МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Международный консорциум «Электронный университет»

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Евразийский открытый институт

Асташова И.В., Никишкин В.А.

Функциональный анализ

Учебное пособие (содержащее упражнения)

Руководство по изучению дисциплины

Тесты

Москва 2011

Ф818

Издание 3-е, исправленное.

Асташова И.В., Никишкин В.А. Функциональный анализ. /Моск. гос.

ун-т экономики, статистики и информатики. - М., 2011. Издание 3-е, исправленное.

Р е ц е н з е н т : д-р физ.-мат.-наук, проф. А.В. Филиновский (кафедра высшей математики МГТУ им. Н.Э.Баумана)

Пособие состоит трех разделов:

I.Учебное пособие (включающее программу курса и упражнения).

II.Руководство по изучению дисциплины.

III.Тесты.

Впредлагаемом пособии содержатся избранные главы функционального анализа, на базе которых читается курс студентам МЭСИ, обучающимся по специальности 351500 («Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»). Настоящая программа и соответствующий ей курс затрагивает лишь ту часть функционального анализа, которая считается классической, и является основой для изучения более современных его разделов и приложений. Данное пособие может быть использовано для аудиторной и самостоятельной подготовки студентов, а также для проведения домашних и аудиторных контрольных работ.

Авторы: Асташова Ирина Викторовна

доктор физико-математических наук, профессор

Никишкин Валерий Александрович

кандидат физико-математических наук, профессор

Авторы пособия выражают глубокую благодарность И.В. Горючкиной, А.В. Гридневу,

Ю.В. Завгородней, Е.С. Карулиной за помощь в подготовке текста, Е.С. Батаеву за помощь в предпечатной подготовке.

©Асташова И.В., 2011

©Никишкин В.А., 2011

©Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2011

2

Предисловие

В предлагаемом пособии содержатся избранные главы функционального анализа.

Функциональный анализ как самостоятельная дисциплина возник в конце XX века. Его идеи и методы постепенно складывались в недрах различных математических дисциплин: математического анализа, линейной алгебры, геометрии, топологии, математической физики, вариационного исчисления и других. Сущность функционального анализа состоит в перенесении ряда понятий и методов из элементарных глав математического анализа, алгебры, геометрии и топологии на объекты более общей и более сложной природы.

Методы функционального анализа с большим успехом используются во многих разделах теоретической и прикладной математики и, в частности, в математической экономике.

Развитие таких разделов, как теория оптимального управления, методы вычислений, математическая экономика, дифференциальные уравнения и их приложения в экономике, вряд ли были бы столь успешными без использования функционального анализа. Поэтому функциональный анализ и введен в число необходимых для серьезного математического образования дисциплин, а изучение его основ включено в учебные программы и планы для математических специальностей всех университетов, одним из которых является и наш университет МЭСИ.

В основу пособия положен курс, читаемый авторами студентам МЭСИ, обучающимся по специальности 351500 (Математическое обеспечение и администрирование информационных систем). Данное пособие может быть использовано для аудиторной и самостоятельной подготовки студентов, а также для проведения домашних и аудиторных контрольных работ. Пособие

4

может оказаться полезным для студентов МЭСИ, обучающихся по другим специальностям.

Настоящая программа и соответствующий ей курс затрагивает лишь ту часть функционального анализа, которая считается классической, и является основой для изучения более современных его разделов и приложений.

Дополнительная литература дает представление о других разделах функционального анализа, выходящих за рамки предлагаемого курса.

Для изучения и понимания начального курса функционального анализа студенту следует владеть знаниями из математического анализа и линейной алгебры, геометрии и топологии в рамках первого курса.

Курс рассчитан на 36 часов, то есть на 9 двухчасовых лекций и столько же семинарских занятий. Кроме того, в конце семестра проводится контрольная работа по всему курсу, содержащая как теоретические вопросы, так и задачи, и сдается экзамен.

Программа курса Тема 1. Введение в теорию пространств. Основные пространства:

метрические, линейные, нормированные, банаховы, топологические, гильбертовы. Сепарабельные пространства. Определения. Примеры. (2 часа лекций, 4 часа семинаров).

Тема 2. Метрические пространства. Понятие о полном метрическом пространстве. Пополнение метрического пространства. Некоторые свойства полных метрических пространств. Отображения метрических пространств. Принцип сжимающих отображений. Компактные множества в метрическом пространстве. Критерий компактности в пространстве С[a,b]. (4 часа лекций, 2 часа семинаров).

5

Тема 3. Линейные пространства. Операторы в линейных пространствах. Понятие о фактор-пространстве. Линейные операторы. Действия над операторами. Обратный оператор. Выпуклые функционалы и выпуклые множества. (2 часа лекций, 2 часа семинаров).

Тема 4. Нормированные пространства. Фактор-пространство нормированного пространства. Линейные функционалы в нормированном пространстве. Сопряженное пространство. Операторы в нормированном пространстве. График оператора. Замкнутые операторы. Признаки ограниченности оператора. Слабая сходимость функционалов. Спектр и резольвента оператора. (2 часа лекций, 2 часа семинаров).

Тема 5. Гильбертово пространство. Понятие ортогональности.

Проекция элемента на подпространство. Ортогональные и ортонормированные системы. Ортогонализация системы линейно независимых элементов. Изоморфизм произвольного сепарабельного гильбертова пространства с пространством l2 . Пространство L2 . (4 часа лекций, 4 часа семинаров).

Тема 6. Интегральные уравнения. Классификация линейных интегральных уравнений. Интегральный оператор. Теоремы Фредгольма. Теорема о разрешимости (общий случай). Метод последовательных приближений для уравнений Фредгольма и Вольтерра. (4 часа лекций, 4 часа семинаров).

Заключительное занятие. Контрольная работа. Тесты.

6