lection-1-2009-
.pdf
Рис. 8. 5.
Рассмотрим приложение выше сказанного к построению линий пересечения двух прямых круговых конусов: вертикального и горизонтального Г.
Задача 4. Найти линию пересечению двух прямых круговых конусов Дано: и Г – конусы (рис. 8. 6).
∩ Г =?
Решение: ∩ Г = m, n – две плоские кривые.
91
Рис. 8.6
Оба конуса описаны около общей сферы, следовательно, пересекутся по двум плоским кривым. Боковая поверхность конуса Г будет касаться сферы по окружности k , а конуса по окружности l . Обе окружности пересекутся в точках A и A', так как принадлежат одной сфере. Это и есть точки соприкосно-
92
вения двух рассматриваемых конусов. Остается только соответственно соединить фронтальные проекции точек пересечения очерковых 12 , 22 , 3 2 , 4 2 и мы получим вырожденные фронтальные проекции плоских кривых пересечения m2 и n2 , которые и в этом случае будут эллипсами. Если задача решена с достаточной точностью, то m и n обязательно пересекутся в точках соприкосновения A и A'.
В других случаях, отвечающих условиям теоремы Монжа, при изменении относительных размеров и взаимного положения поверхностей вращения в пространстве линии их пересечения могут принимать форму гипербол или парабол.
Следует отметить, что пересечение по теореме Монжа является пограничным случаем в очертании линий пересечения поверхностей вращения.
Если в последней задаче изменить относительные размеры конусов так чтобы сфера минимального радиуса (Rmin ) вписывалась бы в вертикальный конус , а горизонтальный пересекала, то линии их пересечения распадутся на две пространственные кривые m и n , полностью пересекающие образующие горизонтального конуса Γ (рис. 8.7). В этом случае горизонтальный конус протыкает вертикальный.
При изменении параметров конусов таким образом, чтобы сфера минимального радиуса Rmin вписывалась в горизонтальный конус и пересекала вертикальный (рис. 8.8), характер пересечения меняется. Теперь уже вертикальный конус протыкает горизонтальный.
Рис. 8.7 |
Рис. 8.8 |
93