matan_baza
.pdfМатематический анализ 11-12 уч. год
Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости
1. Абсцисса точки С, разбивающей отрезок АВ в отношении CBAC , равна
xc |
xA xB |
||
1 |
|
||
|
|||
xc |
xB xA |
||
1 |
|
||
|
|||
xc |
xA xB |
||
1 |
|
||
|
|||
xc |
xA xB |
||
1 |
|
||
|
2. Ордината точки С, разбивающей отрезок АВ в отношении CBAC , равна
yc |
yB y A |
|||
1 |
|
|||
|
|
|||
yc |
y A yB |
|||
1 |
|
|||
|
|
|||
yc |
|
yB y A |
||
|
1 |
|
||
|
|
|||
yc |
yB y A |
|||
1 |
|
|||
|
|
3. Абсцисса середины отрезка АВ равна
xc |
|
xA xB |
|
2 |
|||
|
|
||
xc |
|
xA xB |
|
2 |
|||
|
|
||
xc |
|
xB xA |
|
2 |
|||
|
|
||
xc |
|
xA xB |
|
0,5 |
|||
|
|
4. В уравнении y kx b значение k – это
координата точки пересечения прямой с осью абсцисс координата точки пересечения прямой с осью ординат
угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси абсцисс
5. В уравнении y kx b значение b – это
координата точки пересечения прямой с осью ОХ угловой коэффициент прямой
координата точки пресечения прямой с осью ОY угол наклона прямой к оси ОХ
6.Прямая Ax C 0 параллельна оси Oy параллельна оси Ох перпендикулярна оси Оy
пересекает ось Оy в одной точке
7.Прямая By C 0
параллельна оси Oy перпендикулярна оси Ох параллельна оси Ох пересекает ось Ох в одной точке
8. Прямая Ax By 0 при B 0
параллельна оси Oy
проходит через начало координат не проходит через начало координат перпендикулярна оси Ох
9. Угол между двумя прямыми определяется формулой tg tg tg
tg k2 k1
1 k1k2
tg k2 k1
1 k1k2
tg k2 k1
1 k1k2
10. Условие параллельности двух прямых имеет вид
1= − 21 121 2= −11= 2
11. Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид
1= − 21 12
1 2= − 11= 2
12.Углом между двумя прямыми называется
меньший угол, на который надо повернуть обе прямые до их совпадения с осью ОХ меньший угол, на который надо повернуть одну прямую до ее совпадения с другой прямой
меньший угол, на который надо повернуть обе прямые до их совпадения с осью Оy
разность углов, образованных этими прямыми
13.Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении, имеет вид y x b
(x2 x1 )(y y1 ) ( y2 y1 )(x x1 ) ax by 1
y – y0= 0(x – x0)
14. В уравнении пучка прямых с центром в точке А угловой коэффициент – фиксированный бесконечный произвольный всегда равен 0
15. Уравнение пучка прямых с центром в точке M 0 x0 ; y0 имеет вид y x b
ax by 1
Ax By C 0 y – y0= (x – x0)
16.Уравнение прямой в отрезках имеет вид
ax by 1 y x b
Ax By C 0 y – y0= 0(x – x0)
17. Общее уравнение прямой имеет вид
Ax By C 0 y x b
ax by 1
y – y0= 0(x – x0)
18.Уравнение прямой, проходящей через точки A( 2;3) и B(4; 3) , имеет
вид
y 2x 2 y x 5
y x 1 y 2x 1
19.Расстояние от точки до прямой определяется формулой
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
x |
2 |
x 2 |
y |
2 |
y 2 |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
d |
Ax0 By0 C |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A2 B 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
d |
|
Ax0 By0 C |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d |
|
Ax0 By0 C |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Угловой коэффициент прямой Ax+By+C=O при В 0 равен
A
–A
– BA
A
B
21. Тангенс угла наклона прямой ax by 1 к оси Ох равен
ba
1
a
1
b b
a
22. Уравнение прямой, проходящей через точку A(1;2) параллельно прямой x y 1 0 , имеет вид
y x 3 y x 5
y x 3 y x
23. Уравнение прямой, проходящей через точку A( 1;2) перпендикулярно прямой y 2x 3, имеет вид
y |
1 |
|
|
|
x 3 |
||||||
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
1 |
|
x |
|
3 |
|||||
|
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
1 |
|
x |
|
2 |
|||||
|
2 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
1 |
x |
3 |
|
||||||
|
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24.В треугольнике с вершинами в точках A( 1;1) , B(1;2) , C(3; 2) уравнение
медианы АМ имеет вид y 3x 23
y 3x 32 y 3x
y 3x 23
25.В треугольнике с вершинами в точках A( 1;1) , B(1;2) , C(3;1) уравнение
прямой АС имеет вид y x
y1 x 1
yx 1
26.Прямая ax by 1, где a 0 и b 0
параллельна оси Ох параллельна оси Oy пересекает ось Ох в точке (а;0) пересекает ось Oy в точке (а;0)
27.Уравнение прямой, проходящей через точку A(2;3) и образующей с
положительным направлением оси Ох угол 450 , имеет вид y x
y x 5 y x 2 y x 1
28.Уравнение прямой, проходящей через точку B(4;1) и образующей с
положительным направлением оси угол 1350 , имеет вид x y 5 0
x y 3 0 x y 3 0x y 5 0
29.К прямой y 4x 1 перпендикулярна прямая
y 14 x 2
y 14 x 2 y 4x 2
y 4x 3
30. Угол между прямыми 2x 3y 4 0 и 3x 2y 1 0 равен
00
450
900
1350
31.Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ) , имеет
вид
y y1 |
|
|
|
|
x x1 |
|||||||||||
y |
2 |
y |
|
|
x |
2 |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||
y2 y1 |
|
x2 x1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y y |
|
|
|
|
x x |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y y1 |
|
|
|
|
|
x x1 |
|
|
|
|||||||
x |
2 |
x |
|
y |
2 |
|
y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
y y1 |
|
|
|
x x2 |
|
|
|
|||||||||
y |
2 |
y |
x |
2 |
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
32.Расстояние от точки A(2; 1) до прямой 4x 3y 9 0 равно
2,8
4
14
7
33. Из прямых а) x 5y 3 0 ;
б)5x y 4 0; в)5x y 3 0 ;
г) x 5y 3 0 параллельной к прямой y 5x 3 будет
а) в) г) б)
34. Из прямых
а) 2x y 3 0 ;
б) x 2y 3 0 ; в) 2x y 5 0; г) x 2y 3 0
перпендикулярной к прямой y 2x 3 будет
а) б) г) в)
35.Точками пересечения прямой 3x 4y 12 0 с осями координат Ox и Oy являются соответственно точки
A(4;0) и B(0; 3) A(0; 3) и B(4;0) A( 4;3) и B(3; 4) A( 4;0) и B(0;3)
36.Уравнение прямой, проходящей через точки A 2;3 и B 2; 1 , имеет
вид
y2x
y2 x 2
yx 2
37.Уравнение прямой, проходящей через точки A 3; 1 и B 2; 1 , имеет
вид
y3x 2
yx x 1
y1
38. Если x2 x1 , то уравнение прямой, проходящей через точки A x1 ; y1 и B x2 ; y2 , имеет вид
y y1 |
|
x x1 |
|||||
y |
2 |
y |
x |
2 |
x |
||
|
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
x x1
y x1
y k x x1
39. |
Если y2 y1 , то уравнение прямой, проходящей через точки A x1 ; y1 и |
|||||||
|
B x2 ; y2 , имеет вид |
|||||||
|
y y1 |
|
x x1 |
|
||||
|
y |
2 |
y |
|
x |
2 |
x |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
y y1
y y1 x x1 x x1
40. Прямые y 34 x 1 и y 34 x 2 параллельны перпендикулярны
образуют угол в 450
образуют угол, равный arctg 247
41.Точка M разбивает отрезок AB , где A 1;2 , B 4;5 , так, что AM 2 MB .
Координаты точки M равны
3;42;32;4
2,5;3,5
42. Расстояние от точки M 3;4 до прямой y 2x 1 равно
1
2
3
1
5 5
43.Угловой коэффициент прямой 2x 3y 6 0 равен
2
3
2
-3
2
3
44.Угол наклона прямой 3x 4y 1 0 к положительному направлению
оси Ox равен
arctg 34
arctg 34
arctg 34 arctg 34
45.В треугольнике с вершинами A 3; 2 , B 2;3 , C 4; 1 уравнение
стороны BC имеет вид y 2x 7
y 13 x 73 y x 5
y 4x 3
46. В треугольнике с вершинами A 3; 2 , B 2;3 , C 4; 1 длина медианы AM равна
53
25
35
52
47.Если A 2;3 , B 6; 3 , то точка C , делящая отрезок AB в отношении
CBAC 13 , имеет координаты
|
3 |
|
|||
0; |
|
|
|
||
|
|
||||
|
2 |
|
|||
3;3 |
|||||
6;6 |
|||||
3 |
|
|
|
||
|
|
|
;0 |
||
|
|||||
2 |
|
|
|
48.Уравнение прямой, проходящей через точки A 2;3 и B 2; 1 , имеет
вид
x y 1 0 x y 3 0 x y 1 0 x y 1 0
49.В треугольнике с вершинами A 3; 2 , B 2;3 , C 4; 1 уравнение
высоты CD имеет вид x y 3 0
x y 3 0 x y 5 0 x y 5 0
50. В треугольнике с вершинами в точках A 2;3 , B 3; 2 , C 4; 1 длина высоты АD равна
172
5
32
3
18
51.Каноническое уравнение эллипса имеет вид
x 2 2 ( y b)2 R2
x2 |
|
y 2 |
1 |
|
a 2 |
b2 |
|||
|
|
(x a)2 y b 0
x2 |
|
y 2 |
1 |
|
a 2 |
b2 |
|||
|
|
52.Каноническое уравнение гиперболы имеет вид (2 ответа)
x2 |
|
y 2 |
1 |
|
a 2 |
b2 |
|||
|
|
x 2 2 ( y b)2 R2
y a 2 ( y b)2 R2
y b 2 x a 0
y 2 |
|
x2 |
|
1 |
||
b2 |
a 2 |
|||||
|
|
|
|
|||
x2 |
|
y 2 |
|
1 |
||
a 2 |
|
|
||||
|
|
b2 |
|
|
53.Каноническое уравнение параболы имеет вид (2 ответа)
|
x2 |
|
|
|
|
y 2 |
|
1 |
|
a 2 |
|
|
b2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
y2 = 2px |
||||||||
|
x2 |
|
|
|
y 2 |
|
1 |
|
|
a 2 |
|
b2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 = 2py |
||||||||
|
y 2 |
|
|
x2 |
|
1 |
||
|
b2 |
|
a 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|