Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

квадратные корни

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

827.61 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет)

Заочная физико-техническая школа

МАТЕМАТИКА

Квадратные корни

Задание №4 для 8-х классов

(2014 – 2015 учебный год)

г. Долгопрудный, 2015

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

Составитель: Т.Х. Яковлева, старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ.

Математика: задание №4 для 8-х классов (2014 – 2015 учебный год),

2015, 22 с.

Дата отправления заданий по физике и математике – 10 марта 2015 г.

Составитель:

Яковлева Тамара Харитоновна

Подписано 12.01.15. Формат 60×90 1/16.

Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,44. Уч.-изд. л. 1,28. Тираж 400. Заказ №39-з.

Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)

ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., 141700. ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение.

тел./факс (498) 744-6 3-51 – очно-заочное отделение,

тел. (498) 744-65-83 – очное отделение.

e-mail: zftsh@mail.mipt.ru

Наш сайт: www.school.mipt.ru

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

Введение

Дорогие ребята!

Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием – арифметическим квадратным корнем. Постарайтесь хорошо справиться с этим заданием. Оно подготовит вас к решению следующего задания, в котором мы рассмотрим квадратные уравнения.

§1. Определение арифметического квадратного корня

Рассмотрим простейшую задачу. Пусть площадь квадрата равна 25 . Требуется определить сторону квадрата. Если сторона квадрата равна x , то для нахождения длин сторон квадрата получаем уравнение

x2 25 . Этому уравнению удовлетворяют два числа: 5 и 5 . Эти числа называют квадратными корнями числа 25 . Заметим, что один корень является положительным, а второй корень является отрицательным числом.

Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Обозначают арифметический квадратный корень так: a.


Например,		64 8; 1,44 1,2;	0 0.

Равенство	a b является верным, если выполняются два условия:

1)b 0 и 2) b2 a.

При a 0 выражение a не имеет смысла, т. к. квадрат любого

числа – число неотрицательное. Поэтому выражения 49 и 3,5 не имеют смысла.

Из определения арифметического корня следует, что если a имеет смысл, то a 2 a и a2 a .

. Если a 0,

Докажем, что,

действительно,

то из определе-

ния арифметического корня следует, что

Если же a 0,

то a 0 и a 2 a2 . Таким образом, арифметиче-

a 0

и равен a ,

если a 0 , т. е.

ский корень a2

равен a , если

a2 a .

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

Пример 1. Найдите значение выражения:

б) 9 2 ;

а) 2

12,25 0,1 0,25;

в)

16,2.

а)

Из

определения

арифметического корня

следует, что

т. к. 3,5 0

и 3,52 12, 25;

т. к. 0,5 0 и

12,25 3,5,

0,25 0,5,

0,52 0, 25. Получаем:

2 3,5 0,1 0,5 7 0,05 6,95.

б)

9 2 9, т. к.

9 2

в) Данное выражение не имеет смысла, т. к. квадрат любого числа является неотрицательным числом.

Пример 2. При каких x имеет смысл выражение:

а)

б)

2x 1

;

x 1

x 2

а) Выражение

x 1 определено, если x 1 0 , т. е. при x 1 . Но

так как

x 1 стоит в знаменателе, то он не должен быть равен нулю,

т. е. данное выражение имеет смысл при x 1.

б) Выражение

x определено при x 0 , а выражение

x 2 опре-

делено при x 2 0, x 2 .

Таким образом, при x 0 определены оба

корня. При таких x имеем:

x 0

и x 2 0, поэтому знаменатель

при

x 0 не обращается в нуль,

значит, при x 0 данное выражение

имеет смысл.

Пример 3. Решите уравнение:

а)

x 2 0, б)

x 3 0, в)

5x 6 6,

г)

3x 7 5.

x 0 , при этом

а)

Арифметический корень

определён при

x 0, значит, при любом

x 0 выражение

x 2 2 ,

поэтому дан-

ное уравнение не имеет решений.

б)

x 3. Из

определения арифметического корня

следует, что

2 x 9 , т. е.

x 9 является корнем уравнения.

в)

Предположим,

что данное

уравнение

имеет решение, тогда

2 5x 6 62 . Отсюда уже видно, что

5x 6 0 , т. е. выраже-

5x 6

ние

5x 6 определено. Решаем уравнение: 5x 6 36, 5x 30, x 6.

г) Уравнение не имеет смысла, т. к. арифметический корень число

неотрицательное, а число 5 0.

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

§2. Уравнение x2 a

Если a 0, то уравнение x2

не имеет решений. Если

a 0, то

уравнение имеет единственное

решение

x 0 .

Рассмотрим теперь

уравнение x2 a при a 0.

Рассмотрим графики функций

y x2

y a . Если a 1, то уравнение x2

1 имеет

y= x 2

два корня: 1 и 1. Если a 4,

то уравнение

4 имеет два корня: 2 и

2 .

Один из

y=a

корней совпадает с арифметическим корнем

из числа 4 , а второй корень – число, проти-

воположное первому корню.

Рассмотрим теперь уравнение x

В первом задании мы уже говорили о том,

что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум.

Арифметический корень 2 является числом иррациональным.

Пример 1. Докажите, что число 7 является числом иррациональным.

Предположим, что 7 является

числом рациональным, т. е.

, где

n – натуральное число,

– целое число и

– несокра-

тимая дробь. Из определения арифметического корня следует, что m 0, т. е. m должно также быть натуральным числом. Тогда

7 2 7 m2 , 7n2 m2 .

Левая часть полученного выражения делится на 7, поэтому и m2 делится на 7 , т. е. m делится на 7 . Предположим, что число m не делится на 7, тогда m 7k p, где p может быть равным 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Рассмотрим уравнение: 7n2 7k p 2 ,

7n2 49k 2 14kp p2.

Выражение p2 принимает значения 1, 4, 9, 16, 25, 36. Ни одно из этих чисел не делится на 7, следовательно p 0 , тогда m 7k . Из уравнения 7n2 49k 2 , n2 7k 2 . Тогда легко установить, что n делится на 7,

т. е. n 7q , но тогда дробь mn сократимая, что противоречит нашему

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

предположению. Следовательно, число 7 является иррациональным числом. ▲


Из рисунка следует, что если				a b 0,		то a b . Поэтому,

например, 119 80;	2,37 1,5.
В школьных учебниках доказываются три теоремы.

Теорема 1. Если a b 0, то		a b.
Пример 2. Сравните числа a 2					1
			3 и b		1	47.
			3 и b		2	47.
					2

Из определения арифметического корня следует, что

a2 4 3 12; b2 14 47 11 34 . Так как 12 11 34 , то число a b. ▲

Пример 3. Найдите значение выражения

3 2 5 3 2 23 3.

3 2 3 2 3; 23 3 2 3 2 2 3 6.

Получаем: 3 5 3 6 6.▲ Пример 4. Между какими соседними натуральными числами распо-

ложено число a								1
								1			209 ?
								3			209 ?
								3
			2		1					2		1							2										2
			2		1					2		1							2										2
	a					209								209 23						.		Заметим,						что 16 23		25,	по-
	a					209								209 23						.		Заметим,						что 16 23		25,	по-
					3							9							3										3
этому			16 a				25, т. е. 4 a 5. ▲
				§3. Свойства арифметического квадратного корня
В школьном учебнике у вас доказываются теоремы.

Теорема 2. Если a 0														и b 0 , то									ab			a		b.

Теорема 3. Если a 0 и																b 0, то							a		a		.
Теорема 3. Если a 0 и																b 0, то											.
																							b	b
Пример 1. Найдите значение выражения (без калькулятора):

													11		;			75			;
а)		5 35 175; б)									5		11			в)		75
												49
																	192
																	192

			1492		762
г)			1492		762				; д) 163							44 .
г)	4572				3842				; д) 163							44 .
	4572				3842

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни


а)			5 35 175						175 175 175.

б)	5	11				256			16				.
б)	5	49		49				7					.
		49		49				7

в)	75				75					25					5	.
				192				64							8
	192
	192

													149 76 149 76
г)	1492 762												149 76 149 76				73 225
г)	4572 3842										457 384 457 384						73 841

		225					225					15		.
														.
		841		841				29

								45.
		42 3 44				45 2
д) 163 44		42 3 44	46 44	410		45 2
Можно решать и другим способом.
							16 4 42
					42 2

	163 44 162 16 44 162			16

42 4 42 45. ▲

Рассмотрим 48 . Преобразуем это выражение:

48 16 3 16 3 43.

В этом случае мы говорим, что множитель 4 вынесли из-под знака корня.

Теперь рассмотрим выражение 57 , преобразуем его:

57 25 7 25 7 175.

В этом случае говорим, что множитель 5 внесли под знак корня. Пример 2. Вынесите множитель из-под знака корня:

																																		;
				5			4			2													3										5
	а)			5		13	4	19		2	;			б)					7			11	3				3				5		5
																21 xy 2 , если xy 0.
	в)				a4b11 ;									г)		21 xy 2 , если xy 0.

	а) Так как																5								2
	а) Так как								a2			a		, то			5			13	4			19	2				5			13 4			19		.

	Определим знак числа 5 13 4 19. Числа 5 13 и 4 19 – положи-
тельные.						Рассмотрим								их				квадраты:								5						2 25 13 325						и
тельные.						Рассмотрим								их				квадраты:								5				13		2 25 13 325						и
4			2
4		19	2		16 19 304 .								Так		как					304 325,								то					304			325 , т.		е.

513 419, поэтому 513 419 513 419.

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

б) 7 11 3 3 5 5

7 11 2 7 11 3 5 4 3 5

7 11 3 5 2 7 11 3 5 .

					т. к.		2	7,		2
Число 7 11,					т. к.	7	2	7,	11	2	11 и	7 11 . Поэтому

7 11 0, т. е. 7 11 11 7.

Окончательно получаем:

11 7 3 5 2 7 11 3 5 .

в) Так как a4 0,	то корень определён, если b11 0, т. е.
b11 0, b 0.

a4 b5 2 b a2 b5 b a2b5 b.

г) 21 xy 2 xy21 xy 21. ▲

Пример 3. Внесите множитель под знак корня:

а) 5 37

2 3;

б) 2a 1

1 2a;

в) 3xy

При решении этих примеров используем формулу a2 a .

											2 37
а) Число 5			37 0, т. к. 52 25,						37			и 25 37 . Поэтому
5							5												.
														5 2				3
					3					3
	37			2		37		2					37				2
б) Корень					определён, если 1 2a 0, 2a 1, a										1
		1 2a														. При таких

												2

aвыражение 2a 1 0 . Поэтому

2a 1 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 2 1 2a 1 2a 3 .

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

в) Корень						1			определён, если xy 0 . Поэтому

					xy 3


			1						3 xy			1				xy	2			1				9
	3xy														9										.
	3xy			xy		3					xy 3				9					xy 3					.
				xy		3					xy 3									xy 3				xy

Пример 4. Сравните числа a и b :

а) a 3 11 и b 6 8;


б) a 2 3 и b 7 4 3;
	a	2						2		и b
в)		2						2					110.


		3					5 3 3
	5	3	3				5 3 3
а) Числа a и b									положительные. Рассмотрим квадраты этих чи-

сел.	Имеем:				a2 3 2					3 11 11 14 2						33,			b2 6 2			6 8 8

14 2 48. Так							как		48 33, то					48		33, 2		48 2			33,		поэтому

b2 a2 и b a.

б) Число a 0, т. к. 22 3 2 3. Число 7 43 0, т. к.

72 43 2 48. Отсюда следует, что число b определено и оно боль-

ше нуля.
Таким образом, числа a						и b положительные. Рассмотрим их квад-
раты: a2 2			2
раты: a2 2		3	2	4 4		3 3 7 4 3, b2 7 4 3. Следователь-
но, a b.
в) a	2			2	.


	3 3			3 3
5	3 3	5		3 3

Приводим дроби к общему знаменателю, получаем:


10 6 3 10 6 3							12 3
10 6 3 10 6 3							12 3
a								6	3 108.
	5 3		5 3				2
	5 3	3	5 3		3		2

Так как 110 108, то		110		108		и b a.

Пример 5. а) Укажите два рациональных числа, лежащих между

числами 3 и 5.

б) Укажите два иррациональных числа, лежащих между числами

3 и 5.

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

а) Из теоремы сравнения корней следует, что 1 3 4 , т. е. 1 3 2 . Заметим, что 1,82 3, 24 3 , а 1,92 3, 61 3, таким об-

разом 3 1,8 2

5 , т. е. число 1,8 является числом рациональ-

ным и располагается между числами

3 и

5 . Число 1, 9 удовлетво-

ряет неравенствам

3 1,9 2 5 ,

т. е.

1, 9 также располагается

между числами 3 и

б) Иррациональные числа являются бесконечными непериодиче-

скими	десятичными	дробями.	Рассмотрим	дробь
a 1,810110111011110		. Это бесконечная	непериодическая	деся-

тичная дробь, после цифры 8 идёт цифра 1, затем ноль, затем 2 цифры 1, снова ноль, и т. д. Данная дробь больше, чем 1,8, т. к. после цифры 8 идёт 1. Для числа a выполняются неравенства


			3 a 2	5.
Аналогично		строим вторую дробь:		b 1,820220222022220 ,

3 b 2	5. ▲

Пример 6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а)		2						;			б)			1		2					.


3		5				7					3			2				5
Эту задачу надо понимать так: следует так преобразовать дробь,
чтобы в знаменателе отсутствовали квадратные корни.
При решении этих задач полезно использовать формулу
															a b a b a2 b2 .

а) Умножим числитель и знаменатель дроби на 3																																			5			7 . Получим:
					2 3
									5				7
									5				7							6 5 2 7												6 5 2 7									3 5 7		.

	3									3							3						2					2						45 7								19
				5			7					5			7
				5			7					5			7							5				7
б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение
																						1								3
																									2								2				5
3			2				5 0. Получим:																		2								2				5

																			3												3
																			3					2					5		3					2			5

						3 2 5 3 2 2 10																					1 2 2 5 10													.
																																								.
											9 2			6 2				5																		2
											9 2			6 2				5												6 1						2

2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015898.71 Кб66История и Философия Науки.pdf
#
25.04.2019540.67 Кб3История Пионерии.doc
#
03.06.2015515.07 Кб3История.doc
#
03.06.20155.91 Mб137Камасутра интернет магазина.pdf
#
03.06.20153.83 Mб10каракин лекции.pdf
#
03.06.2015827.61 Кб46квадратные корни.pdf
#
03.06.20151.02 Mб57Квантовая теория женщин.pdf
#
10.12.2018544.26 Кб5Квантовая философия + Мыльников.doc
#
03.06.20157.25 Mб15КГП_презенташка.pdf
#
03.06.2015604.67 Кб21Кинематика дз 1.doc
#
03.06.201555.3 Кб18Кинематика дз 2.doc