задачи

Консультация перед письменным экзаменом по математическому анализу весенний семестр

Сергей А. Беляев

Основные алгоритмы решения

1Дифференциал функции двух переменных

1)Найти частные производные данной функции в указанной точке.

2)Написать определение первого и второго дифференциала

df(x0; y0) = fx0 dx + fy0 dy

d2f(x0; y0) = fxx00 dx2 + 2fxy00 dx dy + fyy00 dy2

Если функция задана неявно, то дифференцировать сразу всё уравнение по каждой из переменных, а потом подставлять нужную точку.

Если после этого хотят разложение по формуле Тейлора до o( 2), то

f(x; y) = f(x0; y0) + df(x0; y0) + 12d2f(x0; y0) + o( 2):

2Геометрическое приложение определённого интеграла

Помнить формулы.

3Криволинейные интегралы

Параметризовать кривую и свести вычисление к интегралу Римана.

4Исследовать на сходимость числовой ряд

Ряд как правило знакопостоянный. Исследование проводить с помощью признаков

Д’Аламбера: если общий член ряда представлен в виде произведения

Коши: если у общего члена ряда есть n в показателе степени.

сравнения: в остальных случаях. Сравнение производится с обобщённым гармоническим рядом.

1

5Ряд Тейлора

Помнить разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций. Радиус сходимости находится: по формулам Коши–Адамара, Д’Аламбера (помнить о приёме нахождения радиуса сходимости для лакунарного ряда.) или пользуясь радиусами сходимости стандартных рядов, найденными на лекциях.

6Сходимость и равномерная сходимость функциональной последовательности

(почти всегда на множествах E1 = (0; 1) и E2 = (1; +1)) Требуется доказать:

1) Сходимость. Доказывается поиском предельной функции (n ! 1 при фиксированном x). Стоит отметить, что сходимость имеет место на обоих множествах (написать x 2 E1 [ E2).

2) Равномерная сходимость. Доказывается применением критерия

равномерной сходимости: lim sup fn(x) - f(x) = 0. sup ищется либо

n!1

оценкой сверху либо поиском максимума с помощью дифференцирования. Однако в большинстве случаев удобно бывает не находить сам sup, а оценить его сверху, доказать сходимость к нулю верхней оценки

и сослаться на теорему о двух милиционерах.

3)Неравномерная сходимость. Доказывается с помощью отрицания критерия равномерной сходимости выбором специальной последовательности.

7Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда

(почти всегда на множествах E1 = (0; 1) и E2 = (1; +1)) Требуется доказать:

1)Сходимость. Доказывается либо оценкой сверху, либо методом выделения главной части сразу на обоих множествах. Оценку сверху полезно факторизовать.

2)Равномерная сходимость. Доказывается применением признака Вейерштрасса. Равномерная сходимость будет иметь на том множестве, на котором удобно ограничить множитель верхней оценки.

3)Неравномерная сходимость. Доказывается выбором специальной последовательности либо с помощью отрицания необходимого условия равномерной сходимости (в случае, если по выбранной последовательности n–ый член ряда не стремится к нулю), либо отрицанием критерия Коши.

2

8Интеграл от знакопостоянной функции

Сходимость совпадает с абсолютной сходимостью. Это стоит отметить. У интеграла как правило две особые точки, Каждая из которых даёт своё ограничение на параметр. Ответ, как правило, интервал. При x ! 0 разлагать функцию в ряд Маклорена, при x ! 1 разлагать по степеням x1 . Если особенности другие сделать линейную замену переменных в интеграле. Если для исследования требуется нелинейная замена переменых, то не забыть про изменение дифференциала.

9Интеграл от знакопеременной функции

1)C помощью следствия из признака Абеля избавиться от вычитаемого в знаменателе вынося h(x) за скобку. Дальнейшее исследование проводить для интеграла

3)Исследовать сходимость полученного интеграла с помощью признака Дирихле. Функция F(x) будет иметь ограниченную первообразную: [- cos f(x)], а монотонность функции G(x) нужно либо доказать дифференцированием, либо непременно отметить, если она очевидна.

4)Исследовать абсолютную сходимость двойной оценкой:

Интеграл от второго слагаемого будет сходиться по признаку Дирихле. Это надо только отметить. Расходимость возникнет из–за расходимости интеграла от первого слагаемого.

5) Исследовать расходимость с помощью критерия Коши.

3

Метод выделения главной части

Если интеграл имеет вид R1+1 sin f(x) dx, то нужно написать:

sin f(x) = f(x) + 16 f3(x)(1 + a(x))

и доказать абсолютную сходимость интеграла от второго слагаемого следующей оценкой:

и обоснованием сходимости интеграла от jf3(x)j После чего по приведённой схеме исследовать интеграл от главной части f(x).

10 Дифференцируемость функции двух переменных

1) Найти частные производные в указанной точке fx0 = A, fy0 = B и составить формальное выражение для приращения функции f =

A x + B y + o( ), ! 0.

2) Перейти к полярным координатам в выражении f - A x - B y.

3)Если предел этого выражения при ! 0 будет зависеть от ', то отметить, что предел зависит от направления и поэтому равенство

4)В противном случае нужно ограничить данное выражение сверху такой функцией только одного , которая стремится к нулю вместе с

.

5)После этого сослаться на достаточное условие существования двойного предела.

11 Равномерная непрерывность функций

1 способ: Продифференцировать функции и воспользоваться теоремой из задания.

2 способ: По определению (как правило по его отрицанию).

Примеры

Задача 1. 99 - 00; 1; 1 Пусть z(x; y) - дифференцируемая функция, заданная

уравнением z3+xz+y2 = 0 и принимающая в точке x = -2, y = 1 значение z = 1. Найти dz(-2; 1), d2z(-2; 1).

Решение.

4

Найдём частные производные функции z(x; y) в указанной точке.

dz(-2; 1) = zx0 (-2; 1) dx + zy0 (-2; 1) dy = -dx - 12 dy

Для поиска вторых частных производных дифференцируем уравнение, задающее частные производные функции z(x; y) (а не выражения для них!).

d2z(-2; 1) = zxx00 (-2; 1) d2x+2zxy00 (-2; 1) dx dy+zyy00 (-2; 1) d2y = -8 d2x-5 dx dy- 78 d2y

Задача 2. 98 - 99; 4; 2 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Oy кривой x = py2 - 1, 2 6 y 6 p5.

Решение.