вышка. КР№3

J

(1)

(x 2 y3

dx dy

(2)

(1)

dydz

x

y

y

z

T

+

(x 2 y3 )

(2)

dzdx

3 x 2 y2dx dy .

z

x

D

2

1

2

1

J

3 d

r2 cos2 r2 sin2 rdr

3 cos2

sin2 d

r5dr

.

8

0

0

0

0

Пример 3. Найти поток П векторного поля

(x 2; y2;z2 )

F

через

полную поверхность

Т пирамиды

W:

x

2y

3z

6,

x

0, y

0, z

0

(рис. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности.

z

2

n

W

0

3

y

x 6

Рис. 2.19

Решение. Поток равен

П

x 2dydz y2dzdx

z2dx dy .

П

(x 2 )

( y2 )

(z2 )

dx dydz

W

x

y

z

3

x

2

x

2 y

6

2

3

3

2

(x y

z)dx dydz

2 dx

dy

(x

y z)dz

W

0

0

0

3

x

6

2

8

4

5

x 2

14

8

y2

dx

4

x

y

x y

dy

0

0

3

3

9

9

9

6

7

13

10

x

x 2

x 3 dx

20.

0

6

108

51

Пример 4. Найти поток П векторного поля F

(x 3z)k

че-

рез

полную

поверхность

T

пирамиды

W:

x

2y 3z 6; x

0; y 0 ;

z 0

(рис.

2.20), в

направлении

внешней нормали к поверхности.

z

2

T3

T4

T2

y

O

3

T1

6

x

П

(x 3z)

dxdydz

3dxdydz 3V 18 , где V – объем пи-

W

z

W

П

(x 3z)dxdydz

;

T

T1

T2

T3

T4

,

(x

3z)dxdy

(x 3z)dxdy

0;

T3

T4

(x

3z)dxdy

xdxdy;

T1

G

(x

3z)dxdy

(x 6

x

2 y)dxdy;

T2

G

3

6

2 y

П

(6 x

2 y)dxdy

dy

(6 x

2 y)dx

G

0

0

3

2 y)2

(6 2 y)2

1

3

2 y)2 dy 18.

(6

dy

(6

2

2

0

0

52

y

3

x+2y=6

G

O

6

x

Рис. 2.21

Функция f (t)

действительного переменного

t называется

оригиналом, если она удовлетворяет условиям:

1)

f (t)

0 при t

0 ;

2)

существуют

такие

постоянные

M 0

и

S0 0 , что

f (t)

MeS0 t

для всех t;

3)

при t

0 функция

f (t) непрерывна или имеет конечное чис-

ло точек разрыва первого рода на каждом конечном интерва-

ле оси Ot.

Изображением функции f (t) по Лапласу называется функ-

ция

F( p)

комплексного переменного

p

i ,

определяемая

Тот факт, что F( p)

является изображением оригинала

f (t) , бу-

.

.

дем обозначать так:

F( p) L( f (t)) или F ( p) f (t), F ( p)

f (t) .

.

53

f (t) при t 0

L( f (t))

1

1

p

t n

n!

pn

1

e t

1

p

sin

t

p 2

2

cos t

p

p 2

2

sh

t

p 2

2

ch

t

p

p 2

2

t sin

t

2 p

( p2

2 )2

t cos

t

p2

2

( p2

2 )2

постоянного C 0 L( f (Ct))

1

F

p

.

C

C

L( f (t))

pF( p)

f (0);

L( f (t))

p2 F ( p)

pf (0)

f (0);

L( f (n) (t))

pn F ( p)

pn 1 f (0)

pn

2 f

(0)

f (n 1) (0).

5. Теорема о дифференцировании изображения.

L(t n f (t))

(

1)n F (n) ( p),

n

1,2, .

6. Теорема об интегрировании оригинала.

t

F ( p)

L f (s)ds

.

0

P

7. Теорема об интегрировании изображения.

L

f (t)

F ( y)dy

(если интеграл сходится).

t

p

8. Теорема запаздывания. L( f (t

t0 ))

e

pt0 F ( p)

,

t0 0 .

9. Теорема об изображении свертки двух функций.

t

L( f1 * f2 )

F1( p)F2 ( p) , где

f1 * f2

f1(s) f2 (t

s)ds

– свертка

0

функций f1(t) и f2 (t) ,

F1( p) L( f1(t)), F2 ( p) L( f2 (t)) .

Пример 1. Найти изображения функции shat sin bt .

Решение. Известно, что

L(sin bt)

b

F( p);

sh at

1

(eat

e at ) . Тогда

p2

b2

2

shat sin bt

1

e

at

sin bt

1

e

at

sin bt . По теореме линейности

2

2

имеем L(sh at sin bt)

1

L(eat sin bt

1

L(e at sin bt) . В каждом из

2

2

1

F( p a)

1

F( p a)

1

b

1

b

.Это и

2

2

2

( p

a)2

b2

2 ( p

a)2

b2

есть искомое изображение.

Пример 2. Найти свертку функций t и e t

и ее изображение.

t

t

t

Решение.

t * et

set

s ds

set e

s ds

et

se

s ds . Вычис-

0

0

0

ляя интеграл, имеем tet

et (1

te t

e t ) . По теореме об изобра-

55

жении свертки L(t * et ) L(t)L(et )

1

.

p2 ( p 1)

Пример 3. Найти L(te 2t

sin t) .

Решение. Найдем F( p)

L(sin t)

1

. По теореме о

p2

1

дифференцировании изображения

L(sin t t) F ( p)

1

2 p

G( p) . Наконец, по

p2 1

( p2

1)2

теореме смещения L(e 2tt sin t) G( p

2)

2( p

2)

.

(( p2 1)2

1)2

функцией p :

F( p)

u( p) / v( p) , где u( p) и v( p)

– многочлены

от p соответственно степени m и n, причем m n . Если разложе-

ние

v( p)

на

простейшие

множители

имеет

вид

v( p) ( p p )k1 ( p p )k2 ( p

p )kr , k k

2

k

r

n ,

то,

1

2

r

1

как известно,

F( p)

может быть разложена на сумму элементар-

Ajs

ных дробей вида

;

j

1, r;

s

1, k j . Итак,

( p

p j )k j

s 1

r

k j

Ajs

F ( p)

(3.1)

j 1s 1 ( p p j )k j

s 1

Все коэффициенты могут быть найдены по формуле

Ajs

1

lim

d s

1

[( p

p j )

k

j F ( p)]

.

(3.2)

(s

1)! p

p j dps

1

Находим коэффициенты Aij

по формуле (3.2)

A

1

lim (( p

1)3 F ( p))

lim

p

1

;

11

0! p

1

p 1 ( p

2)2 9

A

1

lim

d

(( p 1)3 F ( p))

lim

p

12

1!

dp

p

1

( p

2)2

p

1

lim

p

2 p

1

;

( p 2)3

p 1 ( p 2)2

27