3_Lektsia_Kinematika_kolebany
.docxКинематика колебаний
Кинематика – раздел механики, изучающий законы движения тел вне зависимости от причин, вызвавших это движение.
Колебания – процессы, повторяющиеся во времени.
По природе различают колебания:
-физические
-электромагнитные
-химические
-биологические
-социальные
В человеческом организме наблюдается около 500 колебательных процессов.
Механические колебания – колебания, характеризующиеся изменением только механических величин (смещения, скорости, ускорения, кинетической или потенциальной энергии).
Примеры идеальных физических систем, где могут наблюдаться колебания – математический и физический маятник.
Установлено, что колебания различной природы имеют ряд одинаковых закономерностей.
По форме:
-периодические (гармонические и негармонические)
-не периодические
Непериодические колебания
Периодические гармонические – sin; cos
Периодические негармонические
Периодическими называются колебания, в которых значение физической величины x повторяется через равные промежутки времени.
Условие: x(t)=x(t+mT), где T – период колебаний.
Период колебания - наименьший промежуток времени, через который значение физической величины x повторяется ([T]=C).
x
T
T,c
ν-частота колебаний – число колебаний, совершаемых телом за единицу времени.
ν=N/t; [ν]=с-1=Гц
ν=1/T
W-циклическая частота – число колебаний, совершаемых телом за 2π сек.
W=2πν=2π/Т; [W]=рад/с
Непериодические колебания – колебания, в которых значение физической величины повторяется через неодинаковые промежутки времени.
x
T,c
Среди периодических колебаний выделяют гармонические и негармонические колебания.
Гармонические колебания – это колебания, в которых изменение физической величины подчиняется закону синуса или косинуса.
Аналитическое представление (формула)
X=Asin(Wt+φ0)
X=Acos(Wt+φ0)
A-амплитуда – max значение (по модулю) периодически изменяющейся величины X.
A=⃒Xmax⃒
Для механических колебаний X-смещение тела от положения равновесия.
[X]=M, тогда A=⃒Xmax│смещения тела от положения равновесия; [A]=M.
φ-(фаза колебаний) фазовый угол – величина, стоящая под знаком sin или cos и определяющая значение величины x в момент времени t.
φ=Wt+φ0; [φ]=0; рад.
Графическое представление X=f(t)
x
t1
A
T
t=0
t2
t3
-T/2 φ0 t0 T/2 T t,C
-П -П/2 φ0 υ П/2 П 3П/2 2П
t1 t2
t3
-A
∆φ=2П; ∆φ=П
T=t; t=П/2
При t=0, X=Asinφ0
При X=0, φ0=-Wt0
Если t0>0, φ0<0
Если t0<0, φ0>0
Представление гармонического колебания в виде проекции вращающего вектора.
График зависимости проекции на ось Y вращающегося вектора длиной a (равной амплитуде) от времени, является графиком гармонического колебания.
Вращение вектора происходит против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью W.
Таким образом, гармонические колебания можно представить в виде вектора Ā, длина которого ⃒Ā⃒=А. Угол равен нормальной фазе φ0.
Ā
φ0
Сложение одинаково направленных колебаний
Сложение основано на принципе суперпозиций (наложения), который выполняется для колебательных систем с постоянными параметрами.
Если колебательная система участвует в нескольких колебаниях, то эти колебания не влияют друг на друга. Для одинаково направленных колебаний результирующее значение величины X (Xрез) в момент времени равняется алгебраический сумме значений величин X1; X2; X3….Xn каждого колебания в отдельности.
Сложение гармонических колебаний с одним ν
Пусть тело участвует в двух одинаково направленных гармонических колебаниях частоты которых одинаковы.
X1=A1sin(Wt+φ0)α
X2=A2 sin(Wt+φ0)β
То Xрез=X1+X2=Aрезsin(Wt+φрез).
Если A1=A2=A, то используем формулу sinα+sinβ=2cos((α-β)/2)*sin((α+β)/2).
Xрез=2Acos((φ01-φ02)/2)*sin(Wt+((φ01+φ02)/2))
Амплитуда результирующих колебаний зависит от разности фаз складываемых колебаний.
∆φ-разность фаз
∆φ=φ1-φ2
Если для двух колебаний ∆φ=0, то колебания совершаются в фазе. Если ∆φ=π, то колебания совершаются в противофазе.
Сложение гармонических колебаний с частотами кратными основной частоте.
Если тело участвует в нескольких одинаково направленных гармонических колебаний, частоты которых:
W1=W2
W2=2W
Wn-nW, n-целое число.
X1=A1sin(Wt+φ01)
X2=A2sin(Wt+φ02)
Xn=Ansin(Wnt+φ0n), то
Xрез=X1+X2+…+Xn будет колебанием периодическим, но не гармоническим, с частотой W.
Разложение периода колебания на гармонические колебания
Теорема Фурье
Периоды негармонических колебаний Xt с W, можно представить как сумму гармонических колебаний с частотами кратными этой частоте.
X(t)=A0+A1sin(Wt+φ01)+A2sin(2Wt+φ02)+…+ Ansin(Wnt+φ0n).
A1sin(Wt+φ01) – первая гармоника, все остальные – высшие гармоники.
W-частота данного периода колебаний – основная частота.
2W;3W;nW – частоты высших гармонических, кратные основной частоте.
Спектр – совокупность гармонических колебаний, на которые может быть разложено данное колебание.
К спектральным характеристикам относят АЧX – амплитудно-частотную характеристику.
ФЧX – фазо-частотная характеристика.
1.Для гармонических колебаний спектр линейчатый, состоящий из одной линии А.
2.Для периодического негармонического колебания спектр линейчатый, состоящий из совокупности линий.
3.Для непериодического колебания спектр сплошной.
A
A
A
W W W
