Контрольная работа для Ольги Лысой

dx

а)

y =

+

; б) y = xarcsin x ; в) x4 - 6x2 y2 + 9 y4 - 5x2 +15 y2 -100 = 0 ;

x arcsin

x

1- x

x = t 2 + 2,

г)

1

y =

t3

-1.

3

Решение.

а)

y =

+

;

x arcsin

x

1- x

(xr )¢ = rxr −1 и (arcsin x)¢ =

1

. Тогда получим

- x2

1

dx

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

dy

=

+

¢

=

¢ +

¢ =

¢ ×arcsin

+

×

¢ +

x arcsin

x

1- x

x arcsin

x

1- x

x

x

x

arcsin

x

1

1

- x)¢

1

1

−1 ×arcsin

1

×(

)¢ -

1

arcsin

x

+

×(1- x)

−1 ×(1

=

× x

x

+

x

×

x

=

+

2

2

2

2

2

1- (

x )

2 1- x

2 x

1

1

arcsin

1

1

arcsin

+

×

-

=

x

+

-

=

x

.

x

2 x × 1- x 2 1- x

2 x

2 1- x 2 1- x

2 x

б)

y = xarcsin x ;

Применяем операцию логарифмирования, получаем ln y = ln xarcsin x ,

(ln y )¢ = (arcsin x ×ln x)¢ ,

1

×

dy

= (arcsin x)¢ ×ln x + arcsin x ×(ln x)¢ ,

y dx

dy

1

1

ln x

arcsin x

= y ×

×ln x

+ arcsin x ×

= xarcsin x ×

+

.

dx

x

x

1- x2

1- x2

в) x4 - 6x2 y2 + 9 y4 - 5x2 +15 y2 -100 = 0 ;

Производная неявной функции F (x, y ) = 0 вычисляется по формуле

dy

= -

Fx′

, где

F ¢

dx

y

Fx′ и Fy′ частные производные по x и y соответственно.

Вычислим частные производные:

Fx¢ = (x4 - 6x2 y2 + 9 y4 - 5x2 +15 y2 -100)¢

= 4x4−1 - 6 × 2x2−1 × y2 - 5 × 2x2−1 = 4x3 -12xy2 -10x ,

x

Fy¢ = (x4 - 6x2 y2 + 9 y4 - 5x2 +15 y2 -100)¢

= -6 × x2 ×2 y2−1 + 9 × 4 y4−1 +15 ×2 y2−1 = -12x2 y + 36 y3 + 30 y .

y

dy

4x3 -12xy2 -10x

2x (2x2 - 6 y2 - 5)

x

Тогда получим

= -

=

=

.

dx

-12x2 y + 36 y3 + 30 y

6 y (2x2 - 6 y2 - 5)

3y

x = t 2 + 2,

г)

1

y =

t3

-1.

3

x = x (t ),

вычисляется по

Производная функции заданной параметрически

y = y (t ),

формуле

dy

=

yt′

. Тогда

x¢

dx

t

dy

=

(t2 + 2)¢

=

2t 2−1

=

2t

=

2

.

1

dx

1

3

¢

×3t3−1

t 2 t

t

-1

3

3

lim

1− x2

=

1−(−0)2

= +∞ и lim

1− x2

=

1−(+0)2

= +∞.

(−0)2

(+0)2

x→−0 x2

x→+0 x2

Прямая x = 0 вертикальная асимптота.

2) Четность не четность функции.

y (−x) =

1−(−x)2

=

1− x2

= y (x).

(−x)2

x2

Функция четная. Функция не периодическая.

3) Пересечение с осями координат:

с осью Ox : y =

1− x2

= 0 ,

x = −1 и x =1 . Точка (-1; 0) и (1; 0) .

x2

1

2

с осью Oy : так как x = 0

не входит в область определения, точек пересечения с

1- x2 ¢

1

¢

1 ¢

2 1

2

y¢ =

=

-1

=

- (1)¢

= -2 × x

− − - 0

= -

x

2

2

2

x

3

x

x

Критических точек нет.

Составим таблицу

x

(-¥; 0)

0

(0; +¥)

y′

+

−

y

+¥). Точек экстремума нет.

Функция

возрастает

(-¥; 0)

, убывает (0;

5) Выпуклость и вогнутость функции, точки перегиба.

1 ¢

3 1

6

y¢¢ = -2 ×

= -2 ×(-3)× x− −

=

> 0

3

x

4

x

Так как вторая производная функции на всей области определения больше 0, то

функция на всей области вогнута

6) Найдем асимптоты графика функции при x → ±∞ . Асимптоты вида y = kx +b ,

где k = lim

y

и b = lim

(y - kx).

x→∞ x

x→∞

Тогда

2

1

1

1- x

2

1- x

2

x

-1

-1

2

x2

x

k = lim

: x

= lim

= lim

= lim

= 0 и

x

2

x

3

x

3

x

x→∞

x→∞

x→∞

x→∞

2

1

1- x

2

1- x

2

x

-1

1

2

x

= 0 -1 = -1 .

b = lim

- 0 × x

= lim

= lim

= lim

-1

x

2

x

2

x

2

2

x→∞

x→∞

x→∞

x→∞ x