Распространение световой волны в планарном волноводе

Уравнения Максвелла для электрической и магнитных компонент световой волны в немагнитной среде (μ=1) записываются в виде:

, , (13)

где μ, ε – магнитная и диэлектрическая проницаемость волновода, μ₀, ε₀ – магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума.

рис.10. Геометрия рассматриваемой задачи

Т.к. структура волны однородна вдоль направления распространения света (координата z, рис.10), то выражение для выделенных векторных компонент поля можно искать в виде:

, (14)

,

где ω – круговая частота световой волны, β_ν – параметр распространения световой волны, относящийся к моде ν.

Подстановка (14) в (13) дает следующие две системы уравнений:

(15)

.

Поперечные компоненты электрического и магнитного поля могут быть выражены в терминах продольных компонент:

(16)

,

где k_i²=ω²μ₀εε₀=(ω²/c²)n_i²=k₀²n_i². Индекс i показывает, что уравнения относятся к i-ой рассматриваемой области. В принципе, показатель преломления может меняться по какой либо координате: или x или y. Считается, что волновод однороден в направлении распространения света, где ε - диэлектрическая проницаемость не зависит от z. Поля в таком оптическом волноводе могут иметь различные векторные характеристики. Существует следующая классификация мод, характеризующих поляризацию световой волны в этом случае:

• поперечные электрические и магнитные моды, TEM имеют E_z=0 и H_z=0. Диэлектрические планарные волноводы не могут поддерживать распространения TEM мод.

• Поперечная электрическая мода, TE имеет E_z=0 и H_z≠0.

• Поперечная магнитная мода, или TM имеет H_z=0 и E_z≠0.

• Гибридные моды имеют E_z≠0 и H_z≠0. Гибридные моды не проявляются в симметричных планарных волноводах, но существуют в непланарных. Кроме того, HE и EH моды, проявляются в цилиндрическом оптоволокне.

Условие резонанса TE или HE световых волн, распространяющихся вдоль оптической оси можно оценить из простого соотношения, которое известно как соотношение Гуса-Хенкена. Во-первых, при отражении световой волны от границы раздела двух сред между падающем и отраженным лучом набегает фазовый сдвиг (ϕ) и условие резонансной интерференции имеет вид:

(17)

где m=0, 1, 2, …

Т.к. m принимает только целые значения, то только определенные значения угла ϕ могут удовлетворять условиям резонанса поперечной световой волны.

Допустим, что диэлектрическая проницаемость ε может меняться по направлению x, т.е. ε=ε(x). Тогда, в принципе, можно получить решение задачи распространения TE или TM мод в волноводе такой конструкции. Сам волновод представляет собой бесконечную пластину конечной ширины, заключенную между обкладками с отличающимися от пластины показателями преломления света (в меньшую сторону).

Te моды

Для рассматриваемой геометрии планарного волновода TE-моды характеризуются условием: E_z=0. Исходя из рассмотрения системы уравнений (16), получаем E_x=H_y=0, т.к. ∂H_z/∂y=0. Поэтому единственными компонентами поля в этом случае являются H_x, E_y и H_z. Тогда

, (18)

где k²=k₀²n(x)².

Компоненты H_x и H_z могут быть определены из E_y, используя соотношения (15), (16):

, . (19)

рис.11. Геометрия пластины с показателем преломления n₁ между двумя диэлектриками с показателем преломления n₂.

В случае TM-моды планарного волновода, TM=0. Тогда H_x=E_y=0, т.к. ∂E_z/∂y=0. В этом случае светового поля будут E_x, H_y и E_z. Волновое уравнение в этом случае имеет вид:

, (20)

где k²=k₀²n(x)².

В качестве первого примера рассмотрим световое поле в пластине с показателем преломления n₁ между двумя слоями диэлектрика с одинаковым показателем преломления n₂ (рис.11). В этом случае уравнения (18) и (20) имеют один и тот же вид.

Обозначим как q= и h=k₁cos(θ)=. Решения уравнения (18) для разных областей в этом случае будет иметь вид:

. (21)

Для нахождения неизвестных коэффициентов A, B, C и D используем условия равенства рассматриваемых функций на границах раздела и условие симметрии задачи.

Когда распределение показателя преломления вдоль оси x симметрично, то решениями волнового уравнения будут либо симметричные, либо антисимметричные моды по отношению к плоскости симметрии планарного волновода (y-z плоскости при x=0). Тогда - симметричная мода, (22)

- антисимметричная мода. (23)

Комбинируя (22), (23) и (21), имеем:

- симметричная мода, (24)

- антисимметричная мода, (25)

где и .

Тогда, учитывая, что q= и h=k₁cos(θ)=, можно записять:

. (26)

Это означает, что значения ρ и ν лежат на окружности радиуса V, который равен

. (27)

рис.12. Графическое рассмотрение распространение света в планарном волноводе.

Величина V известна как безразмерный параметр светового волновода и, если он задан, то значения ρ и ν определяются из (27) и (23), (24). Это удобно делать графическим методом, как это показано на рис.12. При уменьшении световой частоты ω с одновременным уменьшением ρ к началу координат, все пересечения графиков исчезают за исключением одного пересечения с ветвью тангенса. Это соответствует фундаментальной моде m=0 без отсечки частоты. Т.е. такая мода с распределением напряженности TE-волны, как это показано в правой части рис.13 имеет право на распространение. И геометрическая интерпретация в основном относиться именно к этой ситуации.

Все высшие моды с m>0 имеют отсечку. Они не могут распространяться в волноводе выше определенной частоты отсечки. Два круга на рис.12 соответствуют значениям V/2=2 и V/2=5; при этом число разрешенных мод может быть показано в следующей таблице:

Значение V	Число симметричных мод	Число антисимметричных мод
4 10	1 2	1 2

рис.13. Характер распространения симметричной и антисимметричной TE₁ световой волны в планарном волноводе.

Характер полевой структуры (распределение напряженностей электрического и магнитных полей по сечению планарного волновода) симметричной и антисимметричной TE волны показан на рис.13. Если в случае симметричной структуры напряженность TE волны принимает максимальное значение в начале координат, то в антисимметричном случае напряженность поля равна нулю. Для TH волны имеет место симметричный и обратный случай.