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1.Š« áá¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì ⥮ਨ ¢¥à®ïâ-®á⥩. ‚¥à®ïâ-®áâì ¨ ç á- â®â . •¥ª®â®àë¥ ª®¬¡¨- â®à-ë¥ ä®à¬ã«ë. “à-®¢ë¥ á奬ë.
2.Š®¬¡¨- 樨 ᮡë⨩. ’¥®à¥¬ á«®¦¥-¨ï ¢¥à®ïâ-®á⥩.
3.“á«®¢- ï ¢¥à®ïâ-®áâì. •¥§ ¢¨á¨¬®áâì ᮡë⨩. ”®à¬ã« ¯®«- -®© ¢¥à®ïâ-®áâ¨. ”®à¬ã« • ©¥á .
4.•¥§ ¢¨á¨¬®áâì ¨á¯ëâ -¨©. ‘奬 •¥à-ã««¨. •¨-®¬¨ «ì-®¥, ¯ã áá®-®¢áª®¥ ¨ -®à¬ «ì-®¥ à á¯à¥¤¥«¥-¨ï. ’¥®à¥¬ë •ã áá®- ¨ Œã ¢à {‹ ¯« á .
5.€ªá¨®¬ â¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì ⥮ਨ ¢¥à®ïâ-®á⥩. ‘«ãç ©-ë¥ ¢¥- «¨ç¨-ë. ”ã-ªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥-¨ï ¨ ¨å ᢮©á⢠. —¨á«®¢ë¥ å - à ªâ¥à¨á⨪¨ á«ãç ©-ëå ¢¥«¨ç¨-. ‘¢®©á⢠¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ®¦¨¤ -¨ï, ¤¨á¯¥àᨨ ¨ ª®¢ ਠ樨. ‘¢ï§ì -¥ª®à५¨à®¢ -- -®á⨠¨ -¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨.
6.•¥à ¢¥-á⢮ —¥¡ë襢 . ‡ ª®- ¡®«ìè¨å ç¨á¥« ¢ ä®à¬¥ •¥à- -ã««¨ ¨ ¢ ä®à¬¥ —¥¡ë襢 .
7.• à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ¨ ¯à®¨§¢®¤ï騥 äã-ªæ¨¨ ¨ ¨å ᢮©á⢠.
‡ ª®- ¡®«ìè¨å ç¨á¥« ¢ ä®à¬¥ •¨-ç¨- . –¥-âà «ì- ï ¯à¥¤¥«ì- - ï ⥮६ .
8.–¥¯¨ Œ મ¢ : ®á-®¢-ë¥ ¯®-ïâ¨ï ¨ ᢮©á⢠.
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1.‡ å ஢ ‚.Š., ‘¥¢ áâìï-®¢ •.€., —¨áâ类¢ ‚.•. ’¥®à¨ï ¢¥à®ïâ-®á- ⥩. { Œ.: • 㪠, 1983. { 160 á.
2.•®§ -®¢ ž.€. ’¥®à¨ï ¢¥à®ïâ-®á⥩, á«ãç ©-ë¥ ¯à®æ¥ááë ¨ ¬ ⥬ â¨- ç¥áª ï áâ â¨á⨪ . { 2-¥ ¨§¤. { Œ.: • 㪠, 1989. { 320 á.
3.—¨áâ类¢ ‚.•. Šãàá ⥮ਨ ¢¥à®ïâ-®á⥩. { 3-¥ ¨§¤. { Œ.: • 㪠, 1987. { 240 á.
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(áப á¤ ç¨ 22{27 ®ªâï¡àï)
I.Š®¬¡¨- 樨 ᮡë⨩
1.‘।¨ áâ㤥-⮢, á®¡à ¢è¨åáï - «¥ªæ¨î ¯® ⥮ਨ ¢¥à®ïâ-®á- ⥩, ¢ë¡¨à îâ - 㤠çã ®¤-®£®. Ž¡®§- 稬 A, B ¨ C ᮮ⢥â-
á⢥--® ᮡëâ¨ï, á®áâ®ï騥 ¢ ⮬, çâ®: a) ¢ë¡à - î-®è ; b) ¢ë¡à - -¥ªãàï騩 áâ㤥-â; c) ¢ë¡à --ë© áâ㤥-â ¦¨¢¥â ¢ ®¡- 饦¨â¨¨.
) Ž¯¨á âì ᮡë⨥ A \ B \ C.
¡) •à¨ ª ª®¬ ãá«®¢¨¨ A \ B \ C = A? ¢) Š®£¤ C µ B?
£) Š®£¤ A = B? ‘¯à ¢¥¤«¨¢® «¨ íâ® à ¢¥-á⢮, ¥á«¨ ¢á¥
2. |
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¡) (A [ B) \ (A [ B) \ (A [ B); |
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¢) (A [ B) \ (B [ C).
II.Š« áá¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¢¥à®ïâ-®áâ¨. Š®¬¡¨- â®à¨ª . ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ¢¥à®ïâ-®áâì
4.—â® ¢¥à®ïâ-¥¥, ¯®«ãç¨âì å®âï ¡ë ®¤-ã ¥¤¨-¨æ㠯ਠ¡à®á -¨¨ ç¥âëà¥å ¨£à «ì-ëå ª®á⥩ ¨«¨ å®âï ¡ë ®¤-ã ¯ àã ¥¤¨-¨æ ¯à¨ 24 ¡à®á -¨ïå ¤¢ãå ª®á⥩?
5.• ¯®«ª¥ ¢ á«ãç ©-®¬ ¯®à浪¥ à ááâ ¢«¥-® 35 ª-¨£, á।¨ ª®â®- àëå - 室¨âáï âà¥å⮬-¨ª €.‘. •ã誨- . • ©â¨ ¢¥à®ïâ-®áâì ⮣®, çâ® í⨠⮬ áâ®ïâ ¢ ¯®à浪¥ ¢®§à áâ -¨ï á«¥¢ - ¯à ¢® (-® -¥®¡ï§ ⥫ì-® à冷¬).
6.‚ «¨äâ ¢®á쬨íâ ¦-®£® ¤®¬ - ¯¥à¢®¬ íâ ¦¥ ¢®è«¨ 5 祫®- ¢¥ª. •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ª ¦¤ë© ¨§ -¨å á à ¢-®© ¢¥à®ïâ-®áâìî
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15. |
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16. |
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17. |
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-®áâì ¯à ¢¨«ì-®£® ¯à¨¥¬ ª ¦¤®© ¨§ ¯¥à¥¤ --ëå ¡ãª¢ ¤® 0,6, ¢¥à®ïâ-®áâì ¯à¨¥¬ ¯¥à¥¤ --®© ¡ãª¢ë § ¤¢¥ ¤à㣨¥ 㢥«¨ç¨¢ - ¥âáï ¤® 0,2 ¨ 0,2. •à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¡ãª¢ë ¨áª ¦ îâáï -¥§ - ¢¨á¨¬® ¤à㣠®â ¤à㣠. • ©â¨ ¢¥à®ïâ-®áâì ⮣®, çâ® ¡ë« ¯¥à¥- ¤ - ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì BBBB, ¥á«¨ - ¯à¨¥¬-®¬ ãáâனá⢥
18. |
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¢¥à®ïâ-®áâì ¯à¨-ïâì §¤®à®¢®£® 祫®¢¥ª § ¡®«ì-®£® à ¢- ®. |
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祫®¢¥ª §¤®à®¢, ¥á«¨ ®- ¯à¨§- - ¡®«ì-ë¬ ¯à¨ ®¡á«¥¤®¢ -¨¨. |
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• ©â¨ ãá«®¢-ãî ¢¥à®ïâ-®áâì ⮣®, ç⮠祫®¢¥ª ¡®«¥-, ¥á«¨ ®- |
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¯à¨§- - §¤®à®¢ë¬ ¯à¨ ®¡á«¥¤®¢ -¨¨. • ©â¨ ç¨á«¥--®¥ §- ç¥- |
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19. |
-¨¥. { Œ.: ‘â â¨á⨪ , 1976, ‘. 49.) |
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•à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® 0,5% ¢á¥å ¬ã¦ç¨- ¨ 0,25% ¢á¥å ¦¥-é¨- |
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ª®¬. Š ª®¢ ¢¥à®ïâ-®áâì ⮣®, çâ® íâ® ¬ã¦ç¨- ? (‘ç¨â âì, çâ® |
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¬ã¦ç¨- ¨ ¦¥-é¨- ®¤¨- ª®¢®¥ ç¨á«®.) |
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20. ˆ§ ãà-ë, ᮤ¥à¦ 饩 M ¡¥«ëå ¨ N ç¥à-ëå è ஢, ãâ¥àï-® r |
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21. |
è ஢. Š ª®¢ ¢¥à®ïâ-®áâì ¨§¢«¥ç¥-¨ï ¡¥«®£® è à ? |
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•à®è¥-ë ¤¢¥ ¨£à «ì-ë¥ ª®áâ¨. Š ª®¢ ¢¥à®ïâ-®áâì ⮣®, çâ® |
|||||||||
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ª®á⨠¢ë¯ «® ®çª®¢ ¡®«ìè¥, 祬 - ¯¥à¢®©? |
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22. “à- ᮤ¥à¦¨â M ¡¥«ëå ¨ N ç¥à-ëå è ஢. • 㤠çã ¨§¢«¥ª - |
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¯à®â¨¢®¯®«®¦-®£® 梥â . Ž¡®§- 稬 Ai, i = 1, 2, 3, ᮡë⨥, |
||||||||
|
á®áâ®ï饥 ¢ ⮬, çâ® ¯à¨ i-¬ ¨§¢«¥ç¥-¨¨ è ஢ ¨§ í⮩ ãà-ë |
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¡ã¤¥â ®â¬¥ç¥- ¡¥«ë© è à. • ©â¨ ¢¥à®ïâ-®áâ¨: |
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) PfAig, i = 1, 2, 3; |
¡) PfA1jA2g; |
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£) Pf |
A1 |
\ A2 \ A3g. |
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23.‘â५®ª A ¯®à ¦ ¥â ¬¨è¥-ì ¯à¨ -¥ª®â®àëå ãá«®¢¨ïå áâ५ì¡ë á ¢¥à®ïâ-®áâìî 0,6, áâ५®ª B | á ¢¥à®ïâ-®áâìî 0,5 ¨ áâ५®ª C | á ¢¥à®ïâ-®áâìî 0,7. ‘â५ª¨ ¤ «¨ § «¯ ¯® ¬¨è¥-¨, ¨ ¤¢¥ ¯ã«¨ ¯®¯ «¨ ¢ 楫ì. —â® ¢¥à®ïâ-¥¥, ¯®¯ « C ¢ æ¥«ì ¨«¨ -¥â?
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‚’Ž•Ž… ‡€„€•ˆ…
(áப á¤ ç¨ 17{22 ¤¥ª ¡àï)
IV. ‘«ãç ©-ë¥ ¢¥«¨ç¨-ë ¨ ¨å å à ªâ¥à¨á⨪¨
1.•à¨ ¡à®á -¨¨ âà¥å ¨£à «ì-ëå ª®á⥩ ¨£à®ª ¢ë¨£àë¢ ¥â 100 àã¡«¥©, ¥á«¨ - ¢á¥å ª®áâïå ¯® è¥áâì ®çª®¢, ¨ ¯®«ãç ¥â 10 àã¡«¥©, ¥á«¨ è¥áâì ®çª®¢ ¡ã¤¥â ⮫쪮 - ¤¢ãå ª®áâïå. Š - ªãî á㬬㠮- ¤®«¦¥- ¢-¥á⨠§ ¡¨«¥â - ¯à ¢® ãç áâ¨ï ¢ ¨£à¥, çâ®¡ë ¨£à ¡ë« ¡¥§®¡¨¤-®©?
2.ˆ§ ãà-ë, ᮤ¥à¦ 饩 M ¡¥«ëå ¨ N ç¥à-ëå è ஢, ¯® á奬¥
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[0; 1]. • ©â¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ -¨¥ ¨ ¤¨á¯¥àá¨î ¯«®é ¤¨ |
|
|
áä¥àë. |
|
4. |
‘«ãç ©-ë¥ ¢¥«¨ç¨-ë » ¨ ´ -¥§ ¢¨á¨¬ë, ¯à¨ç¥¬ |
|
Pf» = kg = Pf´ = kg = p(1 ¡ p)k¡1;
k = 1, 2, . . . , 0 < p < 1. • ©â¨
) Pf» = ´g; |
|
¡) Pf» > ´g; |
¢) Pf» < ´g; |
|
£) Pf» = kj» > ´g; |
¤) Pf» = kj» < ´g; |
|
¥) Pf» = kj» = ´g; |
¦) Pf» = kj» + ´ = lg. |
|
|
5. ‘«ãç ©- ï ¢¥«¨ç¨- |
» ¯à¨-¨¬ ¥â ⮫쪮 æ¥«ë¥ -¥®âà¨æ ⥫ì- |
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-ë¥ §- ç¥-¨ï. „®ª § âì, çâ® |
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M » = |
kX |
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Pf» > kg: |
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=1 |
6.•ãáâì »k, k = 1, 2, | -¥§ ¢¨á¨¬ë¥ á«ãç ©-ë¥ ¢¥«¨ç¨-ë á à á- ¯à¥¤¥«¥-¨¥¬ •ã áá®- . • ©â¨ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¨å áã¬¬ë ¨ ãá«®¢- -®¥ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ »1, ¥á«¨ ¨§¢¥áâá㬬 »1 + »2.
7. •ãáâì »k, k = 1, 2, | -¥§ ¢¨á¨¬ë¥ á«ãç ©-ë¥ ¢¥«¨ç¨-ë, ¯à¨-¨-
¬ î騥 «¨èì æ¥«ë¥ -¥®âà¨æ ⥫ì-ë¥ §- ç¥-¨ï, ¯à¨ç¥¬ Pf»i = = ng = pqn; n = 0, 1, . . . ; i = 1, 2; 0 < p < 1; q = 1 ¡ p. • ©â¨
à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ áã¬¬ë »1 + »2 ¨ ãá«®¢-®¥ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ »1, ¥á«¨ ¨§¢¥áâá㬬 »1 + »2.
6
8.‘®¢¬¥áâ-®¥ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ á«ãç ©-ëå ¢¥«¨ç¨- » ¨ ´ ®¯à¥¤¥«ï-
¥âáï ãá«®¢¨ï¬¨ Pf»´ = 0g = 1; Pf» = 1g = Pf» = ¡1g = Pf´ =
1
4 . • ©â¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ®¦¨¤ -¨ï, ¤¨á- ¯¥àᨨ ¨ ª®¢ ਠæ¨î íâ¨å á«ãç ©-ëå ¢¥«¨ç¨-.
9. ‘«ãç ©-ë¥ ¢¥«¨ç¨-ë » ¨ ´ -¥§ ¢¨á¨¬ë; » ¨¬¥¥â ¯«®â-®áâì à á- ¯à¥¤¥«¥-¨ï f»(x), P f´ = 0g = P f´ = 2g = P f´ = ¡2g = 13 .
• ©â¨ § ª®- à á¯à¥¤¥«¥-¨ï á«ãç ©-®© ¢¥«¨ç¨-ë » + ´.
10.‚ ª¢ ¤à â f(x1, x2): 0 6 xi 6 1; i = 1, 2g - 㤠çã ¡à®è¥- â®çª . •ãáâì »1, »2 | ¥¥ ª®®à¤¨- âë. • ©â¨ äã-ªæ¨î à á¯à¥- ¤¥«¥-¨ï ¨ ¯«®â-®áâì ¢¥à®ïâ-®á⨠á«ãç ©-®© ¢¥«¨ç¨-ë ´ = »1 +
|
+ »2. |
(»; ´) ¨¬¥¥â à ¢-®¬¥à-®¥ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¢ ª¢ ¤à ⥠|
11. |
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|
|
f(x; y): |
0 6 x 6 a, 0 6 y 6 ag. ‚ëç¨á«¨âì à á¯à¥¤¥«¥-¨¥, ¬ - |
|
⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ -¨¥ ¨ ¤¨á¯¥àá¨î á«ãç ©-®© ¢¥«¨ç¨-ë ³ = |
|
|
= j» ¡ ´j. |
|
12. |
’®çª |
(»; ´) ¨¬¥¥â à ¢-®¬¥à-®¥ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¢ ª¢ ¤à ⥠|
|
f(x; y): |
0 6 x 6 a, 0 6 y 6 ag. ‚ëç¨á«¨âì à á¯à¥¤¥«¥-¨¥, ¬ - |
⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ -¨¥ ¨ ¤¨á¯¥àá¨î á«ãç ©-®© ¢¥«¨ç¨-ë µ =
= minf»; ´g.
13.ˆ§¢¥áâ-®, çâ® á«ãç ©- ï ¢¥«¨ç¨- » ¨¬¥¥â áâண® ¢®§à áâ î-
éãî -¥¯à¥àë¢-ãî äã-ªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥-¨ï F»(x). • ©â¨ à á- ¯à¥¤¥«¥-¨¥ á«ãç ©-®© ¢¥«¨ç¨-ë ´ = F»(»).
V.‡ ª®- ¡®«ìè¨å ç¨á¥«. •à¥¤¥«ì-ë¥ â¥®à¥¬ë.
• à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ¨ ¯à®¨§¢®¤ï騥 äã-ªæ¨¨. –¥¯¨ Œ મ¢
14.‘«ãç ©- ï ¢¥«¨ç¨- » ¯à¨-¨¬ ¥â «¨èì âਠ§- ç¥-¨ï 0 ¨ §¢, ¯à¨ç¥¬
Pf» = 0g = 1 ¡ |
¾2 |
; |
Pf» = ¡¢g = Pf» = ¢g = |
¾2 |
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2¢2 |
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‘à ¢-¨âì â®ç-®¥ §- ç¥-¨¥ ¢¥à®ïâ-®á⨠Pfj»j > ¢g á ¥¥ ®æ¥-ª®©,
¯®«ãç¥--®© ¯® -¥à ¢¥-áâ¢ã —¥¡ë襢 . |
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15. •ãáâì »n | á«ãç ©- ï ¢¥«¨ç¨- , à ¢- ï á㬬¥ ®çª®¢, ¯®ï¢¨¢- |
||||
è¨åáï ¯à¨ n ¡à®á -¨ïå ᨬ¬¥âà¨ç-®© ¨£à «ì-®© ª®áâ¨. ˆá- |
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¯®«ì§ãï -¥à ¢¥-á⢮ —¥¡ë襢 , ®æ¥-¨âì ᢥàåã |
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16.•ãáâì »n | á«ãç ©- ï ¢¥«¨ç¨- , à ¢- ï á㬬¥ ®çª®¢, ¯®- ¢è¨åáï ¯à¨ n ¡à®á -¨ïå ᨬ¬¥âà¨ç-®© ¨£à «ì-®© ª®áâ¨. ˆá¯®«ì§ãï æ¥-âà «ì-ãî ¯à¥¤¥«ì-ãî ⥮६ã, ¢ë¡à âì n â ª,
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17.•® ª - «ã á¢ï§¨ ¯¥à¥¤ ¥âáï 1000 §- ª®¢. Š ¦¤ë© §- ª ¬®¦¥â ¡ëâì ¨áª ¦¥- -¥§ ¢¨á¨¬® ®â ®áâ «ì-ëå á ¢¥à®ïâ-®áâìî 0,005.
• ©â¨ ¯à¨¡«¨¦¥--®¥ §- ç¥-¨¥ ¢¥à®ïâ-®á⨠⮣®, çâ® ¡ã¤¥â ¨á- ª ¦¥-® -¥ ¡®«¥¥ âà¥å §- ª®¢.
18.Š-¨£ ¢ 500 áâà -¨æ ᮤ¥à¦¨â 50 ®¯¥ç ⮪. ˆá¯®«ì§ãï á奬ã
•¥à-ã««¨, ®æ¥-¨âì ¢¥à®ïâ-®áâì ⮣®, çâ® - ®¯à¥¤¥«¥--®© áâà - -¨æ¥ -¥ ¬¥-¥¥ âà¥å ®¯¥ç ⮪. ‘à ¢-¨âì ¯®«ãç¥--ë© à¥§ã«ìâ â á ¯ã áá®-®¢áª¨¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥¬ í⮩ ¢¥à®ïâ-®áâ¨.
19.• ©â¨ ¢¥à®ïâ-®áâì ⮣®, çâ® á।¨ 10 000 -®¢®à®¦¤¥--ëå ¡ã- ¤¥â -¥ ¬¥-¥¥ ¯®«®¢¨-ë ¬ «ì稪®¢, ¥á«¨ ¢¥à®ïâ-®áâì ஦¤¥-¨ï ¬ «ì稪 à ¢- 0,515.
20.• ©â¨ § ª®-ë à á¯à¥¤¥«¥-¨ï, ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ á«¥¤ãî- 騥 å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ äã-ªæ¨¨:
|
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‚ëç¨á«¨âì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áªãî äã-ªæ¨î á«¥¤ãîé¨å § ª®-®¢ |
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) à ¢-®¬¥à-®£® à á¯à¥¤¥«¥-¨ï ¢ ¨-â¥à¢ «¥ (¡a; a); |
||||||||||||||||
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|
|
|
|
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23. •ãáâì ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¥ -¥§ ¢¨á¨¬ë¥ á«ãç ©-ë¥ ¢¥«¨ç¨-ë »m;n; m = 1, 2, . . . , n ®¤¨- ª®¢® à á¯à¥¤¥«¥-ë á ¯«®â-®áâìî ®ne¡®nx,
x > 0, £¤¥ ®n = ¸n ¨ ¸ > 0. • ©â¨ ¯à¥¤¥«ì-®¥ ¯à¨ n ! 1
8
à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ á«ãç ©-®© ¢¥«¨ç¨-ë |
|
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° |
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° |
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«ï¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ (0,7; 0,2; 0,1). • ©â¨ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
) à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¯® á®áâ®ï-¨ï¬ ¢ ¬®¬¥-â t = 2; |
|
|
||||||||||||||
|
¡) ¢¥à®ïâ-®áâì ⮣®, çâ® ¢ ¬®¬¥-âë t = 0, 1, 2, 3 á®áâ®ï-¨ï¬¨ |
||||||||||||||||
|
楯¨ ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢥--® 1, 3, 3, 2; |
|
|
|
|
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¢) áâ 樮- à-®¥ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥. |
|
|
|
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¢¥à®ïâ-®áâì ⮣®, çâ® ç¥à¥§ t |
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¡ã¤¥â - 室¨âìáï ¢ â®çª¥ m, ¥á«¨ ¢ |
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‡ ¤ -¨ï á®áâ ¢¨«¨: ª.ä.-¬.-., ¤®æ¥-â Ž.‚. ‚¨áª®¢, ª.ä.-¬.-, ¤®æ¥-â ‚.ž. „㡨-᪠ï
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