ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Справочный материал.
Случайные события:
- вероятность события P(A) = , n – число всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания, а m – число исходов благоприятствующих появлению события А;
Pn = n! - число перестановок n различных элементов
( n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙∙ n, при этом 0! = 1 );
число размещений m различных элементов в n местах
(m ≤ n);
число сочетаний по m элементов из n различных
элементов ( m ≤ n, );
А + В – это событие, состоящее в появлении А или В или А и В вместе;
А ∙ В – это событие, состоящее в появлении А и В вместе;
– это событие противоположное А;
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) для несовместных событий А и В;
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) − Р(А∙В) для совместных событий А и В;
Р(А∙В) = Р(А) ∙ Р(В) для независимых событий А и В;
Р(А∙В) = Р(А)∙Р для зависимых событий А и В, где Р – условная вероятность появления события В при условии, что событие А
уже появилось;
формула Бернулли для вычисления вероятности появления события А ровно раз в серии из n испытаний, при этом
Р(A) = p в каждом испытании, Р() = q, p + q = 1;
Р(А) = - формула полной вероятности, при этом гипотезы Hi образуют полную группу событий, то есть они попарно
независимы и , а событие А происходит только с одной из гипотез Hi;
- формула Байеса для вычисления вероятности гипотезы Нк при условии, что событие А произошло.
Случайные величины.
Дискретная случайная величина (ДСВ):
X принимает изолированные числовые значения x1, x2 , .... ;
- ряд распределения ДСВ – это таблица вида:
xi |
x1 |
x2 |
.... |
Pi |
P1 |
P2 |
... |
при этом
- многоугольник распределения – это ломаная, соединяющая точки ();
- интегральная функция F(x) = P(X < x) = F(a) + P(a ≤ X < x) представляет собой ступенчатую кривую;
- математическое ожидание ДСВ определяется формулой ;
- свойства: M(С) = C, M(hX + C) = h ∙M(X) + C;
- дисперсия D(X) = M(X − M(X))² = M(X²) − M²(X);
- расчетные формулы: D(X) ;
- свойства: D(X) ≥ 0, D(0) = 0, D(h∙X + c) = h² ∙D(X);
- среднее квадратическое отклонение ; Основные виды распределений ДСВ.
-
Геометрическое: X = k = 1, 2, 3...
,
-
Распределение Бернулли (биноминальное): X = k = 0, 1, 2, ..... , n
M(X) = n ∙ p, D(X) = n ∙ p ∙ q, ;
-
Распределение Пуассона: X = k = 0, 1, 2, ... , n
M(X) = a, D(X) = a,
Непрерывная случайная величина (НСВ):
X принимает числовые значения ;
- плотность (дифференциальная функция) распределения вероятностей:
- интегральная функция распределения:
F(x) = P(X < x) = , при этом ;
- вероятность попадания НСВ в интервал
P(α < X < β) = F(β) – F(α) =
- математическое ожидание M(X) =
- дисперсия D(X)
- среднее квадратическое отклонение .
Основные виды распределений НСВ:
-
Равномерное распределение в интервале (a, b)
при
при
при
при
при a x b,
при ,
M(X) = D(X) =, ;
-
Показательное распределение
при
при
при
при
M(X) =, D(X) = ,
-
Нормальное распределение
F(x) = 0.5 + Ф(), где Ф(z) = – функция Лапласа (ее значения имеются в приложениях учебников по теории вероятностей);
M(X) = a, D(X) = , ,
P(α < X < β) = Ф – Ф.
Примеры.
1. Из разрезной азбуки сложено слово МАМА, затем рассыпано и сложено случайным образом. Найти вероятность того, что снова получится слово МАМА.
P =, n = P4 = 4! = 24, m = 2! ∙ 2! = 4 => P = = = 0.17.
2. Четыре человека, среди которых двое знакомых, случайным образом рассаживаются в ряд, состоящий из шести стульев. Какова вероятность того, что знакомые окажутся рядом сидящими?
n =, m = (4∙2 + 2) ∙ =P = = . 3. Из группы, состоящей из 4 студенток и 7 студентов, случайным образом отбираются 5 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется ровно 2 студентки?
, .
4. Из урны, в которой находятся 5 красных, 2 синих и 4 желтых шара наудачу без возвращения в урну извлекаются:
-
7 шаров. Найти вероятность того, что среди этих шаров окажется ровно 3 красных;
-
2 шара. Найти вероятность того, что:
а) это будут желтые шары;
б) эти шары будут одного цвета;
в) эти шары будут разного цвета;
г) среди этих шаров будут хотя бы один красный;
-
3 шара. Найти вероятность того, что:
а) эти шары будут одного цвета;
б) эти шары будут разных цветов;
в) взятый из них наудачу один шар окажется желтым;
-
2 шара и они оказались одного цвета. Найти вероятность того, что это красные шары.