычисления Lок. является выраже-

ние [V ] = nω .

[V ] = 5(-0,2) = -1.

Контроль вычисления [V 2 ]:

[V 2 ] =[ε 2 ] −			[ε]2		. [V 2 ] = 470 −	36	2	= 211.
				n		5

СКП одного измерения будет равна
m =	[V 2 ]	=		211	= 7,3см.
			4
	n −1

Оценка точности СКП

mm =	m	=	7,3	= 2,6см.
	2(n −1)		8

Следовательно, m = 7см.

СКП среднеарифметического значения равна

M = mn = 75 = 3см.

Ответ: L = 217,27м ± 0,03м.

Задача 11.

Горизонтальный угол измерен 5 раз. Получены результаты: 60°41,0'; 60º40,5'; 60°40,0'; 60°42,0'; .... (см. Приложение, табл. 2).

Произвести обработку этого ряда результатов измерений.

Задача 12.

Площадь контура измерена планиметром 5 раз. Получены ре-

зультаты: 26,31; 26,28; 26,32; 26,26; .… га (см. приложение табл. 2). Произвести обработку этого ряда результатов измерений.

Задача 13.

Линия теодолитного хода измерена мерной лентой пять раз.

При этом получены результаты: 175,24; 175,31; 1175,28; 175,23;

.... м (см. приложение табл. 2). Произвести математическую обработку результатов этого ряда измерений.

3.5. ВЕСА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИЙ

Вес результата измерения определяют по формуле

	p =	k	,	(3.15)
		2
		m
где k	– произвольно выбранное число одинаковое для всех
весов, участвующих в решении задачи;
m – СКП результата измерения.
Вес –	относительная характеристика точности,			т.е. он дает

представление о точности результата измерения только при сравнении с весами других результатов измерений в данной задаче.

В качестве единицы меры дисперсий принимают СКП измерения μ , вес которой равен единице (СКП единицы веса).

Подставив в (3.11) вместо k величину μ2 , получим

				P	=		μ2		,
откуда				P	=		m2		,
							m2
				μ2		= m2 P
				μ2		= m2 P
или				μ = m P ,
а				m =		μ		.	(3.16)
а				m =				.	(3.16)
							P
Величину	m2	=	1	называют обратным весом.
Величину	μ2	=	P	называют обратным весом.
	μ2		P

Заменив в формуле (3.6) величины m2 на обратные веса, получаем формулу для вычисления веса функции измеренных величин

1	n	∂f	2	1
	= ∑				.	(3.17)
pu
	i=1	∂xi		pxi

Таким образом, методика определения весов функций измеренных величин такая же, что и при вычислении СКП функций измеренных величин. Формулы для определения весов функций получаются из формул для СКП тех же функций заменой вели-

чин m2 соответствующими им обратным весом mμ22 = P1 .

Порядок вычисления веса функции измеренных величин следующий:

1)записывается функция в буквенном выражении;

2)определяется обратный вес этой функции по вышеизложенным правилам;

3)осуществляется переход от обратного веса к весу.

Решение задач

Пример 8.

Измерены два угла с СКП, соответственно равными

m1 =5″ и m2 = 1″.

Вычислить веса этих результатов измерений, если k = μ2 = (1′′)2 .

Решение.

Веса заданных величин будут

p1 =	1	;	p2	=	1	=1,

	25				1

а в качестве величины, обладающей единичным весом, выступает угол, точность измерения которого характеризуется СКП, равной 1″.

Пример 9.

Вычислить вес дирекционного угла n - ой линии хода при условии равноточности результатов измерения углов хода и безошибочности дирекционного угла исходной стороны.

Решение.

Дирекционный угол последней линии теодолитного хода вычисляем по известной формуле

αn =αAB +180o n −β1 −β2 −... −βn

Условие равноточности измерения углов хода требует дать всем измеренным значениям углов один и тот же вес, в частности, равный единице, т.е. p1 = p2 =... = pn = pβ =1.

Тогда на основании формулы (3.13) записываем выражение обратного веса дирекционного угла последней линии хода. Необходимо учесть, что слагаемое αAB +180o n в предыдущей формуле

принимается как безошибочная величина с нулевой дисперсией, и, следовательно, с нулевым обратным весом. На основании этого имеем

1		=	(−1)2	+	(−1)2	+... +	(−1)2	= n
pα			1		1		1
	n

Тогда pαn = 1n .

Пример 10.

С плана графически сняты прямоугольные координаты x1 , y1 начала и x2 , y2 конца некоторого отрезка, после чего была вычис-

лена его длина S . Принимая, что все четыре координаты были получены равноточно, вычислить вес длины этого отрезка. Сравнить полученное значение веса с весом значения непосредственного измерения линии по карте, если такое измерение выполня-

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.06.201515.59 Кб17геодезия (2).docx
#
06.06.201516.73 Кб13геодезия журнал.docx
#
06.06.20152.43 Mб87Геодезия Часть III.doc
#
22.11.20192.3 Mб11Геодезия. Часть III .doc
#
06.06.2015851.46 Кб47ГЕОДЕЗИЯ.doc
#
06.06.2015739.22 Кб38Геодезия_ч3.pdf
#
06.06.201527.88 Кб23Гештальт.docx
#
06.06.201533.79 Кб15Гидрогеология-вопросы.doc
#
10.11.2018351.74 Кб11гироскоп.doc
#
06.06.2015184.83 Кб56ГИС.doc
#
27.03.201619.54 Mб614ГКН учебник.pdf