- •8. Системы координат на плоскости: декартовы и полярные координаты
- •17. Кривые второго порядка
- •1. Окружность
- •2. Эллипс
- •3. Гипербола
- •4. Парабола
- •1. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах
- •Непрерывность ф-ции, имеющей производную.
- •37.Общая схема исследования функции и построения её графика
- •40. 40. Непосредственное интегрирование.
- •41. Интегрирование методом подстановки.
- •Интегрирование по частям.
- •47.Существование и единственность решения
- •Таким образом, .
- •Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .
37.Общая схема исследования функции и построения её графика
После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.
Пусть дана функция . Для её исследования нужно:
1). Найти её область определения . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений. (Однако, во многих случаях, вопрос нахожденияоткладывается до нахождения экстремумов функции.)
2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической.
3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения, если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.
39.
.
40. 40. Непосредственное интегрирование.
Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.
Пример.
Найдите множество первообразных функции .
Решение.
Запишем функцию в виде .
Так как интеграл суммы функций равен сумме интегралов, то
Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:
Первый из интегралов приведен к табличному виду, поэтому из таблицы первообразных для показательной функции имеем .
Для нахождения второго интеграла воспользуемся таблицей первообразных для степенной функциии правилом. То есть,.
Следовательно, где
41. Интегрирование методом подстановки.
Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.
Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.
Пример.
Найти неопределенный интеграл .
Решение.
Введем новую переменную . Выразимх через z:
Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:
Из таблицы первообразных имеем .
Осталось вернуться к исходной переменной х:
Ответ:
При интегрировании функций с иррациональностью вида , гдеm, n, p – рациональные числа, важно правильно выбрать выражение для введения новой переменной. Смотрите рекомендации в разделе интегрирование иррациональных функций.
Очень часто метод подстановки используется при интегрировании тригонометрических функций. К примеру, использование универсальной тригонометрической подстановки позволяет преобразовать подынтегральное выражение к дробно рациональному виду.
Метод подстановки позволяет объяснить правило интегрирования .
Вводим новую переменную , тогда
Подставляем полученные выражения в исходный интеграл:
Если принять и вернуться к исходной переменнойх, то получим