2. Конечноразностные формулы

Рассмотрим наиболее простой и часто применяемый случай равноотстоящих интерполяционных точек, т.е. когда для любого. Тогда можно построить другие интерполяционные многочлены, использующие понятиеразностей функции. Величина в этом случае называетсяступенью (или шагом) заданной таблицы значений ;. (Это обозначение сохраняется и приk<0.)

Первые разности функции по отношению к данному шагу h определяются формулами

, (17)

Разности первых разностей образуют разности второго порядка (или вторые разности):

, (18)

Так же определяются и разности более высоких порядков и описываются рекуррентной формулой

, (19)

Из формул (17) - (18) можно установить связь между конечными разностями и значениями функций. Эта связь выражается общей формулой

(20)

где - число сочетаний из n различных элементов по m, которые можно определить непосредственно вычислением, или из так называемого треугольника Паскаля:

n	Коэффициенты
0	1
1	1 1
2	1 2 1
3	1 3 3 1
4	1 4 6 4 1
5	1 5 10 10 5 1
6	1 6 15 20 15 6 1

Для первых порядков разностей

Для функции , заданной таблицей своих значенийв равноотстоящих узлахконечные разности разных порядков удобно сводить в общую таблицу с узлами и значениями функции. (См. ниже).

Диагональная таблица разностей

… …	… …

В этой таблице всякое число является разностью двух чисел предыдущего столбца, стоящих на полстроки ниже и на полстроки выше рассматриваемого. При составлении таблицы разностей следует иметь в виду, что наличие в первом столбце ошибок, не превышающих  по абсолютной величине, может привести к ошибкам, доходящим до 2 во втором, 4 в третьем, 2^m+1 в m-м столбце. Поэтому даже незначительные погрешности в значениях функции могут сильно повлиять на разности высших порядков. Вычисления разностей следует прекращать, если все числа некоторого столбца оказываются почти равными между собой. На основании таблицы можно построить ряд так называемых конечноразностных интерполяционных формул, которые будем искать в виде полинома

(21)

где коэффициенты определяются из условий. Подставляя в (21), получаем.

Первый интерполяционный многочлен Ньютона

При отличными от нуля будут первые два слагаемых и по условиям интерполяции

откуда

. (22)

Следующая подстановка с учетом полученных выражений приводит к уравнению относительно:

решение которого с учетом (20) примет вид

(23)

Аналогично, при получаем:

(24)

Продолжая дальнейшие подстановки, можно убедиться, что для любого n справедливо:

(25)

Подставляя (22), (25) в (21), получаем полином:

(26)

который называют первым интерполяционным многочленом Ньютона..

Вводя новую переменную и учитывая, что, приходим к компактной записи первой формулы Ньютона.

(27)