II этап регрессионного анализа.

В модель включены факторные признаки X₁, X_2, X₄, исключён X₃.

ВЫВОД ИТОГОВ
	Регрессионная статистика
	Множественный R			0,7509
	R-квадрат			0,5639
	Нормированный R-квадрат			0,5136
	Стандартная ошибка			4,0325
	Наблюдения			30
	Дисперсионный анализ
		df (число степеней свободы ν)		SS (сумма квадратов отклонений Q)				MS (средний квадрат MS=SS/ν)		F (Fнабл= MSR/MSост)	Значимость F
	Регрессия	3		546,745 (QR)				182,2482		11,20741	6,66E-05
	Остаток	26		422,796 (Qост)				16,2614
	Итого	29		969,541 (Qобщ)
		Коэффи-циенты (bi)		Стандартная ошибка (Ŝbi)				t-ста-тистика (tнабл)		P-Значение	Нижние 95% (βimin)		Верхние 95% (βimax)			Нижние 98% (βimin)			Верхние 98% (βimax)
	Y-пересечение	14,87814		3,7694151				3,94707		0,00054	7,1300		22,6263			5,5352			24,2211
	Переменная X1	-0,492621		0,137547				-3,58147		0,00138	-0,7754		-0,2099			-0,8335			-0,1517
	Переменная X2	6,852785		1,6684311				4,10732		0,00035	3,4233		10,2823			2,7174			10,9882
	Переменная X4	-0,050967		0,0198121				-2,57253		0,01616	-0,0917		-0,0102			-0,1001			-0,0019

Оценка коэффициентов в случае трех объясняющих переменных имеет вид:

,

а уравнение регрессии имеет вид:

Проверим на уровне α=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу H₀: β₁=β₂=β₄=0. Для этого в результатах дисперсионного анализа находим наблюдаемое значение F-статистики F_набл=11,20741.

С помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР или по таблицам F-распределения (см. Приложение, таб. П.2.3) для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы числителя ν₁=k=3 и знаменателя ν₁=n-k-1=26 находим критическое значение F-статистики, равное

F_кр = 2,975154

Так как наблюдаемое значение F-статистики превосходит ее критическое значение 11,207> 2,975, то гипотеза о равенстве вектора коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, хотя бы один элемент вектора β=(β₁,β₂,β₄)^T значимо отличается от нуля.

Проверим значимость отдельных коэффициентов уравнения регрессии, т.е. гипотезу .

Наблюдаемые значения t-статистик указаны в таблице результатов в столбце t-статистика.

	Коэффициенты (bi)		t-статистика (tнабл)
Y-пересечение	b0=14,87814		3,94707
Переменная X1	b1=-0,492621		-3,58147
Переменная X2	b2=6,852785		4,10732
Переменная X4	b4=-0,050967		-2,57253

Их необходимо сравнить с критическим значением t_кр, найденным для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы ν=n – k - 1.

Для этого используем встроенную статистическую функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР, введя в предложенное меню вероятность α=0,05 и число степеней свободы ν= n–k-1=30-3-1=26. (Можно найти значения t_кр по таблицам математической статистики (см. Приложение, таб. П.2.2)).

Получаем t_кр=2,0555294.

Для всех рассматриваемых коэффициентов β₀,β₁,β₂,β₄ наблюдаемое значение t-статистики больше критического по модулю

Следовательно, гипотеза о равенстве нулю коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, т.е. соответствующие коэффициенты значимы.

Также для всех этих коэффициентов p-значения не превышают 0,05 и доверительные интервалы не включают ноль, т.е. по всем проверочным критериям эти коэффициенты являются значимыми.

Т.к. в данном случае все коэффициенты оказались значимыми, процесс исключения переменных прекращается

Важное замечание.

Если бы какие-то из коэффициентов регрессии при факторных признаках оказались незначимыми, необходимо было бы продолжить процесс пошагового регрессионного анализа с последовательным исключением незначимых факторных признаков X_i до тех пор, пока все регрессионные коэффициенты не окажутся значимыми.

Если на последнем этапе, когда в регрессионной модели все коэффициенты регрессии при всех факторных признаках X_i значимы, оказывается незначимым только коэффициент b₀ (const), регрессионный анализ проводят ещё раз, убирая из анализа эту незначимую константу (см. п.3.2).

Количество этапов регрессионного анализа индивидуально для каждого варианта данных.

Окончательная оценка регрессии со значимыми коэффициентами имеет вид:

Для значимых коэффициентов регрессии можно найти с заданной доверительной вероятностью γ интервальные оценки.

Как уже обсуждалось выше, доверительные интервалы для регрессионных коэффициентов выдаются Excel в последних столбцах таблицы результатов – нижние 95% и верхние 95% и нижние 98% и верхние 98% - с заданными уровнями надёжности для γ=0,95 (выдаётся всегда) и γ=0,98 (выдаётся при установке соответствующей дополнительной надёжности).

	Коэффициенты (bi)	Нижние 95% (βimin)	Верхние 95% (βimax)	Нижние 98% (βimin)	Верхние 98% (βimax)
Y-пересечение	b0=14,87814	7,1300	22,6263	5,5352	24,2211
Переменная X1	b1=-0,492621	-0,7754	-0,2099	-0,8335	-0,1517
Переменная X2	b2=6,852785	3,4233	10,2823	2,7174	10,9882
Переменная X4	b4=-0,050967	-0,0917	-0,0102	-0,1001	-0,0019

Таким образом, интервальные оценки значимых генеральных коэффициентов регрессии имеют вид:

При отсутствии пакета анализа данных, интервальные оценки коэффициентов регрессионной модели можно найти о формуле:

,

Для определения используем встроенную статистическую функцию ExcelСТЬЮДРАСПОБР, введя в предложенное меню вероятность α=1- γ =0,05 и число степеней свободы ν=n–k-1=30-3-1=26. (Можно найти значения t_γ по таблицам математической статистики (см. таб. П.2.2)).

Получаем t_γ=2,0555294. Следовательно, для надежности γ=0,95: