Глава 10. Интеграл Римана–Стилтьеса
§ 10.1. Функции ограниченной вариации
Пусть функция ( ) задана на отрезке [ , ]. Для произвольного разбиения этого отрезка
= 0 < 1 < · · · < =
составим сумму
|
|
|
|
∑ |
|
:= |
| ( −1) − ( )|. |
(10.1.1) |
=1
Определение. Функция ( ) называется функцией ограниченной вариации (функцией с ограниченным изменением) на отрезке [ , ], если суммы ограничены некоторым числом, не зависящим от разбиения .
Для функции ограниченной вариации точную верхнюю грань значений сумм , взятую по всем разбиениям , называют вариацией (полным изменением) на отрезке [ , ] и обозначают
( , [ , ]).
Множество функций, имеющих ограниченную вариацию на отрезке [ , ], обозначают [ , ].
Когда ясно, какой отрезок имеется в виду, вместо ( , [ , ]) и [ , ] пишут ( ) и .
Монотонные на отрезке [ , ] функции имеют ограниченную вариацию, поскольку у таких функций разности ( −1) − ( ),= 1, . . . , , не могут принимать значения разных знаков и
|
|
∑ |
|
= |
( −1) − ( ) = | ( ) − ( )|. |
=1
Поэтому ( ) = | ( ) − ( )|.
Если функция удовлетворяет на отрезке [ , ] условию Лип-
шица первого порядка |
|
| ( ′) − ( ′′)| 6 | ′ − ′′| |
для всех ′, ′′ [ , ], |
82
§ 10.1. Функции ограниченной вариации |
83 |
|
то имеет ограниченную вариацию, так как |
|
|
|
|
|
∑ |
∑ |
|
| ( −1) − ( )| 6 |
| −1 − | = ( − ). |
|
=1 |
=1 |
|
Таким образом, справедлива оценка
( ) 6 ( − ).
Отметим некоторые простые свойства функций ограниченной вариации.
1 . Если , то для любого числа имеем и
( ) = | | ( ). |
и ( ± ) 6 ( ) + |
2 . Если функции , , то ± |
|
( ). |
|
Эти свойства вытекают непосредственно из определения.
3 . Если функция имеет ограниченную вариацию, то функция | | также имеет ограниченную вариацию и (| |) 6 ( ).
Это утверждение справедливо в силу оценок
|
|
|
| ( −1)| − | ( )| 6 | ( −1) − ( )|, |
= 1, . . . , . |
|
4 . Если функция [ , ], то она ограничена на [ , ].
В самом деле, для каждой точки [ , ]
| ( )| 6 | ( )| + | ( ) − ( )| 6 | ( )| + ( , [ , ]).
Теорема 10.1.1 (Аддитивность вариации). Если функция
имеет ограниченную вариацию на отрезке [ , ] и точка ( , ), то имеет ограниченную вариацию на отрезках [ , ] и [ , ]. Наоборот, если функция имеет ограниченную вариацию на отрезках [ , ] и [ , ], < < , то она имеет ограниченную вариацию на [ , ]. При этом имеет место равенство
( , [ , ]) = ( , [ , ]) + ( , [ , ]). |
(10.1.2) |
Действительно, от добавления к произвольному разбиению точки значение суммы (10.1.1) может только увеличиться, а верхние грани сумм (10.1.1) по отрезкам [ , ] и [ , ] берутся независимо друг от друга.
84 |
Гл. 10. Интеграл Римана–Стилтьеса |
Из (10.1.2) вытекает возрастание функции ( , [ , ]) на отрезке [ , ].
Из теоремы 10.1.1 следует, что кусочно монотонные функции имеют ограниченную вариацию. Понятие функций ограниченной вариации введено К. Жорданом (1880) как обобщение кусочно монотонных функций.
Теорема 10.1.2. Функция имеет ограниченную вариацию в том и только том случае, когда она равна разности двух возрастающих функций.
Доказательство. Достаточность вытекает из того, что монотонные функции имеют ограниченную вариацию и разность функций ограниченной вариации также имеет ограниченную вариацию.
Докажем необходимость. Пусть [ , ]. Запишем тождество
( ) ≡ ( , [ , ]) − ( ( , [ , ]) − ( )).
Функция ( , [ , ]) с ростом возрастает. Докажем возрастание функции ( , [ , ]) − ( ).
Для точек 1 < 2 с помощью (10.1.2) получаем
( , [ , 2]) − ( 2) − ( ( , [ , 1]) − ( 1))
=( , [ 1, 2]) − ( ( 2) − ( 1)),
аэта разность неотрицательна, так как
| ( 2) − ( 1)| 6 ( , [ 1, 2]).
Теорема доказана.
Монотонные функции могут иметь разрывы только первого рода, прич¨ем множество их точек разрыва не более чем сч¨етно (см. S 4.2). Согласно теореме 10.1.2 функции ограниченной вариации также могут иметь разрывы только первого рода и не более, чем в сч¨етном множестве точек.
Покажем, что непрерывные функции не обязательно имеют ограниченную вариацию.
Зададим на отрезке [0, 1] функцию ( ) следующим образом. Пусть (0) := 0, (1/ ) := 1/ , = 1, 2, . . . и в каждом промежутке [1/( + 1), 1/ ] функция кусочно линейна и один раз обращается в нуль.
§ 10.1. Функции ограниченной вариации |
85 |
Тогда
|
( , |
[ + 1 |
, ] ) |
= |
+ 1 + |
|
||
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
и согласно (10.1.2)
|
( , |
[ + 1, 1] ) |
= |
|
|
|
1 |
|
|
Так как
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
− 1 + |
1 |
|
=1( |
+ 1 + |
) |
= 2 =1 |
+ 1 . |
||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.1.3) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
∑ |
|
|
= +∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1
(см. S 2.9), то с ростом выражение в правой части равенства (10.1.3) неограниченно возрастает и, таким образом, функция не является функцией ограниченной вариации на [0, 1]. Вместе с тем, она непрерывна на [0, 1].
Теорема 10.1.3. Если функция имеет ограниченную вариацию на отрезке [ , ] и непрерывна в некоторой точке 0 [ , ], то функция ( ) := ( , [ , ]) также непрерывна в точке 0 .
Доказательство. Если 0 – один из концов отрезка [ , ], то как обычно, имеется в виду соответствующая односторонняя непрерывность в точке 0.
Докажем непрерывность ( ) в точке 0 [ , ) справа.
В силу непрерывности в точке 0 для каждого > 0 существует > 0 такое, что при всех ( 0, 0 + ) имеем
| ( ) − ( 0)| < |
|
(10.1.4) |
2 . |
86 |
|
Гл. 10. Интеграл Римана–Стилтьеса |
|||
Выберем разбиение отрезка [ 0, ] точками 0 |
< 1 |
< · · · < |
|||
= такое, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
||
( , [ 0, ]) < |
| ( −1) − ( )| + |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
=1 |
|
|
|
и 1 − 0 < . С помощью (10.1.4) получаем |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
( , [ 0, ]) < |
| ( −1) − ( )| + 6 ( , [ 1, ]) + . |
||||
|
=2 |
|
|
|
|
Отсюда |
( , [ 0, ]) − ( , [ 1, ]) < . |
|
|
(10.1.5) |
|
|
|
|
|||
Так как 1 – произвольная точка интервала ( 0, 0 + ), то оценка (10.1.5) доказывает непрерывность функции ( ) в точке0 справа.
Точно так же устанавливается непрерывность ( ) в точках из ( , ] слева.
Теорема доказана.
Поскольку в теореме 10.1.2 представление функции ограниченной вариации в виде разности возрастающих функций строилось с помощью функции ( , [ , ]), то справедливо следующее добавление к теореме 10.1.2.
Следствие 10.1.4. Функция является непрерывной функцией ограниченной вариации в том и только том случае, когда е¨ можно представить в виде разности двух непрерывных возрастающих функций.
Рассмотрим функции, имеющие интегрируемую производную.
Теорема 10.1.5. Если на отрезке [ , ] функция непрерывна, а е¨ производная интегрируема, то имеет ограниченную вариацию и
|
|
|
|
( , [ , ]) = ∫ | ′( )| . |
|
|
|
(10.1.6) |
||||||||||
Доказательство. Для каждого разбиения |
отрезка [ , ] |
|||||||||||||||||
точками = 0 |
< · · · |
< |
= согласно формуле конечных |
|||||||||||||||
приращений Лагранжа имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
( |
|
) |
|
( ) |
|
∑ |
|
′( ) |
( |
|
|
|
), |
||
|
|
| |
|
−1 |
|
− |
|
| |
|
|
| |
|
| |
|
− |
−1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
– некоторые точки из ( |
−1 |
, ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||