Второй интерполяционный многочлен Ньютона

Записав (21) в другом виде

(28)

и проделав аналогичную процедуру подстановки в обратном порядке, начиная сi=n, можно получить второй интерполяционный многочлен Ньютона с коэффициентами

; ;;(29)

или в общем случае

. (30)

Подставляя (29), (30) в (28), получаем искомое разложение

(31)

Аналогично предыдущему случаю введем новую переменную , учтем, что, и в итоге запишем (31) в более удобной форме

(32)

называемой второй интерполяционной формулой Ньютона.

Проанализируем полученные соотношения.

На диагональной таблице разностей направления интерполяции в форме Ньютона показаны сплошными стрелками, поэтому, первую формулу (26) называют обычно интерполяцией вперед, а вторую (32) – интерполяцией назад. Узел, относительно которого строится интерполяционный многочлен, называется базовым. Таким образом, выбор базового узла обусловлен лишь требованиями близости значения к , для которого необходимо вычислить значение функции в одном из узлов, а следовательно при этих условиях значениебудет по модулю заведомо меньше единицы. Выбор направления интерполяции (вперед или назад) зависит от заполнения диагональной таблицы разностей. Так, например, если и, то целесообразно выбрать базовым узели осуществить интерполяцию вперед по первой формуле Ньютона

,

где .

Если и, то целесообразно выбрать базовым узели осуществить интерполяцию назад по второй формуле Ньютона

где и обозначили,показав базовые узлы.

Исходя из этого можно утверждать, что формулы Ньютона целесообразно применять тогда, когда заданное значение аргумента находится в начале или в конце таблицы.

Центральные интерполяционные формулы

Наряду с приведенными формулами имеются еще так называемые центральные интерполяционные формулы, рассчитанные на применение в центральной части таблицы.

Пусть , приi=1,2,…,n , таким образом в этом случае базовым узлом будет , и будем строить интерполяционный многочлен в форме

(33)

т.е. последовательно подключая узлы сначала снизу, а потом сверху. Так же, как и в предыдущих случаях, для определения коэффициентов разложения будем последовательно подставлять значения и получим:

; ;;;(34)

Подставляя в исходное выражение (33) и аналогично вводя переменную , приходим кпервой интерполяционной формуле Гаусса:

(35)

Изменяя порядок подключения узлов (сначала сверху, затем снизу и т.д. в последовательности ) и определяя коэффициенты разложения, получаемвторую интерполяционную формулу Гаусса

(36)

Из (35) и (36) можно получить удобные формулы, использующие центральные разности. Так, полусумма первой и второй формулы приводит к соотношению

(37)

называемому интерполяционной формулой Стирлинга.

Преобразуем (33), взяв в качестве базового узла

Взяв полусумму,

(38)

получаем интерполяционную формулу Бесселя.

На диагональной таблице разностей (стр.14) направления интерполяции в форме Стирлинга и Бесселя показаны соответственно пунктирной и штриховой стрелками. Вертикальными стрелками отмечены полусуммы значений функции и разностей.

Выводы и примеры на интерполирование

Подведем итог. Для того, чтобы найти значение таблично заданной на интервале функции в любой точке, необходимо выполнить следующие действия:

1. Построить диагональную таблицу разностей, таким образом, чтобы была исчерпана вся информация об этой функции;

2. Выбрать базовый узел исходя из условия, т.е. минимизироватьq.

3. Исходя из местонахождения базового узла , выбрать подходящую интерполяционную формулу и по ней найти значение функции.

Пример 4. Пусть некоторая функция y=y(x) задана своими значениями в 6 точках:

x	-9.5	-4.5	0.5	5.5	10.5	15.5
y	-11.971	-7.973	-5.314	1.928	10.271	18.091

Применяя наиболее подходящие интерполяционные формулы, требуется найти значения в точках: ;;.

Решение.

1. Составим диагональную таблицу разностей, а затем, приведём её к треугольному виду и проанализируем. В первую очередь отметим, что нумерация аргументов, значений функции и разностей во всех столбцах начинается с i=0.

Отсутствие смены знаков в столбце означает отсутствие экстремумов на исследуемом интервале, а о смене знаков в столбцеможно судить по наличию точек перегиба графика на указанном промежутке¹. Необходимо отметить, что абсолютные величины конечных разностей сначала убывают с увеличением их порядка (до включительно), а затем возрастают. Это связано в первую очередь с ограниченной точностью задания значений табличной функции.

i
0 1 2 3 4 5	-9,5 -4,5 0,5 5,5 10,5 15,5	-11,971 -7,973 -3,614 1,928 6,872 11,972	3,998 4,359 5,542 4,944 5,1	0,36 1,183 -0,598 0,156	0,823 -1,782 0,755	-2,604 2,536	5,141

2. По таблице разностей находим, что точки принадлежат интервалам: ;;. Видно, что для точкицелесообразно выбрать в качестве базового узла; для—; для, соответственно. При, получаем соответствующие новые переменные для каждой точки:;;.

3. Для точки применяем интерполяцию вперед, т.е. первую формулу Ньютона (24)

Для точки применяем интерполяцию назад, т.е. вторую формулу Ньютона (32)

Для точки можно применить одну из центральных интерполяций (37), (38). По формуле Стирлинга (37)

По формуле Бесселя (38)

Главное преимущество конечноразностных интерполяций по сравнению с интерполяцией Лагранжа состоит в том, что здесь для увеличения точности вычисления просто добавляются слагаемые более высокого порядка, а не проделываются заново все вычисления.