Асташова И.В., Никишкин В.А.
Функциональный анализ
Тесты
Москва 2011
Тест I.
1) Пусть задаются непрерывные функции x(t), y(t), z(t),… на [0,1]. Какое из ρ(x,y) будет удовлетворять всем аксиомам метрики:
1.1а) ρ (x,y)= |x(t) – y(t)|²
1.2б) ρ (x,y)= max| x(t) – y(t)|, t [0,1].
1.3в) ρ (x,y)= 
x(t) - y(t)
1.4 г) ρ (x,y)= 
∫(x(t) - y(t))2dt .
2)Пусть задана последовательность а) fn = (1+1/n)n;
б) fn = 1/2n; в) fn = n.
Какая из них фундаментальная?
3)Рассматривается счётное множество счётных множеств как единое множество.
Будет ли оно: а) счётно; б) несчётно?
4)В E³ - трёхмерном евклидовом пространстве рассматривается какая-то плоскость, например, x + y + 2z = 1 как некоторое подмножество M Eⁿ.
Будет ли это множество а) всюду плотно в E³? б) нигде не плотно в E³? в) ни то, ни другое?
5) На оси OX (- ∞<x<+ ∞) как её подпространство (подмножество)
∞
рассматривается множество M= ∑ Ti , Ti = [2 i , 2 i + 1].
1=1
Будет ли M:
а) всюду плотно в E¹={x (- ∞, +∞)}? б) нигде не плотно в E¹?
в) ни то, ни другое?
6)Дано полное метрическое пространство. Будет ли оно
а) множеством 1-ой категории? б) множеством 2-ой категории?
110
7)Пусть x(t) – непрерывно на [0,1]. Дан оператор
A(x)= δ ∫1 |
x(τ )sin(t-τ )dτ |
0 |
|
пусть|δ |<1.
Будет ли оператор A(x) а) сжимающим?
б) не будет сжимающим?
в) сжимающим при некоторых δ ?
Тест 2.
1)Пусть оператор A – линеен, и существует обратный оператор B = A‾¹. Будет ли тогда
а) В – линеен?
б) В – не обязательно линеен? в) В – не линеен?
2)Пусть для оператора А, всюду определённого в Х, имеет место
равенство А² - А + 1 = 0. Будет ли А
а) обратим? б) необратим?
Тест III.
1)Задано пространство непрерывных на отрезке [a,b] функций (его называют С[a,b]) {x(t)}, t [a,b].
Будет ли выражение
а)
x
= sup{|x(t)|, t [a,b]}
нормой в этом пространстве
1)да, 2) нет.
б) |
|
x |
|
|
|
= |
∫в |
|x(t)| dt |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)да, 2) нет.
2)Можно ли для некоторого пространства вводить норму лишь одним способом или многими разными?
Одним: а) да, б) нет. Многими: а) да, б) нет.
111
3) В конечномерном нормированном пространстве каждое ограниченное замкнутое множество:
а) компактно (да, нет); б) не компактно (да, нет);
в) не обязательно компактно (да, нет).
4) Полно ли пространство, если в нём каждый абсолютно сходящийся ряд сходится?
а) да; б) нет;
в) иногда да, иногда нет.
5) Пусть гиперплоскость {f (x) = 0} является замкнутым
подпространством в Х.
Будет ли линейный всюду определённый функционал f(x) непрерывным?
а) да; б) нет;
в) иногда да, иногда нет.
6) Бывают ли замкнутые неограниченные операторы? а) да; б) нет.
(дать и подтвердить заявление примером).
112