вышка. КР№3

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

n n | Cn |

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

2.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Сходящийся знакопеременный ряд (7) называется условно сходящимся, если ряд (8) расходится.

Ряд вида

(

1) n 1 u

u ... ( 1) n 1 u

... ,

(9)

n 1

где un

n 12,,... , называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда

(9) удовлетворяют условиям:

u1 u2

u3 ...

un 1

... ,

lim un

0 ,то ряд (9) сходится. Сумма его положительна и не

превосходит первого члена u1 .Остаток rk

такого ряда имеет знак

своего первого члена и не превосходит его по модулю: | rk | uk 1 .

Примеры. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

а)	sin1					sin 2						sin 3				...			sin n		... ;
а)							22			32						...			n2		... ;
12							22			32									n2
б) 1			1					1	_		1		...			(			1)n 1		1		;
б) 1		23					43		_	63			...			(			1)n 1	(2n)3			;
		23					43			63										(2n)3
в) 1		1			1		...			( 1)					n 1		1	... .
в) 1		2		3			...			( 1)							n	... .
		2		3													n
Решения.
а) Ряд из модулей														\| sin1\|					\| sin 2\|			\| sin 3\|		. . .	\| sin n\|	. . . схо-
а) Ряд из модулей																		22			32			. . .	n2	. . . схо-
															12			22			32				n2

дится по признаку сравнения, так как его члены не превосходят

соответствующих членов сходящегося ряда	1	. Следователь-
	n2
n 1

но, исходный ряд сходится абсолютно.

б) Условия признака Лейбница здесь выполнены: ряд – зна-

кочередующийся,

, lim

0, n

12,, ... .

(2n)

(2(n

1))

(2n)

Следовательно,

этот

ряд

сходится.

Ряд

из

модулей

также сходится, то есть исходный ряд схо-

n 1 (2n)3

8 n 1 n3

дится абсолютно. Найдем сумму данного ряда с точностью 0,01. Для этого возьмем столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю меньше 0,01. Тогда остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет по модулю также меньше 0,01.Модуль

четвертого члена						1			1	0,01			, поэтому с точностью 0,01 име-
четвертого члена					63		216			0,01			, поэтому с точностью 0,01 име-
					63		216
ем:	S 1	1			1		1		1		1		57			0,89 .

		2	3		43				8	64			64
		2	3		43				8	64			64
	в) Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку
Лейбница, так				как				1		1	, n			12,,3, ... , lim			1	0 . Этот ряд
Лейбница, так				как				n n		1	, n			12,,3, ... , lim			n	0 . Этот ряд
								n n		1						n	n
сходится условно, так как ряд															1	, составленный из модулей
сходится условно, так как ряд													1 n			, составленный из модулей
												n	1 n

членов данного ряда, расходится (гармонический ряд).

1.4.Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды

Ряд вида u1(x) u2 (x) un (x)		un (x) , членами
	n	1

которого являются функции un (x) , называется функциональным.

Множество всех действительных значений аргумента x, для которых функциональный ряд

un (x )

(10)

n 1

становится сходящимся числовым рядом, называется областью

сходимости		этого	ряда. Функция		S (x ) lim S n (x ) , где
					n
S n (x)	u1 (x)	u2 (x)	... un (x) ,	а x	принадлежит	области
сходимости,		называется		суммой	ряда,	функция
R n (x)	S (x)	S n (x)	– остатком функционального ряда.

Для определения области сходимости ряда (10) можно использовать известные признаки сходимости числовых рядов, считая x фиксированным.

Функциональный ряд (10) называется равномерно сходя-

щимся на промежутке p	R, если для любого			> 0	существует
номер n0, не зависящий от x, что для всех n > n0				и для всех x		p
выполняется неравенство	\| R n (x )\| ,		то есть \| S (x)		S n (x)\|	,
где Rn(x) – остаток ряда.
Признак Вейерштрасса.		Если	\|un(x)\| Cn,	(n=1,2,...)		при
x [a; b] и числовой ряд	C n	сходится, то функциональный ряд

(10)сходится на отрезке [a, b] абсолютно и равномерно.

Теорема 4. Если члены сходящегося ряда (10) имеют непре-

рывные производные при x [a; b] и ряд из производных u'	(x )
n
n 1

сходится равномерно на [a, b], то ряд (10) можно дифференцировать почленно:

un (x)	un (x), x [a, b] .
n 1	n 1

Теорема 5. Если члены ряда (10) непрерывны на [a, b] и этот ряд сходится равномерно на отрезке [a, b], то ряд (10) можно интегрировать почленно:

b	b
un ( x) dx	un ( x) dx .
a n 1	n 1 a
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
C n (x a) n C0 C1 (x a) C2 (x	a)2 ... C n (x a) n ... , (11)

n 0

где Cn и a – действительные числа. Область сходимости степенного ряда (11) имеет один из следующих видов:

(a – R , a + R), [a – R , a + R), ( a – R , a + R], [a – R , a + R].

Число R называется радиусом сходимости, а интервал

(a - R , a + R) – интервалом сходимости степенного ряда (11). Ра-

диус сходимости можно находить по формулам:

если эти пределы существуют. В частных случаях R может быть равен 0 или .

Вопрос о сходимости степенного ряда (11) в концевых точках области сходимости, то есть при x = a – R, x = a + R, исследуется особо (с применением известных признаков сходимости числовых рядов).

Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же радиус и интервал сходимости, и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

		1	n
Пример 1. Найти область сходимости ряда	1		2 nx .
Пример 1. Найти область сходимости ряда	1	n	2 nx .
n 1		n
Решение. При фиксированном x этот ряд – знакоположи-
тельный. Применим к нему признак Коши. Найдем			предел
13

x < 0. При l = 1, т.е. при x = 0 данный функциональный ряд станет

		1	n	1	n
рядом	1		. Общий член ряда 1		при n	стремится
рядом	1	n	. Общий член ряда 1	n	при n	стремится
	n 1	n		n

к числу e, и поэтому ряд расходится (не выполнен необходимый

признак		сходимости). Итак,	область сходимости данного	ряда
(– , 0).
	Пример 2. Можно ли		почленно дифференцировать	ряд
	sin x	в области его сходимости?
n 1 n4		в области его сходимости?
n 1 n4

Решение. Областью сходимости данного ряда является вся числовая ось R=(– , + ), так как для любого x R верно неравен-

ство

sin nx

, а ряд

сходится. Члены исходного ряда

n 1

имеют непрерывные производные

sin nx

n cos nx

cos nx

ряд из производных

cos nx

сходится равномерно на R по при-

n 1

знаку

Вейерштрасса.

Действительно,

верны неравенства

cos nx

12,, . . . ,

R , а ряд

сходится. По теоре-

n 1

ме 4 исходный ряд можно почленно дифференцировать в области R его сходимости, т.е.

sin nx

R .

n 1

Пример 3.

Найти

область

сходимости

степенного

ряда

x n

n 1

Решение. Находим

радиус

сходимости

ряда.

, Cn 1

lim

C n

lim

lim 1

Это означает, что

C n 1

n n

1 . Далее,

исходный ряд сходится абсолютно при

иссле-

дуем сходимость ряда при x = 1. Если x = 1, то данный ряд ста-

новится

гармоническим

рядом

, который расходится.

n 1

Если

x = –1,

то

получаем

знакочередующийся

ряд

... ( 1)

n 1

... , который сходится по признаку Лейб-

ница. Следовательно, областью сходимости ряда является полу-

интервал [–1, 1). При		1	x	1 ряд сходится абсолютно, при
x 1 – условно.
Пример 4. Найти сумму ряда
	x3	x4	x5		x6
						... (\| x \| 1) .
3		4	5	6

Решение. Обозначим искомую сумму ряда через S(x), т.е.

	x 3		x 4		x 5		x 6
S (x )								. . . .		(12)
S (x )	3	4		5		6		. . . .		(12)
	3	4		5		6
										1 сходится аб-
Можно проверить, что исходный ряд при									x	1 сходится аб-

солютно. Дифференцируем почленно равенство (12):

S (x ) x 2 x 3 x 4 x 5 . . .	x 2
		, \| x \| 1

1	x

(применена формула суммы членов убывающей геометрической прогрессии). Отсюда, интегрируя и учитывая, что S(0)=0, находим

t 2

S(x)

0 S (t)dt

t 1

1 t

t 1

x ln | 1

x |, | x | 1.

Пример 5. Найти сумму ряда

2x2

3x3

4x4

5x5

...,| x |

1 .

Решение.

Обозначим

эту

сумму ряда через S(x), т.е.

S(x) 2x2 3x3

4x4

5x5 ....

Данное равенство

перепишем

так: S(x)=x Q(x),

где

Q(x)

3x 2

4x 3

5x 4 ... .

Почленное

интегрирование последнего равенства приводит к сумме членов убывающей геометрической прогрессии:

x	x	x		x			x
Q(t)dt	2tdt	3t 2dt			4t3dt		5t 4dt ...
0	0	0	0				0
x2 x3	x4	x5 ...		x2
						, \| x \|	1.
						, \| x \|	1.
			1		x
		15

Отсюда найдем Q(x): Q(x )		x 2	1			1		, поэтому
	1 x				(x	1)2
искомая сумма S(x) такова: S (x )	x Q(x )		x			x
							.
				(x		1)2

1.5. Разложение функции в ряд Тейлора

Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки x=a, то для нее можно написать ряд по степеням (x–a):

f (x )	f (a)		f (a)	(x a)	f (a)	(x a)2 ...	f ( n) (a)	(x a) n ...
f (x )	f (a)	1!		(x a)	2!	(x a)2 ...	n!	(x a) n ...
		1!			2!		n!
	f ( n) (a)	(x a) n .
n 0	n!	(x a) n .
n 0	n!

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f(x) в точке

x=a.

Теорема 6. Если функция f(x) и все ее производные ограничены на интервале (a–R, a+R) одним и тем же числом, т.е. существует постоянная M>0 такая, что выполняется неравенство

f (n) (x) M , x (a R, a R), n 0,1,2,... , то функция f(x) пред-

ставляется сходящимся к ней рядом Тейлора:

f (x)

f (n) (a)

a)n , x

R, a

R) .

(13)

Равенство (13) верно и в случае, когда остаточный член ряда

Тейлора R

(x )

f (x)

n f

( k ) (a)

a) k

стремится к нулю при

k !

. Остаточный член Rn(x) можно вычислить по формуле:

a)n 1

( n 1)

Rn (x )

a)], 0

1 .

(14)

1)!

Если lim R n (x )

0 , то ряд не сходится к данной функции.

Если в ряде Тейлора положим a=0, получим частный случай

ряда

Тейлора,

который

называют

рядом

Маклорена:

f (x )

f (0)

(0)

x 2 . . .

f ( n) (0)

x n .. . .

Приведем разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

e x

x 2

...

x n

... ( x

R);

sin x

...

(

1)n

x 2n

... ( x R);

(2n

1)!

cos x

x 2

x 4

...

(

1)n

... ( x R);

(2n)!

x)m

m(m

x 2

m(m

1)(m

x 3 ...

m(m

1)...( m

x n

... (| x |

1);

ln(1

x )

x 2

x 3

. . . ( 1)

x n

. . .

(| x |

1) .

Пример 1. Разложить

функцию

f (x )

sin

в ряд

Тейлора в окрестности точки x=0.

Решение. Имеем

f (0)

sin

Вычисляем

f (x)

cos

т.е.

(0)

cos

. Далее после-

x 0

довательно получаем:

(0)

sin

(0)

cos

f IV (0)

sin

Отметим, что

f ( n) (0)

(

. Записываем ряд Тейлора:

n2 n

sin x

...

(

... .

Пример 2. Разложить функцию

f (x )

x 2

в ряд по сте-

пеням x, используя разложения основных элементарных функций.

Воспользуемся приведенным выше биномиальным разложением

(1 x)	m	1 mx					m(m				1)	x	2					m(m			1)(m				2)		x	3	... .	(15)
(1 x)		1 mx							2!			x									3!						x		... .	(15)
									2!												3!
																																				1
																															x	2	2
																							9 x 2 3 1								x	2

Преобразуем					исходную									функцию:																				.
Преобразуем					исходную									функцию:																9				.
																														9
Подставим в формулу (15)											m		1			, а вместо x выражение																x	2		.

													2																			9
													2																			9
Получим следующее разложение:
													1				1			1					2
						1				x2												x2
													2				2
9	x2	3 1											2				2										...
9	x2	3 1			2				9								2!				9						...
					2				9								2!				9
1	1	1 ...		1				n	1					x2					n								x2
2	2	1 ...			2			n	1					x2						...	3 1						x2


			n!										9												2			9
			n!										9												2			9
	1		x4		1			3	x6						1		3 5...				(2n			3)		x2n ... .
222!92			x4	233!93					x6											2n n!9n						x2n ... .
222!92				233!93																2n n!9n
Разложение имеет место при												x 2						1 , т.е. при \|x\|<3.
Разложение имеет место при												9						1 , т.е. при \|x\|<3.
												9

1.6. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть функция f(x) в окрестности точки a разлагается в ряд Тейлора. Тогда приближенное значение функции f(x) в любой точке этой окрестности может быть вычислено как частичная сумма этого ряда.

Пример 1. Вычислить 3 130 с точностью до 0,001.

							1
		1				1	1

							3
Решение. 3 130 3 125 5	3 125 1		5 1				3	. Вос-

		25				25
		25				25
пользуемся биномиальным рядом (15) при m				1	, x	1		( 1,1) .
пользуемся биномиальным рядом (15) при m			3		, x	25		( 1,1) .
			3			25

Получаем:

					1		1	1			1	1	1	1	2
			1	1					1	2						1	3
						3	3			2	3	3		3			3
3 130	5 1																...

			3	25			2!		25				3!			25
			3	25			2!		25				3!			25
5 1	1	1		1	2		1	1		1	2		5		1	1	...

	3	25		3	3		2!	252		3	3		3		3!	253
	3	25		3	3		2!	252		3	3		3		3!	253
5,0000		0,0667			0,0009 ... .

Полученный ряд является знакочередующимся рядом. Третий член по модулю меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. С указанной точностью получим

3130 5,0000 0,0667 5,067 .

Пример 2. Вычислить e0,1

с точностью до 0,001.

Решение. Воспользуемся разложением

x 2

x 3

x n

1 x

. . .

R n ,

где

R n

x n 1

e x , 0

R . При x=0,1 получаем:

(n 1) !

e0,1

1 01,

(01,) 2

(01,)

. . .

(01,) n

. . . .

Определим, сколько

надо слагаемых для достижения требуемой точности. Так как

0,1				[0,0,5],							то				0		x	0,5 .			Тогда			e x	e0,5	2 ;
R n					x n 1			e x					2x n 1			.		При		x=0,1			имеем	неравенство:
R n								e x								.		При		x=0,1			имеем	неравенство:
					(n	1) !							(n		1) !
2			(01,) n			1	0,001. Полагая n=2, получим															2 0,001		0,0003	0,001 .
	(n			1) !			0,001. Полагая n=2, получим																6	0,0003	0,001 .
	(n			1) !																			6
Значит,									достаточно										взять				три	слагаемых:
e0,1				1		0,1	(0,1)					2			1,105 .

										2!
										2!
				Пример 3. Вычислить ln2 с точностью до 10 5 .
				Решение. Применим разложение
ln		1			x	2	x				x3			x5		x7		... .		Этот			ряд сходится			при

		1			x					3		5				7
		1			x					3		5				7
x			(–1,1). Если								1		x		2 , то x=1/3. Возьмем n-ю частичную сумму
x			(–1,1). Если							1			x		2 , то x=1/3. Возьмем n-ю частичную сумму
										1			x
ln 2				2		1	1			1		1			1	...		1			1		. Погрешность этого

						3	3			33		5			33				2n	1	32n 1
																		19

равенства выражается остатком ряда

Rn	2	1	1	1		1		...	. Для его оценки все

		2n 3 32n 3			2n 5		32n 5

множители в знаменателях, стоящие перед степенью 3, заменим на 2n+3. Получим

		Rn					2				1	1		1		...				2			1

				(2n 3)32n 3								32		34					(2n 3)32n 3				1
				(2n 3)32n 3								32		34					(2n 3)32n 3				1
																					1
																					1		9
																							9
			1				.	Решая неравенство												1		10	5 , нахо-
			1
	4(2n		3)32n 1															4(2n		3)32n 1
	4(2n		3)32n 1															4(2n		3)32n 1
дим, что n=4:								1				1		0,000001						10 5 . Итак,

						4 11 39					866052
						4 11 39					866052
ln 2		2	1		1	1			1	1		1	1		1		1
ln 2		2	3	3		33		5		35		7	37	9		39
			3	3		33		5		35		7	37	9		39
0,666667				0,024691						0,001646				0,000131					0,000011		0,69315 .

2. Приближенное вычисление определенных интегралов

Если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат области сходимости этого ряда, то соответствующий определенный интеграл можно вычислить с заданной точностью.

Пример 4. Вычислить интеграл

1/4 sin x

с точностью до

0,00001.

Решение.

Разделив почленно ряд для sin x на x, получим

x 3

x 5

...

sin x

x 2

x 4

... . Этот ряд сходит-

ся при

R. Интегрируем его почленно.

1/ 4 sin x

1/ 4

x 2

x 4

x 6

...

x 3

x 5

x 7

1/ 4

...

0,25000

0,00087

0,0000016 ....

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.03.20163.94 Mб79Высшая математика ч2 (3.сем).pdf
#
31.05.20153.98 Mб66Высшая математика(Контр.раб.1-4).doc
#
31.05.2015356.44 Кб54Вычеты.docx
#
30.04.2019543.31 Кб4вышка шпоры.docx
#
26.09.2019732.65 Кб11ВЫШКА ШПОРЫ.docx
#
31.05.20152.3 Mб14вышка. КР№3.pdf
#
29.04.2019855.55 Кб2ВЭД Мет_1.doc
#
29.04.20191.03 Mб11ВЭД Мет_2.doc
#
29.04.201967.07 Кб3ВЭД СОДЕРЖАНИЕ дисциплины.doc
#
13.11.20193.04 Mб38Г П С(100%готово).doc
#
01.08.2019500.22 Кб5Гісторыя Беларусі.doc