99

Подставив (6.38) и (6.43) в исходное уравнение (6.33), с учетом Т0 = 0 получим

При подстановке числовых данных задачи запишем в явном виде уравнение (6.44):

3,875V12 = 55,8.

Отсюда находим искомую скорость груза 1, когда он из состояния покоя опустится на высоту s1 = 1 м:

От в е т: V1 = 3,8 м/с.

7.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

7.1.Краткие теоретические сведения

Ваналитической механике рассматриваются наиболее общие методы изучения равновесия и движения материальных систем. При этом объектом исследования является система материальных точек или тел.

Система материальных точек называется свободной, если положения

ееотдельных точек и их скорости могут принимать произвольные значения. Материальная система называется несвободной, если вследствие каких-

либо ограничений (связей) точки системы не могут занять произвольного положения в пространстве и иметь произвольные скорости.

Аналитически связи выражаются уравнениями или неравенствами, т. е. соотношениями между радиусами-векторами точек системы, их скоростями и временем.

100

Связи, выраженные уравнениями, называются удерживающими,

авыраженные неравенствами − неудерживающими.

Вобщем случае для материальной системы, состоящей из n точек, наложенные на нее k удерживающие связи можно записать системой уравнений вида

Если уравнения связей (7.1) содержат явно время t, то связь называется нестационарной. Если уравнение связи не содержит явно время t, то связь называется стационарной.

Если связи материальной системы являются стационарными, то система называется склярономной. Если связи нестационарные, то система называется

реономной.

Связь, накладывающая ограничение только на координаты точек системы, называется геометрической или голономной. Уравнения связей в этом случае имеют вид

Связь называется неголономной (кинематической), если уравнения связей (7.1) содержат неинтегрируемым образом производные от координат по времени или дифференциалы координат.

Материальная система, на которую наложены голономные связи, называется голономной, а материальная система с неголономными связями –

неголономной.

Введение понятий о связях и их реакциях позволяет сформулировать основную задачу механики несвободной голономной системы точекGв форме

задачи об отыскании закона движения системы и реакций связей Nν по заданным активным силам FGν(ν = 1, 2, …, n) и уравнениям голономных связей

(7.2). Она сводится к совместному решению уравнений движения и уравнений связей:

Начальные условия при этом задаются в соответствии с уравнениями связей.

101

Из (7.3) видно, что связи вносят в решение задач механики две трудности. Первая состоит в том, что не все координаты точек систем являются независимыми, так как они связаны определенными соотношениями (7.2). Вторая трудность заключается в том, что реакции связей априори не заданы: они являются независимыми величинами данной задачи и подлежат определению.

В случае голономных связей первая трудность преодолевается введением обобщенных координат. Для преодоления второй трудности необходимо так поставить задачу, чтобы реакции связей были внутренними силами. Таким образом, от характера связей зависит не только вид движения системы, но и выбор приемов для изучения этого движения.

Введем понятия действительного и возможного перемещений на примере одной материальной точки (ν = 1), подчиненной одной голономной связи (j = 1):

f (x, y, z, t)=0. (7.4)

Действительным перемещением dr точки называется бесконечно малое перемещение этой точки под действием активных сил и реакций связи.

нечно малое перемещение точки, допускаемое связью в фиксированный момент времени. Возможное перемещение не обладает длительностью и не происходит под действием сил.

Дифференциальное уравнение в частных производных, которому подчинены возможные перемещения точки δrG=δxi +δyjG+δzkGв положении M0 (x0, y0, z0 ) получим, вычислив дифференциал от уравнения (7.4) при фиксированном времени, т. е. определив изохронную вариацию функции f (x, y, z, t) и приравняв ее к нулю:

102

Сравнив (7.5) и (7.6), можно сделать вывод, что действительное перемещение совпадает с возможным перемещением точки только в случае стационарных связей, когда ∂f/∂t = 0.

Следовательно, при стационарной связи действительное перемещение drG совпадает в фиксированный момент времени с одним из возможных

перемещений δrG. Так как drG =Vdt, то при стационарной связи вектор δr направляется так же, как вектор скорости точки в данный момент времени. При нестационарной связи вектор действительного перемещения drG точки в положении M0 (x0, y0, z0 ) не совпадает ни с одним из векторов ее возможных перемещений δrG.

Возможными перемещениями точек системы называется совокуп-

ность бесконечно малых векторов

103

Связи, для которых возможная работа реакций Nν связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, называются идеальными:

Для одной материальной точки, движущейся по поверхности связи

f(x, y, z, t) = 0, условие (7.11) принимает вид N δrG =0. Следовательно, при

G

идеальнойG связи реакция N перпендикулярна любому возможному перемещению δr , т. е. направлена по нормали к поверхности связи. Поэтому в случае идеальной связи точка движется по поверхности связи без трения. Условие (7.11) является обобщением для случая системы, состоящей из n точек. Можно убедиться, что примерами идеальной связи являются гладкая поверхность, шарнир без трения, связь при качении без скольжения.

Числом степеней свободы голономной материальной системы называ-

ется число S независимых параметров (координат), полностью определяющих ее положение, совместимое с наложенными на нее связями.

Если на материальную систему, состоящую из n точек, наложено k голономных связей, то это значит, что не все декартовы координаты точек системы независимы друг от друга. Действительно, независимыми являются только (3n – k) координат, так как k координат можно выразить через остальные (3n – k) координат с помощью уравнений связей (7.2). Следовательно, число степеней свободы для рассматриваемой системы

Для описания движения системы материальных точек в независимых переменных введем понятие обобщенных координат: S независимых параметров q1, q2, ..., qS, однозначно определяющих положение точек материальной системы, совместимое со связями, называются обобщенными координатами.

Отметим, что независимые координаты qm(m = 1, 2, …, S) – это не обязательно набор S переменных из числа декартовых координат xν, уν, zν. Ими могут быть переменные другой природы.

Производные от обобщенных координат по времени q1, q2, ..., qS назы-

ваются обобщенными скоростями (qm ≡ dqm /dt).

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты: если qm – линейная величина, то qm – линейная скорость;

если qm – угол, то qm – угловая скорость; если qm – площадь, то qm – сектор-

104

ная скорость и т. д. Следовательно, понятие обобщенной скорости охватывает все известные нам понятия о скоростях.

Пусть система имеет S степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатами q1, q2, ..., qS. Сообщим системе в фиксированный момент времени такое возможное перемещение, при котором обобщенная координата qm приобретает приращение δqm > 0, а остальные обобщенные координаты не изменяются.

Тогда каждый радиус-вектор rν получит возможное перемещение ( δrν )m, которое вычисляется как частный дифференциал:

Согласно (7.9) возможную работу всех активных сил при δqm > 0 можно записать в виде

Величина Qm называется обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате qm.

Если всем S обобщенным координатам в данный момент времени сообщить положительные приращения (вариации) δq1, δq2, ..., δqS, то в обобщенных координатах полная возможная работа всех активных сил

Из выражения (7.15) следует, что обобщенные силы представляют собой коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы.

Спроецировав (7.14) на декартовы оси, получим

Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты.

105

Для голономной системы с S степенями свободы, подчиненной идеальным связям, дифференциальные уравнения ее движения в обобщенных координатах q1, q2, ..., qS имеют вид

Уравнения (7.17) называются уравнениями Лагранжа второго рода.

Они содержат (S + 1) функций, которыми являются кинетическая энергия T системы и обобщенные силы Q1, Q2, ..., QS. Чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа (7.17), следует выразить эти функции через обобщенные координаты q1, q2, ..., qS и обобщенные скорости q1, q2, ..., qS .

В математическом отношении уравнения (7.17) представляют собой систему S дифференциальных уравнений второго порядка. Нетрудно показать, что эта система может быть представлена в форме Коши, т. е. разрешена относительно старших производных. Для таких систем имеет место теорема о существовании и единственности решения, из которой следует детерминированность движения материальной системы, как только заданы начальные условия движения, т. е. в начальный момент зафиксированы значения обобщенных координат и обобщенных скоростей:

Решение основной задачи динамики голономной системы заключается в интегрировании уравнений Лагранжа (7.17), т. е. в нахождении обобщенных координат q1, q2, ..., qS как функций времени t:

В формуле (7.19) С1, С2, ..., С2S – постоянные интегрирования, значения которых определяются по начальным условиям движения (7.18). Отметим, что рациональный выбор обобщенных координат q1, q2, ..., qS может существенно упростить конкретный вид уравнений Лагранжа (7.17) и тем самым облегчить процедуру интегрирования этой системы дифференциальных уравнений.

106

Основные преимущества уравнений Лагранжа второго рода:

•по форме уравнения (7.17) записывают одинаково в любой системе координат, и различие в выборе координат сказывается лишь на виде (S + 1) функций, входящих в эти уравнения;

•число уравнений (7.17) не зависит ни от количества материальных точек, входящих в систему, ни от характера их движения, а определяется только числом S ее степеней свободы;

•для системы с идеальными связями правые части уравнений (7.17) содержат только обобщенные активные силы, и из рассмотрения исключаются реакции связей, которые, как правило, неизвестны.

Для составления уравнений Лагранжа второго рода (7.17) необходимо: 1. Выбрать обобщенные координаты, количество которых должно

равняться числу S степеней свободы голономной системы.

2. Выразить кинетическую энергию системы через обобщенные координаты и обобщенные скорости.

3. Вычислить все производные от кинетической энергии, входящие

влевую часть уравнений (7.17).

4.По формуле (7.14) найти обобщенные силы.

Вопросы для самопроверки

1.Какие связи называются голономными?

2.Что называется возможным перемещением точки?

3.При каких связях действительное перемещение точки совпадает

содним из ее возможных перемещений?

4.Что называется возможной работой сил системы?

5.Что такое обобщенная сила и как ее можно вычислить?

6.Каков вид уравнений Лагранжа второго рода для голономной системы

сS степенями свободы?

7.2.Задание Д3. Применение уравнения Лагранжа второго рода

кисследованию движения механической системы

содной степенью свободы

Механическая система (схемы Д3.0–Д3.9 на рис. 7.1, табл. Д3) состоит из грузов 1 и 2, цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней R4 = 0,3 м, r4 = 0,1 м, R5 = 0,2 м, r5 = 0,1 м (массу каждого шкива считать распределенной по внешнему ободу).

Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям (коэффициент трения скольжения грузов о плоскости f = 0,1).

Таблица Д3

Указания. Когда по данным табл. Д3 масса груза 1 m1 = 0 (или m2 = 0), то груз 1 (или 2) на чертеже не изображать. Шкивы 4 и 5 всегда входят в систему. Момент сил сопротивления М4 (или М5) приложить к шкиву 4 (или 5) в сторону, противоположную его вращению.