2.9. Случайные величины

2.9.1. Определение случайной величины

Случайной называют величину, которая в результате ее измерения принимает одно и только одно (до измерения неизвестное) значение, определяемое действием многих причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины можно понимать как математическую модель величин признаков реальных объектов.

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X,Y ,Z и т.п. а их возможные значения

2.9.2. Дискретные и непрерывные случайные величины

Каждая случайная величина имеет множество ее возможных значений. В зависимости от типа этого множества случайные величины делят на дискретные и непрерывные.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, возможные значения которой можно пересчитать. Другими словами, каждому возможному значению дискретной случайной величины можно присвоить номер i , выражаемый целым числом. Возможные значения дискретной случайной величины Xбудем обозначать x_i, величины Y -буквами y_i и т.д.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть не только конечным, но и бесконечным. Пусть, например, случайная величина X есть модель числа частиц космического фона излучения, попадающих в детектор за определенный промежуток времени. Можно полагать в этой модели, что возможные значения X – это все целые числа от нуля до бесконечности.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Возможные значения непрерывной случайной величины нельзя пересчитать.

2.9.3. Закон распределения вероятностей дискретной случай величины

Законом распределения вероятностей дискретной случай величины называют соответствие между возможными значениями величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной величины можно задать в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

При задании закона распределения в виде таблицы в одной ее строке записывают возможные значения величины, а в другой – их вероятности:

xi	x1	x2	….	xn
pi	p1	p2	….	pn

Сумма всех вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины должна быть равна единице (это условие называют условием нормировки):

p₁ + p₂ + …. + p_n = 1.

При графическом изображении закона распределения дискретной случайной величины в прямоугольной системе координат наносят точки (x_i ,p_i ) и соединяют их отрезками прямых. Получаемую в результате фигуру называютмногоугольником распределения.

2.9.4. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событиеА может либо появиться, либо не появиться. Пусть вероятность появления событияА в каждом испытании постоянна и равнаp (очевидно, вероятность непоявленияq = 1 –p ). Рассмотрим дискретную случайную величинуX – число появлений событияА в этихn испытаниях.

Событие А вn испытаниях может либо не появиться вообще, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либоn раз. То есть возможные значения величиныX таковы:

x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, …., x_n+1 = n .

Вероятности этих возможных значений даются формулой Бернулли:

где k = 0, 1, 2, …,n .

Биномиальным называют распределение вероятностей, в котором вероятности определяются формулой Бернулли. Формула Бернулли является аналитическим выражением биномиального закона распределения.

Этот закон распределения назван "биномиальным" потому, что все вероятности P_n(k) можно получить при разложении (p + q)ⁿпо формуле бинома Ньютона:

(p + q) ⁿ = (2.8 )

В табличном виде биномиальный закон распределения записывается так:

xi	n	n –1	…	k	…	1	0
pi	p n	npn-1q1	…		…	np1qn-1	q n