Lektsia-2

2.3. Тепловой режим и температура в недрах Земли

Оценим температуру теплового равновесного излучения Земли. Уравнение теплового баланса:

.

Здесь: Вт – светимость Солнца, м – радиус земной орбиты, A = 0,3 – альбедо Земли (доля отраженной солнечной энергии), Вт/(м²∙К⁴) – постоянная Стефана-Больцмана. Величина Вт/м² называется солнечной постоянной.

Отсюда получаем Т = 255 К = –18⁰ С. Это противоречит наблюдательным данным: средняя по поверхности температура Земли около нуля. Объяснение – парниковый эффект.

{Дома: решить эту же задачу для Венеры, альбедо которой принять равным 0,75, и убедиться, что парниковый эффект на Венере еще более значим, чем на Земле. Температура у поверхности Венеры порядка 500⁰С. }

Рассмотрим тепловой поток из недр Земли. Закон Фурье (основной закон теплопереноса в сплошных средах)

.

– тепловой поток (Вт/м²), – коэффициент теплопроводности (Вт/(м К)). У поверхности Земли можно измерить вертикальный градиент температуры. В среднем по земному шару

– геотермический градиент.

Коэффициент теплопроводности магматических пород среднего состава . Тогда средний тепловой поток , а теплопотери для всей Земли составляют величину . Геотермика – один из разделов физики Земли.

По современным оценкам в Земле (в земной коре и в мантии) содержится радиоактивных изотопов:

Именно эти три изотопа определяют естественную радиоактивность земных недр Содержание меньше 1% от , а радий – это промежуточный продукт распада и его вклад включают в радиоактивные семейства урана. Постоянные радиоактивного распада равны:

.

Скорости выделения радиогенного тепла на единицу массы известны:

.

Тогда скорость выделения радиогенного тепла для современной Земли равна:

.

Это составляет около трети измеряемого теплового потока, остальные две трети приходится, вероятнее всего, на мощный не радиогенный источник энергии в глубинных недрах Земли. Таким источником может быть, по мнению некоторых геофизиков (О.Г. Сорохтин и др.), действующий и сейчас процесс гравитационной дифференциации Земли, приводящий к выделению в ее центральной области плотного окисно-железного ядра и возбуждающий в ее мантии интенсивные конвективные течения.

Очевидно, что масса i-го изотопа (i – это K, U или Th) с течением времени изменяется также по закону . Пусть – время существования Земли. Тогда . Количество выделившегося радиогенного тепла за всю историю Земли равно:

=

В последней сумме пересчитаны обратно в с^–1.

Значительная часть этой энергии выделилась в первые 2 млрд. лет (в катархее и архее), и свой вклад в разогрев первоначально холодной протоземли она внесла. Грубую оценку этого вклада можно получить, записав уравнение теплового баланса:

,

Где – масса Земли, с = 0,7∙10³ Дж/(кг К) – удельная теплоемкость магматических пород. Отсюда получаем, что .

Расчет (моделирование) тепловой истории Земли – это решение уравнения теплопроводности (уравнения параболического типа) с заданными начальными и граничными условиями. В предположении сферической симметрии Земли это уравнение имеет вид:

.

Здесь в дополнение к уже сделанным обозначениям: – плотность, – скорость выделения тепла в единице объема. В общем случае и . Моделей тепловой истории Земли насчитано немало в силу большой неопределенности входных данных (начальная температура и ее градиент, миграция радионуклидов, формирование земного ядра и т.д. и т.п.

Ограничимся так называемыми оценками по порядку величины. Пусть – характерный линейный размер системы, в которой происходит теплоперенос, а – характерное время теплопереноса. Тогда, пренебрегая действием тепловых источников, из уравнения теплопроводности получаем оценку по порядку величины:

.

Примем для мантии .

Это дает характерное время остывания мантии

,

что существенно превышает предполагаемый возраст Метагалактики.

Можно задачу обратить, т.е оценить толщину слоя мантии, который «остыл» за время .

.

Это зоны А и В верхней мантии.

То, что тепло в недрах Земли распространяется с «черепашьей» скоростью, можно видеть из решения следующей задачи, которую назовем «Температурные волны в почве».

Пусть температура на поверхности почвы изменяется по гармоническому закону

.

А – амплитуда, например А = 20⁰ С. По какому закону изменяется температура в глубине?

Это типичная задача без начальных условий и формулируется так.

Найти ограниченное решение уравнения теплопроводности

с граничным условием .

Решение этой задачи (см. «Уравнения математической физики», например, Тихонова и Самарского) имеет вид:

.

Видно, что амплитуда колебаний температуры убывает пропорционально , где – эффективная глубина промерзания. Из справочника «Физические свойства горных пород» для глинистых почв имеем: . Тогда .

На глубине z колебания температуры отстают по фазе от колебаний на поверхности на время . Для .

Какие же температуры имеют место в глубоких недрах Земли?

Если экстраполировать значение измеренного у поверхности Земли геотермического градиента на всю толщу мантии (2900 км), то получим нереально высокое значение температуры на подошве мантии (порядка 58000 градусов). Даже если значение геотермического градиента экстраполировать в зону С (примерно на 300-400 км), то получается, что эта зона должна находится в расплавленном состоянии. Данные сейсмологии этому противоречат. Близко к расплавлению (но не в расплавленном состоянии) находится вещество астеносферы до глубин порядка 300 км. Да и то надо заметить, что астеносфера не представляет собой сплошной сферический слой, как многие думают, а имеет прерывистое, неоднородное по латерали строение. Очевидно, что максимальная температура на глубинах порядка 300-400 км около1600⁰ С. Это температура очагов расплавленной магмы, которая через жерла вулканов изливается на земную поверхность.

Глубже 400 км, как мы убедились выше, мантию можно считать теплоизолированной, т.е. ее термодинамика – это термодинамика адиабатических процессов. Проще говоря, температура мантии ниже 400 км, как считают большинство геофизиков, растет только за счет давления вышележащих слоев. Можно показать, что адиабатический градиент температуры равен

,

где – объемный коэффициент теплового расширения, g – ускорение силы тяжести, с – удельная теплоемкость. Принимая для магматических пород средней и нижней мантии , Т = 1600+273 = 1873 К и g = 9,8 м/с², получаем

.

Обычно эту величину округляют до 0,2.

Тогда на подошве мантии температура должна быть примерно 1900 + 0,2∙2500 = 2400⁰С. Теоретические расчеты и экспериментальные результаты исследований расплава железа при высоких давлениях показывают, что при давлении 3 Мбар минимальная температура расплава должна быть порядка 5000⁰С. (5000–6000)⁰С – это оценка температуры жидкого земного ядра.

2.4. Реологические модели Земли

Реология – это наука о поведении неидеально упругих тел под действием приложенных к ним нагрузок (напряжений).

В идеально упругом теле затухания упругих колебаний происходить не должно. Однако анализ распространения сейсмических волн в теле Земли показывает, что амплитуды этих волн заметно уменьшаются по мере удаления от источника. Таким образом, Земля – это неидеально упругое тело даже по отношению к колебаниям частоты герцового диапазона (периоды сейсмических волн порядка 0,01–1 с).

По отношению же к нагрузкам, которые действуют на Землю в геологических масштабах времени, наша планета ведет себя вообще как жидкое тело. Несложные расчеты показывают, что полюсное сжатие Земли, обусловленное ее быстрым осевым вращением, почти такое, как если бы Земля была жидким шаром. Другие примеры медленных течений в мантии: со скоростями несколько см/год расширяется знаменитый разлом Сан-Андреас в Калифорнии, расширяется дно океанов в рифтовых зонах срединно-океанических хребтов, относительно друг друга перемещаются материки, на несколько см в год поднимается Фенноскандия (послеледниковое поднятие) и т.д.

Рассмотрим простейшие положения реологии. Законы реологии эмпирические, как и ньютоновские законы механики. Каждый закон определяет реологическую модель тела.

Идеально упругое тело подчиняется закону Гука, согласно которому деформации (относительные изменения линейных и/или объемных размеров тела) пропорциональны приложенным напряжениям. Общая математическая формулировка закона Гука для однородного изотропного тела в тензорных обозначениях имеет вид:

,

где – компоненты тензора напряжений (Н/м²), – компоненты тензора деформаций (безразмерны), – символ Кронекера, , – упругие константы Ламэ (Н/м²). По повторяющемуся индексу m подразумевается суммирование. называют модулем сдвига (или жесткостью), а вместо в геофизике чаще используют модуль всестороннего сжатия . Модуль сдвига (жесткость) характеризует способность тела (среды) испытывать сдвиговые деформации, а модуль всестороннего сжатия характеризует способность тела (среды) изменять свой объем под действием внешних сил.

Далее для простоты будем рассматривать чисто сдвиговые деформации вдоль одной из осей координат (см. рис.).

Для сдвиговых деформаций закон Гука можно записать в скалярной форме:

.

Для земной коры , для мантии . Жесткость нижней мантии выше жесткости лучших сортов стали.

Другой предельной реологической моделью является модель вязкой ньютоновской жидкости:

,

где P – касательное напряжение, – производная от скорости по нормали к слоям, – коэффициент динамической вязкости (кг/(м с) = 10 г/(см с) = 10 Пуаз).

Модели идеально упругого тела и вязкой жидкости – это два предельных случая. Для упругого тела модуль сдвига отличен от нуля, для жидкости он равен нулю. Однако опыты показывают, что если через жидкость пропускать гиперзвуковые волны, то она начинает проявлять свойства твердого тела, в ней возникают и распространяются поперечные волны. При резком ударе о воду отклик будет как от твердой стенки. Получается, что поведение (реакция) среды зависит от продолжительности действия нагрузки.

Промежуточной реологической моделью, в которой среда обладает отличными от нуля и жесткостью (модулем сдвига), и вязкостью, является модель Максвелла (модель упруго-вязкого тела) с реологическим законом вида

.

Здесь – постоянная, имеющая размерность времени. Ее физический смысл вытекает из следующих соображений. Предположим, что деформация с течением времени не изменяется, а нагрузка приложена. Тогда

Таким образом, – это характерное время исчезновения приложенных напряжений (время релаксации). Легко видеть, что при приходим к закону Гука (приложенные напряжения никогда не исчезают).

Реологическая модель Максвелла (модель наиболее часто используется при описании геотектонических процессов, хотя используются и другие реологические модели (Кельвина-Фойхта, Бингама и др.). Например, реологический закон для модели Кельвина-Фойхта (модель жестко-вязкого тела) имеет вид:

.

Здесь к закону Гука приходим при .

Механическими аналогами моделей Максвелла и Кельвина-Фойхта являются соответственно пружина и демпфер соединенные последовательно и параллельно.

Обе модели идеальные и поведение реальной Земли описывают приближенно. Важно то, что в этих моделях тело Земли и отдельные геооболочки рассматриваются как способные течь под действием приложенных в течение длительного времени нагрузок.

Вязкость обычных жидкостей порядка 10^–2–10² Пуаз (вода – 10^–2 Пуаз, глицерин – 40–50 Пуаз). Вязкость внутренних геооболочек имеет астрономические значения. По скорости послеледникового поднятия Фенноскандии оценили, что вязкость астеносферы порядка 10²⁰ –10²² Пуаз, а вязкость нижней мантии по данным о сжатии Земли и того выше: порядка 10²⁵–10²⁶ Пуаз. Однако и при такой большой вязкости астеносфера для геодинамических процессов (типа вертикальные движения земной коры) с характерными временами порядка 10⁴–10⁵ лет ведет себя как текучее тело, а нижняя мантия ведет себя аналогично для процессов с характерными временами порядка 10⁸ лет. Действительно, расширение дна океанов, относительные перемещения литосферных плит и другие проявления горизонтальных движений земной коры происходят со скоростями в несколько см в год и обусловлены, вероятнее всего, крупномасштабной конвекцией мантийного вещества. Если конвективная ячейка имеет характерные размеры порядка 2,9∙10⁶ м, а скорость течения порядка 3 см/год, то характерное время порядка 10⁸ лет как раз и получается.

Итак, для описания геодинамических процессов с малыми характерными временами (секунды, сутки) можно использовать модель Гука, с характерными временами в миллиарды лет – модель вязкой жидкости, а для описания процессов с характерными временами миллионы и сотни миллионов лет Землю следует рассматривать как тело Максвелла или тело Кельвина-Фойхта, или придумывать какие-нибудь другие более реальные модели.

23