4_Lektsia_Dinamika_kolebany

Динамика – это раздел механики, изучающий влияние взаимодействующих тел на их движение.

По взаимодействию колебательной системы с внешней средой и характером поступления энергии извне колебания делятся:

-свободные

-вынужденные

Свободные – это колебания, которые совершаются в системе предварительно выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе.

• Незатухающие – свободные колебания с постоянной амплитудой, первоначально переданная E системе сохраняется ввиду отсутствия силы трения.

• Затухающие – колебания, амплитуда которых со временем уменьшается за счет действия силы трения. Первоначально переданная системе E расходуется на преодоление силы трения.

Вынужденные – колебания, которые совершаются под действием внешней периодической силы. Первоначально переданная системе E расходуется на преодоление силы трения и пополняется за счет внешней периодической силы.

Свободные незатухающие колебания

F_тр=0

F_упр F_упр

0`- положение равновесия

F_упр – сила упругости – возвращающая сила, под действием которой совершается свободные незатухающие колебания.

F_упр= -kx, где x – смещение тела от равновесия;

[X]=M

K – коэффициент жесткости или упругости

[K]=Н/М

Знак «-» показывает, что сила направлена в противоположную сторону смещения тела от положения равновесия.

2 закон Ньютона

F=mā

ā=F/m

F – равнодействующая сила, равна ∑всех сил.

Свободные				Вынужденные
незатухающие	затухающие
Силы, действующие в системе, где совершаются колебания
F упр.	F упр., F тр.		F упр., F тр., F вн.
Второй закон Ньютона
mв=F упр	mв=F упр+F тр		mв=F упр+F тр + F вн
Вывод дифференциального уравнения колебания
ma=-kx ma+kx=0 ⃒:m a+kx/m=0	ma=-kx-rV ma+kx+rV= 0⃒:m a+				ma=-kx-rV+ F max * sinщвнеш.t ma+kx+rV= F max * sinщвнеш.t ⃒:m a+
Дифференциальные уравнения колебаний
x”+ щ02x=0	x” + 2вx` + щ02x=0				x” + 2вx` + щ02x= F max * sinщвнеш.t
Решение дифференциальных уравнений. Зависимость x(t)
x= Asin(щ0t + 0)	x= A0 sin(щ03t + 0)				x=Aвнеш*sin(Wвнеш*t+ц0)
Частота, с которой совершается колебания
щ0 – собственная циклическая частота щ0 =	щзатух. – частота затухающих колебаний щзатух. =				щвнеш. – частота внешней периодической силы
Зависимость амплитуды от времени
A = const A, м t, c		в2›в1 A, м A, c 1 0 t, c A = A0				Авнеш=const

Пояснения к таблице:

F_тр= -rV

r – коэффициент трения

[r]=кг/с

V – скорость движения тела

[V]=м/с

Знак «-» показывает, что сила трения направлена против V движения тела.

F_внеш – внешняя периодичекая сила

F_внеш=F_max*sinW_внеш*t

F_max – max значение силы, амплитуда.

W_внеш – частота внешней периодической силы

X – смещение тела от положения равновесия

V=X` – первая производная смещения тела по времени

ā – ускорение тела; [ā]=м/с²

ā=X` – вторая производная смещения тела по времени

k/m=W₀²; W₀ – собственная циклическая частота; [W₀]=рад/с

m*r/m=2β, β – коэффициент затухания; [β]=с^-1

F_max/m=ξ_max

Свободные затухающие колебания

X=A₀*e^-βt sin(W_зt+φ₀)

Для характеристики свободных затухающих колебаний вводят δ (дельта)

δ (дельта) – декремент затухания – величина равная отношению любых 2-х амплитуд отстающих по времени 1πR (величина безразмерная).

Декремент затухания показывает, во сколько раз амплитуда колебаний уменьшается за время одного периода.

δ= A₀* e^-βt/A₀* e^-β(t+T) = A₀*e^-βt/ A₀*e^-βt *e^-βT

δ=е  lnδ=βT

lnδ=λ (лямда)

λ – логарифмический декремент затухания (величина безразмерная)

• Составление дифференциального уравнения

• Анализ решения, график свободных затухающих колебаний

• Параметры колебаний: коэффициент затухания, частота затухающих колебаний, амплитуда колебаний

• Декремент затухания, логарифмический декремент затухания

Вынужденные колебания

A _внеш = F_max/√(W₀²-W_внеш²)²+4β²W_внеш²

В системе, где совершается вынужденные колебания, наблюдается резонанс.

Резонанс – это явление достижения амплитудой вынужденного колебания максимального значения.

W_рез=√ W₀²-2β² – формула резонансной частоты (только в идеальных системах).

В идеальной системе (F_тр=0  β=0)

W_рез=W₀  A_b∞

Чем больше β, тем меньше A_b

Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденного колебания, при приближении частоты внешней периодической силы к собственной частоте колеблющейся системы.

Энергия свободных незатухающих колебаний

Основными виды являются кинетическая и потенциальная энергия. При выведении E_пот

x = A sinω₀t

E кин. = = *cos²ω₀t = (1+cos2ω₀t)

V = x` = A ω₀ cosω₀t

E пот. = =

ω₀² =  k = m * ω₀²

E пот. = (1 – cos2ω₀t)

E = Eкин. + Eпот.

sin² + cos²𝛼 =1

cos²𝛼= (1+ cos2𝛼)

sin²=(1- cos²2𝛼)

E = *(cos²ω₀t + sin²ω₀t) =

Вывод:

Кинетическая и потенциальная E тела совершающего свободные незатухающие колебания с частотой ω₀ изменяется по гармоническому закону с частотой 2ω₀, при этом полная Е тела остаётся величиной постоянной.