Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1265 вузов, 4639 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Физика конденсированного тела
Файл:
Baranov.Introduction to Physics Of Ultra Cold Gases.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
27.08.2013
Размер:
586.56 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

22

CHAPTER 2. BOSONS

2.2Trapped Bose gas

2.2.1 Box

In a box with V = L3, N particles and infinite potential at the walls the wave function of one particle is of the form

y(~r) =

L

 

3

sin( L nxx)sin( L nyy)sin( L nzz)

 

 

(2.33)

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

=

 

~2

 

2

p

 

2

 

 

2

 

2 2

 

 

 

 

 

p

=

 

p

n

 

 

 

(2.34)

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

~n

 

 

 

m

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

L

 

i

 

 

 

e

 

=

3

 

~ p

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

=

6

 

~ p

 

 

 

 

T N 32

 

 

 

 

(2.35)

 

2 mL2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

L3

 

 

1

2 mL2

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e0 TCN

3

> 0

(2.36)

= 3:31 m

 

= 3:31

 

mL2

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

N 3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

N = å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~n exp

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e~n

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Since N has to remain finite even for T ! 0, en m T has to hold (at least for low T ). To look at this we assume that

e0 m e1 e0

en m = en e0 + e0 m en e0:

|{z}

0

Using this assumption we get

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

1

 

 

 

 

+ å0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e0

 

m

 

 

 

 

 

en

 

e0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

1

 

1

 

n

 

exp

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

+ Z

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

d3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

e0

m

 

 

1

exp

 

en e0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

+

 

V

d3 p

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

e0

m

 

 

1

(2p~)3

exp

 

p2

 

 

1

 

 

 

 

 

= exp

e0

T

 

1

+ V n TC

3

 

 

 

 

 

2mT

 

 

m

 

 

 

 

 

N = V n:

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

T

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41)

(2.42)

(2.43)

2.2. TRAPPED BOSE GAS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

In (2.41) we substituted 4nx = 1 ) 4px =

~p

with

 

 

L

 

 

Z dnx dny dnz =

p~

3

Zp>0 d3 p = (2p~)3

Zp d3 p:

(2.44)

 

 

L

 

 

 

 

 

V

 

 

In (2.42) we note, that only terms with p e0 are important. From (2.43) we get

exp

e0

m

 

 

1

= N "1

TC

 

3

#

= N0

 

 

 

(2.45)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

01 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

,

 

 

e

 

 

m = T ln

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(2.46)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

B

 

 

N 1

 

 

T

 

2

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

T

 

 

@

1

 

 

 

 

 

 

 

A

(2.47)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

TC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

which is macroscopically small for T TC. This justifies our assumption above 2. For the number of particles in the first excited state we get at e1 e0 T TC

N1

=

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

T

 

(2.48)

exp

2

e1 m

 

1

 

exp

e1 e0

1

e1

 

e0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

T

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 3

1

 

but

 

 

 

 

 

 

(2.49)

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

N1

 

 

 

C

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 31

 

 

N

 

N :

 

 

 

 

 

 

(2.50)

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TC

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

Therefore the occupation of the ground state is macroscopically larger than that of any other state.

2.2.2Parabolic trap

In an isotropic parabolic trap with N particles and oscillator frequency w the energy is

e

= ~w

nx + ny + nz +

3

e

 

=

3

~w:

(2.51)

 

0

 

~n

 

2

 

2

 

 

2actually it only shows that our assumption is self consistent

24

 

 

 

 

 

 

CHAPTER 2. BOSONS

The same arguments as in 2.2.1 hold true that m ! e0 for T & 0. Redefining

˜

e0

= m

3

~w

˜

(2.52)

2

m = m

m & 0 for T & 0

 

T

 

 

 

 

 

 

 

nx =

C

nx0

 

 

 

 

(2.53)

~w

 

 

 

 

we get

N = å~n

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp e~n m 1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Z

dnxdnydnz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

for T & 0

exp

~w (nx

+ ny

+ nz)

 

1

=

~w

3

Z

d

n0

 

 

TC

 

 

 

 

 

 

 

exp(n0x + n0y + n0z) 1

 

 

 

 

 

TC

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

~w

3

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 Z

 

 

 

3

 

 

n(n0

+n0 +n0 )

 

 

 

 

 

TC

 

å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

d

n0 e x

 

y

z

 

 

 

 

 

~w

3

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

Z

 

 

 

n=1 Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

TC

 

 

å

dnx0 e n nx0

 

dny0 e n ny0

dnz0 e n nz0

 

 

 

 

 

 

~w

3

∞

 

 

 

 

 

 

 

~w

3

 

 

 

 

 

n=1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

TC

 

å

1

 

=

 

TC

 

x(3):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solving this for the critical temperature we get

1

1

1

TC = ~wN 3 x (3)

3

= 0:94N 3 ~w ~w:

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.60)

Quantitatively the critical temperature for a trapped gas can be obtained from the same type of arguments as in the homogeneous case:

~

1

 

lD pmT n¯

3

(2.61)

Since for a classical oscillator potential and kinetic energy have the same magnitude and the latter is related via (1.2) to temperature we can estimate the size of the cloud as

mw2R2 T

2 2

N n¯= R3

r

) R

1 T

w m

1

) TC ~wN 3 :

(2.62)

(2.63)

Соседние файлы в предмете Физика конденсированного тела
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности