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2013

‚¢¥¤¥-¨¥

4

í⮬ã áç¨â î ¯®«¥§-ë¬ ¢ª«îç¨âì ¢ ¤ --®¥ ¯®á®¡¨¥ -¥ª®â®àë¥ § ¤ ç¨ ¯¥à¢®£® ᥬ¥áâà .

5

—€‘’œ I. ‡ ¤ ç¨ ¯® ⥮ਨ £à㯯

x 1. •®¤áâ -®¢ª¨

1.1. „«ï ª ª¨å ¤¥©á⢨⥫ì-ëå a, b ¨ c ®â®¡à ¦¥-¨¥ f : R ! ! R, § ¤ --®¥ ¬-®£®ç«¥-®¬

f(x) = x3 + ax2 + bx + c;

ï¥âáï ¯®¤áâ -®¢ª®© ¬-®¦¥á⢠R?

1.3.„®ª § âì, çâ® ç¨á«® à §«¨ç-ëå ¯®¤áâ -®¢®ª á⥯¥-¨ n à ¢-® n!.

1.4.•®¤áâ -®¢ª g ¬-®¦¥á⢠f1; 2; : : : ; 9g ®¯à¥¤¥«¥- à ¢¥-áâ-

á⥯¥-¨ n ¤«ï n = 1; 2; : : : ; 10.

1.6. • ©â¨ 横«¨ç¥áª¨¥ â¨¯ë ¢á¥å ¯®¤áâ -®¢®ª ¬-®¦¥á⢠Z6, Z7 ¨ Z11, § ¤ --ëå á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

) f(x) = x + a; ¡) f(x) = ax;

£¤¥ a | 楫®¥ ç¨á«®.

1.7.• ©â¨ ç¨á«® ¯®¤áâ -®¢®ª á⥯¥-¨ 6, ¨¬¥îé¨å 横«¨ç¥á- ª¨© ⨯ 23, ¨ ¢ë¯¨á âì ¢á¥ í⨠¯®¤áâ -®¢ª¨.

1.8.• ©â¨ ç¨á«® âà -ᯮ§¨æ¨© á⥯¥-¨ n ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì-®£®

n.

1.9.• ©â¨ ç¨á«® 3-横«®¢ á⥯¥-¨ n ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì-®£® n.

1.10.• ©â¨ ç¨á«® ¯®¤áâ -®¢®ª á⥯¥-¨ n, ¨¬¥îé¨å 横«¨ç¥á- ª¨© ⨯ 22.

1.11.• ©â¨ ç¨á«® ¯®¤áâ -®¢®ª á⥯¥-¨ 2n, ¨¬¥îé¨å 横«¨-

ç¥áª¨© ⨯ 2n.

1.12. „«ï 1 6 r 6 n ¯®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â â®ç-® n!

r-横«®¢ á⥯¥-¨ n.

r ¢ (n ¡ r)!

6

1.13.Š ª¨¥ ¯®¤áâ -®¢ª¨ ¬-®¦¥á⢠fx1; x2; x3; x4g -¥ ¨§¬¥- -ïîâ ¬-®£®ç«¥- x1 + x2 ¡ x3 ¡ x4?

1.14.• ©â¨ ¬-®£®ç«¥- f(x1; x2; x3; x4) 2 R[x1; : : : ; x4], ª®â®- àë© -¥ ¨§¬¥-ï¥âáï ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¯®¤áâ -®¢®ª (x1; x2; x3; x4) ¨ (x2; x4), -® -¥ ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¬-®£®ç«¥-®¬.

1.15. •®¯ëâ âìáï à¥è¨âì § ¤ çã ‹ £à -¦ ¤«ï n 6 5: ᪮«ìª®

à §«¨ç-ëå ¬-®£®ç«¥-®¢ ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¬-®£®ç«¥- ®â n ¯¥à¥¬¥--ëå, ¯¥à¥áâ ¢«ïï ¯¥à¥¬¥--ë¥ ¯à®¨§¢®«ì-ë¬ ®¡à §®¬?

x 2. •à®¨§¢¥¤¥-¨ï ¯®¤áâ -®¢®ª, ç¥â-ë¥ ¨ -¥ç¥â-ë¥ ¯®¤áâ -®¢ª¨

2.1.Ž¯à¥¤¥«¨â¥ ç¥â-®áâì ¯®¤áâ -®¢ª¨ (â. ¥. §- ª ¯®¤áâ -®¢ª¨) ¤«ï ¯®¤áâ -®¢®ª ¨§ § ¤ ç 1.4 ¨ 1.6.

2.2.„®ª § âì, çâ® ç¨á«® ç¥â-ëå ¯®¤áâ -®¢®ª ª®-¥ç-®£® ¬-®- ¦¥á⢠¬®é-®á⨠> 2 à ¢-® ç¨á«ã -¥ç¥â-ëå ¯®¤áâ -®¢®ª.

2.3.•ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¯®¤áâ -®¢ª¨ g ¨ h -¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï,

¥á«¨ supp(g) \ supp(h) = ?. „®ª § âì:

) «î¡ ï -¥â®¦¤¥á⢥-- ï ¯®¤áâ -®¢ª ª®-¥ç-®£® ¬-®- ¦¥á⢠¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï -¥¯¥à¥á¥ª î- é¨åáï 横«®¢;

¡) «î¡®© -¥âਢ¨ «ì-ë© n-横« ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§- ¢¥¤¥-¨ï (n ¡ 1)-© âà -ᯮ§¨æ¨¨;

¢) ¯®¤áâ -®¢ª ª®-¥ç-®£® ¬-®¦¥á⢠ï¥âáï -¥ç¥â-®© ,

ç¨á«® ¥ñ 横«®¢ ç¥â-®© ¤«¨-ë -¥ç¥â-®.

2.4. „®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®© ¯®¤áâ -®¢ª¨ g ç¨á«® 横«®¢ ¤«¨-ë 2n ¥ñ ª¢ ¤à â g2 ¥áâì ç¥â-®¥ ç¨á«® ¤«ï «î¡®£® n 2

2 N.

ᮤ¥à¦¨â ç¥â-®¥ ç¨á«® ç¨á¥«.

7

2.7. Š ª á¢ï§ -ë ¬¥¦¤ã ᮡ®© £à äë ¯®¤áâ -®¢®ª g ¨ g¡1? ‚

ç áâ-®áâ¨, ª ª á¢ï§ -ë 横«¨ç¥áª¨¥ ⨯ë íâ¨å ¯®¤áâ -®¢®ª? 2.8. •ãáâì g ¨ h | ¯®¤áâ -®¢ª¨, -®á¨â¥«¨ ª®â®àëå ¨¬¥îâ

«¨èì ®¤-ã ®¡éãî â®çªã. „®ª § âì, çâ® g¡1h¡1gh ¥áâì 3-横«.

2.9. ˆáá«¥¤®¢ âì áâ஥-¨¥ £à ä ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ¤¢ãå ¯®¤áâ -®- ¢®ª, -®á¨â¥«¨ ª®â®àëå ¨¬¥îâ â®ç-® ®¤-ã ®¡éãî â®çªã. 2.10. „®ª § âì, çâ® £à äë ¯®¤áâ -®¢®ª g ¨ h ¨§®¬®àä-ë ,

- ©¤¥âáï â ª ï ¯®¤áâ -®¢ª a, çâ® a¡1ga = h.

2.11. „®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®© ¯®¤áâ -®¢ª¨ g - ©¤¥âáï â ª ï ¯®¤áâ -®¢ª a, çâ® (ga)2 = a2.

2.12. „®ª § âì, çâ® ¯®¤áâ -®¢ª g ª®-¥ç-®£® ¬-®¦¥á⢠ï- ¥âáï ª¢ ¤à ⮬ ¤à㣮© ¯®¤áâ -®¢ª¨ , ¤«ï «î¡®£® ç¥â-®£® n ç¨á«® n-横«®¢ ¯®¤áâ -®¢ª¨ g ç¥â-®.

2.14. •ãáâì Q+ | ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à 樮- «ì- -ëå ç¨á¥«. ”ã-ªæ¨ï f : Q+ ! Q+ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ⮦¤¥áâ¢ã

äã-ªæ¨î.

(•â § ¤ ç ï¥âáï ¢ ਠ樥© ®¤-®© § ¤ ç¨ ¨§ Œ¥¦¤ã- - த-®© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ®«¨¬¯¨ ¤ë 1990 £®¤ .)

x 3. •®à®¦¤ î騥 ¬-®¦¥á⢠Sym(-) ¨ Alt(-)

3.1. •ãáâì T | -¥ª®â®à®¥ ¬-®¦¥á⢮ âà -ᯮ§¨æ¨© ¨§ Sn. •®- ª § âì, çâ® hT i = Sn , £à ä T á¢ï§¥-. ‚뢥á⨠®âáî¤ , çâ®

8

£à ä ¬¨-¨¬ «ì-®£® ¯®à®¦¤ î饣® ¬-®¦¥á⢠âà -ᯮ§¨æ¨© ï¥âáï ¤¥à¥¢®¬ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨¬¥¥â n ¡ 1 ॡà®.

3.2. • ©â¨ -¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç-ë¥ ãá«®¢¨ï - ¯ àë i, j

¤«ï ⮣®, ç⮡ë

h(12 : : : n); (ij)i = Sn:

3.3. •®ª § âì, çâ® ¤«ï ¢á¥å i, 1 < i < n,

h(23 : : : n); (1i)i = Sn:

3.4. •®ª § âì, çâ® ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å 3-横«®¢ ¯®à®¦¤ ¥â An ¤«ï

n > 3.

3.5. •®ª § âì, çâ® Sn ¯®à®¦¤ ¥âáï âà¥¬ï ¨-¢®«îæ¨ï¬¨ (n >

> 1).

3.6.•ãáâì g ¨ h | 横«ë, ¯à¨ç¥¬:

1)j supp(g) \ supp(h)j = 1;

2)supp(g) [ supp(h) = -.

„®ª § âì:

1) ¥á«¨ ¯® ªà ©-¥© ¬¥à¥ ®¤¨- ¨§ 横«®¢ g ¨«¨ h ¨¬¥¥â ç¥â- -ãî ¤«¨-ã, â® hg; hi = Sym(-);

2) ¥á«¨ ¤«¨-ë 横«®¢ g ¨ h -¥ç¥â-ë, â® hg; hi = Alt(-).

x 4. •®-ïâ¨ï £àã¯¯ë ¨ ¯®¤£à㯯ë

4.1.„®ª § âì, çâ® ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ «î¡®£® ᥬ¥©á⢠¯®¤£à㯯 ¥áâì ¯®¤£à㯯 .

4.2.‚ ª ª®¬ á«ãç ¥ ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥ ¤¢ãå ¯®¤£à㯯 ï¥âáï ¯®¤- £à㯯®©?

4.3.„®ª § âì: £à㯯 G ᮤ¥à¦¨â ஢-® ¤¢¥ ¯®¤£à㯯ë ,

G | 横«¨ç¥áª ï £à㯯 ¯à®á⮣® ¯®à浪 .

£¤¥ p | ¯à®á⮥ ç¨á«®. • ©â¨ ç¨á«® ¯®à®¦¤ îé¨å íâã £à㯯ã

í«¥¬¥-⮢.

4.7. •«¥¬¥-â ¯®à浪 2 - §ë¢ ¥âáï ¨-¢®«î樥©. • ©â¨ ¢á¥ ¨-¢®«î樨 ¢ Sn ¤«ï n 6 5.

9

4.8. „®ª § âì, çâ® ª®-¥ç- ï £à㯯 ç¥â-®£® ¯®à浪 ᮤ¥à¦¨â ¨-¢®«îæ¨î.

4.9. „®ª § âì, çâ® ¯®à冷ª «î¡®© ¯®¤áâ -®¢ª¨ ª®-¥ç-®£® ¬-®- ¦¥áâ¢ à ¢¥- - ¨¬¥-ì襬㠮¡é¥¬ã ªà â-®¬ã ¤«¨- 横«®¢ ¯®¤áâ -®¢ª¨.

4.10. • ©â¨ ¯®à浪¨ ¯®¤áâ -®¢®ª ¨§ Sn ¤«ï n 6 5.

4.11. • ©â¨ ¯®à浪¨ ¢á¥å ¯®¤£à㯯 ¨§ Sn ¤«ï n 6 4.

4.12. „®ª § âì:

) Sn | -¥ ¡¥«¥¢ £à㯯 ¡) An | -¥ ¡¥«¥¢ £à㯯 ƒ®¢®àïâ, çâ® ¯®¤£à㯯ë

£à㯯ë G, ¥á«¨

[n

Gi = G ¨ Gi \ Gj = 1 ¤«ï i 6= j:

i=1

•®¤£à㯯ë Gi - §ë¢ îâáï ª®¬¯®-¥-â ¬¨ à á饯«¥-¨ï.

4.13.„®ª § âì, çâ® ¯®à冷ª £à㯯ë, ®¡« ¤ î饩 à á饯«¥- -¨¥¬ á n ª®¬¯®-¥-â ¬¨, -¥ ¯à¥¢®á室¨â (n ¡ 1)2.

4.14.Ž¯¨á âì à á饯«ï¥¬ë¥ £à㯯ë á âà¥¬ï ª®¬¯®-¥-â ¬¨ à á饯«¥-¨ï.

4.15.•ãáâì x2 = 1 ¤«ï «î¡®£® x 2 G. „®ª § âì, çâ® £à㯯 G ¡¥«¥¢ .

x 5. ‘¬¥¦-ë¥ ª« ááë ¨ ª« ááë

ᮯà殮--ëå í«¥¬¥-⮢

5.1.• ©â¨ jSn : Anj.

5.2.„®ª § âì, çâ® ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ ¯®¤£à㯯 ¢§ ¨¬-® ¯à®áâëå ¯®- à浪®¢ âਢ¨ «ì-®.

5.3.•®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¤¥«¨â¥«ï m ¯®à浪 ª®-¥ç-®© 横«¨ç¥áª®© £à㯯ë G áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤£à㯯 ¯®à浪 m.

5.4.•ãáâì jG : Hij = ni; i = 1; 2: „®ª § âì, çâ®

jG : H1 \ H2j 6 n1n2:

5.5. •ãáâì ¨-¤¥ªáë ¯®¤£à㯯 H1 ¨ H2 ¢ £à㯯¥ G п¢«повбп ¢§ ¨¬-® ¯а®бвл¬¨ з¨б« ¬¨. „®ª § вм, зв® G = H1H2, â. ¥.

G = fxy j x 2 H1; y 2 H2g :

10