Задавальник по СЛУПАМ 5 семестр

Программа и задачи курса “Случайные процессы”

лектор д.ф.-м.н. Д. А. Шабанов

осень 2014

ПРОГРАММА

1.Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления, эмпирические меры, модель страхования Крамера – Лундберга.

2.Простейшее симметричное случайное блуждание на прямой: распределение первого момента возвращения в нуль для простейшего симметричного случайного блуждания на прямой, теорема о вероятности возвращения в нуль для простейшего случайного блуждания на прямой.

3.Равномерная интегрируемость семейства случайных величин. Критерий равномерной интегрируемости сходящейся по распределению последовательности случайных величин.

4.Теорема об асимптотическом поведении времени, проведенном симметричным случайным блужданием в нуле за время n.

5.Закон повторного логарифма для симметричного простейшего случайного блуждания на прямой.

6.Ветвящиеся процессы Гальтона – Ватсона. Теорема о вероятности вырождения ветвящегося процесса.

7.Пространство траекторий случайного процесса, цилиндрическая сигма-алгебра на нем. Эквивалентное определение случайного процесса, как одного измеримого отображения в пространство траекторий.

8.Конечномерные распределения случайного процесса. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях (док-во необходимости). Условия согласованности вероятностных мер на (Rn; B(Rn)) в терминах характеристических функций.

9.Процессы с независимыми приращениями: критерий существования в терминах характеристических функций приращений.

10.Пуассоновский процесс постоянной интенсивности как процесс с независимыми приращениями. Явная конструкция пуассоновского процесса: процесс восстановления для экспоненциальных случайных величин.

1

11.Напоминание: гауссовские случайные векторы (многомерное нормальное распределение). Три эквивалентных определения гауссовского вектора, основные свойства, критерий независимости компонент гауссовского вектора.

12.Ковариационная и корреляционная функции случайного процесса, их неотрицательная определенность.

13.Гауссовские случайные процессы. Доказательство существования гауссовского процесса с заданными функцией среднего и ковариационной функцией.

14.Винеровский процесс (процесс броуновского движения). Теорема о двух эквивалентных определениях винеровского процесса.

15.Модификация случайного процесса. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации (б/д), следствие для гауссовских процессов. Непрерывность с вероятностью 1 траекторий винеровского процесса.

16.Дополнительные свойства траекторий винеровского процесса: недифференцируемость с вероятностью 1 (б/д), неограниченность вариации на любом конечном отрезке, закон повторного логарифма (б/д) и его локальное следствие.

17.Понятие фильтрации на вероятностном пространстве, естественная фильтрация случайного процесса. Марковские моменты и моменты остановки.

18.Строго марковское свойство и принцип отражения (б/д) для винеровского процесса. Теорема Башелье.

19.Мартингалы, субмартингалы и супермартингалы. Критерий мартингальности для процессов с независимыми приращениями и для марковских процессов. Разложение Дуба для согласованных процессов с дискретным временем.

20.Мартингалы. Теорема Дуба об остановке и следствие из нее.

21.Общее понятие марковского процесса. Эквивалентные определения марковского процесса. Марковость процессов с независимыми приращениями. Критерий марковости для гауссовских процессов. Переходная функция марковского процесса, переходная плотность.

22.Марковские цепи с дискретным временем. Теорема о независимости “будущего” и “прошлого” при фиксированном “настоящем”. Примеры марковских цепей: простейшее случайное блуждание на прямой и ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона.

23.Фазовое пространство, матрицы переходных вероятностей и начальное распределение для марковской цепи с дискретным временем. Понятие однородной марковской цепи. Уравнения Колмогорова – Чепмена и следствия из них. Стационарное и предельное распределения однородной марковской цепи. Свойства цепи с начальным стационарным распределением.

24.Эргодическая теорема для марковских цепей с дискретным временем. Стационарность и предельность эргодического распределения марковской цепи.

2

25.Марковские цепи с непрерывным временем. Построение марковской цепи по начальному распределению и переходным вероятностям. Пуассоновский процесс как однородная цепь Маркова.

26.Однородные марковские цепи с непрерывным временем. Стохастическая полугруппа матриц переходных вероятностей. Стационарное и предельное распределения марковской цепи. Эргодическая теорема (б/д). Три следствия из эргодической теоремы: свойства эргодического распределения.

27.Инфинитезимальная матрица. Существование инфинитезимальной матрицы для стандартной марковской цепи (б/д). Прямые и обратные дифференциальные уравнения Колмогорова. Стационарное и предельное распределения для цепей Маркова с непрерывным временем.

28.Пространство L2 ( ; F; P) случайных величин, его основные свойства. Лемма о непрерывности скалярного произведения.

29.Стохастическая непрерывность и непрерывность в среднем квадратичном случайного процесса. Критерий непрерывности в среднем квадратичном L2-процесса в терминах корреляционной функции. Критерий стохастической непрерывности в терминах сходимостей двумерных конечномерных распределений.

30.Дифференцирование случайных процессов по вероятности и в среднем квадратичном. Критерий дифференцируемости в среднем квадратичном случайного процесса на отрезке (б/д). Вычисление математического ожидания, корреляционной и ковариационной функций L2-производной от случайного процесса.

31.Интегрирование случайных процессов в среднем квадратичном. Доказательство того, что из непрерывности в среднем квадратичном следует интегрируемость. Вычисление математического ожидания, корреляционной и ковариационной функций L2-интеграла от случайного процесса.

32.Стационарные случайные процессы: стационарность в узком и широком смыслах. Доказательство эквивалентности этих понятий для гауссовских процессов. Стационарность в узком смысле марковской цепи с начальным стационарным распределением.

33.Ортогональные случайные меры на измеримых пространствах. Взаимная однозначность ортогональных случайных мер на полукольце полуинтервалов и L2-процессами с ортогональными приращениями.

34.Стохастический интеграл по ортогональной случайной мере. Продолжение с полукольца ортогональной случайной меры и ее структурной меры. Определение и свойства стохастического интеграла от простых функций. Построение стохастического интеграла для произвольной функции из L2( ; A; ). Теорема об его основных свойствах (б/д).

3

35.Теорема Карунена (б/д). Спектральное представление. Теорема Герглотца (б/д). Теорема о спектральном представлении стационарной в широком смысле последовательности. Спектральная плотность стационарной в широком смысле последовательности, ее вычисление с помощью ряда Фурье.

36.Теорема Бохнера – Хинчина (б/д). Спектральная плотность стационарного в широком смысле процесса, ее вычисление с помощью формулы обращения. Спектральное представление стационарного в широком смысле случайного процесса на прямой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Ширяев А. Н. Вероятность. В 2-х кн. 3-е изд. М.: МЦНМО, 2004.

2.Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005.

3.Боровков А. А. Теория вероятностей. 4-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2003.

4.Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. 2-е изд. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

5.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. М.: Мир, 1984.

6.Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. 2-е изд. М.: Наука.Физматлит, 1996.

4

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Случайное блуждание на прямой

1.Пусть (Sn; n 2 N) симметричное случайное блуждание на прямой. Используя принцип отражения докажите, что

2.Пусть (Sn; n 2 N) симметричное случайное блуждание на прямой. Используя результат задачи 1, найдите распределение случайной величины

Mn = max Sk:

k6n

3.Пусть (Sn; n 2 N) случайное блуждание с вероятностью шага вправо p и шага влево q, p + q = 1. Докажите, что для m 6 N выполнено

где v = (n + m)=2, u = v N.

4.Пусть (Sn; n 2 N) симметричное случайное блуждание на прямой. Используя результат задачи 3, докажите равенство

5. Пусть (Sn; n 2 N) симметричное случайное блуждание в Zd. Докажите, что

1

X

P (процесс Sn вернется в 0) = 1 , P (S2n = 0) = +1:

n=1

6.Пусть (Sn; n 2 N) симметричное случайное блуждание в Zd. Докажите, что оно возвращается в нуль с вероятностью единица (“возвратно”) тогда и только когда d 6 2.

2.Ветвящиеся процессы

1.Найдите производящую функцию числа частиц в n-м поколении, если производящая функция числа потомков одной частицы равна

а) pz + 1 p, б) (1 p)=(1 pz), в) 1 p(1 z) , 2 (0; 1).

5

2.Найдите вероятности вырождения для ветвящихся процессов с производящей функцией числа потомков одной частицы

а) (1 p)=(1 pz), б) 1 p(1 z) , 2 (0; 1), в) (1 + z + z2 + z3)=4.

3.Найдите распределение момента вырождения N для ветвящихся процессов с производящей функцией числа потомков одной частицы

а) pz + 1 p, б) 1 p(1 z) , 2 (0; 1).

4.Пусть число потомков частицы в ветвящемся процессе Гальтона-Ватсона (Xn; n 2 Z+). Обозначим E = , D = 2. Найдите EXn и DXn.

5.Пусть (Xn; n 2 Z+) ветвящийся процесс с законом размножения частиц . Обозначим через Yn = Xn + : : : + X0 общее число частиц в процессе за время n, а через 'Yn(s) его производящую функцию. Докажите, что

'Yn(s) = s' ('Yn 1 (s)):

6.Случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром p 2 (0; 1), а (Xn; n 2 Z+) ветвящийся процесс с законом размножения частиц . Вычислите производящую функцию общего числа частиц в процессе, а также найдите вероятность того, что всего в процессе было ровно k частиц.

3. Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский процесс

1.Пусть (Xt; t 2 R+) процесс с независимыми приращениями. Докажите, что для любых t > s случайная величина Xt Xs не зависит от (Xu; u 6 s).

Nt

P

2. Задан процесс fYt = j; t > 0g; где ( n; n 2 N) независимые одинаково рас-

j=1

пределенные случайные величины, не зависящие также от пуассоновского процесса N = fNt; t > 0g интенсивности . Докажите, что процесс Yt имеет независимые приращения.

3.Пусть ( n; n 2 N) независимые экспоненциальные случайные величины с параметром , Sn = 1 + : : : + n, а N = fNt; t > 0g процесс восстановления, построенный по ним (пуассоновский процесс интенсивности ). Для каждого t > 0 обозначим Vt = SNt+1 t (“перескок”) и Ut = t SNt (“недоскок”).

а) Вычислите вероятность P(Vt > v; Ut > u) =?

б) Докажите, что Vt и Ut независимы, и что Vt Exp( ). в) Вычислите функцию распределения Ut и EUt.

6

4.Пусть N = fNt; t > 0g пуассоновский процесс интенсивности . Найдите математическое ожидание числа таких его скачков на отрезке [0; T ]; что а) в их правой a-окрестности нет других скачков (эта окрестность может выходить и за пределы отрезка), б) в их левой a-окрестности нет других скачков, в) в их a-окрестности нет других скачков (эта окрестность может выходить и за пределы отрезка).

5.Пусть (Nt; t > 0) пуассоновский процесс интенсивности . Найдите предел п.н.

Nt=t при t ! +1.

4.Гауссовские процессы. Винеровский процесс

1.Пусть (Wt; t > 0) винеровский процесс. Докажите, что следующие процессы тоже винеровские

p

а) Xt = t W1=tIft > 0g, б) Xt = c Wt=c, c > 0, в) Xt = Wt+a Wa, a > 0, г) Xt = Wt Ift < T g + (2WT Wt)Ift > T g.

2. Пусть (Yt; t 2 [0; 1]) гауссовский процесс с нулевой функцией среднего и ковариационной функцией r(s; t) = min(s; t) st. Докажите, что такой процесс существует

и что процесс Xt = (t + 1)Yt=(t+1), t > 0 является винеровским.

3.Пусть Wt1; : : : ; Wtd независимые винеровские процессы. Докажите, что с вероятностью 1 процесс Wt = (Wt1; : : : ; Wtd) (многомерный винеровский процесс) выйдет из шара произвольного фиксированного радиуса r с центром в нуле пространства Rd.

4.Докажите, что существует гауссовский процесс X = (Xt; t 2 Rd+) с нулевой функцией среднего и ковариационной функцией

d

Y

R(s; t) = min(sk; tk);

k=1

где s = (s1; : : : ; sd) 2 Rd+, t = (t1; : : : ; td) 2 Rd+.

5.Пусть (Wt; t > 0) винеровский процесс. Докажите, что с вероятностью 1 его траектория имеет неограниченную вариацию на произвольном отрезке [a; b] R+, т.е.

что

n

X

sup jWti+1 Wtij = +1 п.н.;

Ti=1

где T = fa = t0 < : : : < tn = bg разбиение отрезка [a; b].

5. Марковские моменты. Принцип отражения для винеровского процесса

7

1.Пусть задана фильтрация F = (Fn; n 2 N), а 1; 2; : : : марковские моменты относительно F. Докажите, что случайные величины

mm

XY

тоже являются марковскими моментами относительно F.

2.Пусть – марковский момент относительно фильтрации (Ft; t > 0). Докажите, что тогда марковским моментом будет и величина

1

где An;1 = f0 6 6 2 ng, An;k = f(k 1)2 n < 6 k2 ng при k > 2.

3.Пусть марковский момент относительно фильтрации F = (Ft; t 2 T ), где T = N или R+. Положим

F = fA 2 F : 8t 2 T A \ f 6 tg 2 Ftg

Докажите, что F является сигма-алгеброй и что является F -измеримой случайной величиной.

4.Пусть марковский момент относительно фильтрации F = (Fn; n 2 N), а случайный процесс (Xn; n 2 N) согласован с F. Докажите, что X является F -измеримыми (считаем, что X = +1, если = +1).

5.Пусть (Wt; t > 0) винеровский процесс. Положим y = minft : Wt = yg для y > 0. С помощью теоремы Башелье найдите плотность случайной величины y, а также

E y.

6.Пусть (Wt; t 0) винеровский процесс. Положим = minft : Wt = yg для некоторого y > 0. Найдите плотность случайной величины Ya = supt2[ ; +a] Wt.

7.Используя задачу 3 найдите

P (Wt не имеет нулей на отрезке [s; u]) ;

где Wt винеровский процесс, а u > s > 0.

6.Мартингалы

1.Пусть (Wt; t > 0) винеровский процесс. Докажите, что процесс Yt = Wt2 t является мартингалом относительно естественной фильтрации процесса Wt.

8

2.Пусть 1; : : : ; n; : : : такая последовательность случайных величин, что для любого n существует плотность fn(x1; : : : ; xn) случайного вектора ( 1; : : : ; n). Пусть1; : : : ; n; : : : другая последовательность случайных величин, причем также для любого n существует плотность gn(x1; : : : ; xn) случайного вектора ( 1; : : : ; n). Докажите, что процесс

Xn = gn( 1; : : : ; n) fn( 1; : : : ; n)

является мартингалом относительно фильтрации (Fn = ( 1; : : : ; n); n 2 N).

3.Пусть (Wt; t > 0) винеровский процесс, а момент остановки относительно его естественной фильтрации. Докажите, что процесс

Xt = Wt^ ; t > 0

является мартингалом относительно естественной фильтрации процесса Wt.

Указание: надо аппроксимировать марковскими моментами с конечным числом значений.

4.Пусть (Wt; t > 0) винеровский процесс, а = minft : jWtj = 1g. Вычислите E .

5.Пусть (Sn; n 2 N) простейшее случайное блуждание с вероятностью шага вправо p. Пусть a < x < b целые числа, а Xn = x + Sn, n > 1. Обозначим = minfn : Sn 2 fa; bgg момент выхода процесса Xn из полосы. Докажите, что E < +1

Указание: надо использовать решение задачи 4.

7.Марковские процессы

1.Пусть (Xt; t 2 T ) действительный марковский процесс, T R+. Пусть для любого t 2 T задана борелевская функция ht. Рассматривается случайный процесс Yt =

(ht(Xt); t 2 T ). Докажите, что если ht биекция для любого t 2 T (считаем, что в этом случае ht 1 тоже борелевская), то Yt тоже марковский процесс. Приведите пример марковского процесса Xt и функций ht, при которых процесс Yt не является марковским.

2.Пусть (Wt; t > 0) винеровский процесс, а x = minft : Wt = xg для x > 0. Докажите, что процесс = ( x; x > 0) является марковским.

3.Пусть (Wt; t > 0) винеровский процесс. Вычислите его переходную плотность.

4.Пусть (Xn; n > 0) независимые случайные величины с равномерным распределением на множестве f 1; 0; 1g. Рассмотрим процесс

Yn = X0X1 + X1X2 + : : : + Xn 1Xn:

Докажите, что Xn является мартингалом относительно фильтрации

F = ( (X1; : : : ; Xn); n 2 Z+);

но не является марковским процессом относительно нее.

Подсказка: надо взять f(x) = x2.

9

8.Марковские цепи

1.Пусть n цепь Маркова с фазовым пространством S = f1; 2; 3g, начальным состоянием 0 = 1 п.н. и матрицей переходных вероятностей

Положим n = If n = 1g + 2If n 6= 1g. Докажите, что n тоже марковская цепь и найдите ее матрицу переходов.

2.Цепь Маркова ( n; n 2 Z+) имеет начальное состояние 0 = 0 и переходные вероятности P( n+1 = k+1j n = k) = p, P( n+1 = kj n = k) = 1 p, k; n 2 N, p 2 [0; 1]. Найдите распределение n. Докажите, что последовательность 0 = 0, k = minfn : n = kg также является цепью Маркова и найдите ее переходные вероятности.

3.Цепь Маркова ( n; n 2 Z+) имеет начальное состояние 0 = 0 и переходные вероятности P( n+1 = k + 1j n = k) = a k, P( n+1 = kj n = k) = 1 a k, k; n 2 N, a > 1. Найдите Ea n и Da n.

4.Найдите стационарное распределение для однородной марковской цепи, матрица переходных вероятностей которой имеет вид:

5.Приведите пример такой однородной марковской цепи с дискретным временем, что а) у нее есть стационарное распределение, но нет предельного; б) у нее есть ровно одно стационарное распределение, но нет предельного;

в) у нее нет стационарного распределения, но есть пределы переходных вероятностей при n ! 1.

6.Докажите, что пуассоновский процесс интенсивности является однородной марковской цепью. Найдите его переходные вероятности, инфинитезимальную матрицу и стационарное распределение.

для любого i = 1; : : : ; n. Докажите, что тогда матрицы P (t) = exp tQg образуют стохастическую полугруппу.

10