интегрирование дробно-рациональных функций

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется функция где B_j, A_i -заданные коэффициенты, , . Рациональная дробь называется правильной, если m<n, неправильной, если mn.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Действительно, пусть R(x)= - неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель, получим , где L_l(x) и остаток r_k(x) - многочлены, а - правильная рациональная дробь.

Любой многочлен может быть представлен в виде:

Где - корень кратности k₁; - корень кратности k₂; - корень кратности k_l.

В таком случае правильную дробь можно представить в виде:

Все дроби представленные в разложении исходной дробно-рациональной функции называются простейшими, числа A, B, C с различными индексами называются неопределенными коэффициентами и однозначно определяются из решения системы линейных уравнений составляемой путем приведения всех простейших дробей к одному знаменателю из соображения однозначности представления многочлена по степеням своей переменной.

В результате представленного разложения становиться возможным вместо взятия интеграла от исходной дробно-рациональной функции (сообразуясь со свойствами неопределенного интеграла) брать интегралы от полученных простейших дробей и в качестве ответа к исходному примеру записывать их линейную комбинацию.

Отметим тот факт, что получившиеся при разложении простейшие дроби бывают четырех видов: ; ; ; .

Приведем вычисление интегралов от этих простейших дробей.

1. .

2. .

3.

4.

где

Использовав для данного интеграла метод интегрирования по частям можно получить рекуррентную формулу: по которой, действуя последовательно, можно спуститься до .

Таким образом, обобщая все вышесказанное можно сформулировать алгоритм пригодный для интегрирования дробно-рациональных функций.

1. Выделяем целую часть, и получаем интеграл от многочлена и правильной дробно-рациональной функции.

2. Представляем правильную дробно-рациональную функцию как сумму простейших дробей.

3. Вычисляем интегралы от простейших дробей.

4. Записываем ответ как сумму от получившихся в п.3. выражений.

Найти неопределенный интеграл:

Данный пример предполагает применение метода вычисления интегралов от дробно-рациональных функций.

Алгоритм наших действий следующий:

1. Выделяем целую часть, и получаем интеграл от многочлена и правильной дробно-рациональной функции. т.е.

2. Представляем правильную дробно-рациональную функцию как сумму простейших дробей. в силу единственности представления многочлена получаем систему уравнений:

т.е.

3. Вычисляем интегралы от простейших дробей.

4. Записываем ответ как сумму от получившихся в третьем пункте выражений.