Ф__120 Физика

Статистическая физика. Термодинамика

Основные определения и формулы

Идеальным газом называют газ, молекулы которого имеют пре­ небрежимо малый собственный объем и не взаимодействуют друг с другом на расстоянии.

Нормальные условия: р0 = 1,013-105 Па, Т0 = 243,15 К.

Закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа и при Т = const (изотермический процесс)

pV = const.

Закон Шарля: для данной массы газа и при V = const (изохорический процесс)

р

— = const.

Т

Закон Гей-Люссака: для данной массы газа и при р = const (изо­ барический процесс)

V

— = const.

Т

Уравнение состояния идеального газа: для данной массы иде­ ального газа

т м

где ш - масса газа, R - молярная газовая постоянная (R = = 8,31 Дж/(моль-К)), М - молярная масса газа.

Единица количества вещества в СИ - моль.

Моль - количество вещества системы, в котором содержится столько же структурных элементов (молекул, атомов), сколько атомов содержится в 0 ,0 ] 2 кг изотопа углерода с атомной массой

1 2 ( !2 С ).

50

Моли разных газов содержат одинаковое число молекул, назы­ ваемое числом Авогадро NA= 6,023-1023 моль”1.

Величину М, равную отношению массы газа m к количеству

молей v, содержащихся в нем j^M = —j , называют молярной мас­

сой газа, поэтому

N

V - N a '

Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме их парциальнных давлений:

р = 2 > -

Барометрическая формула, выражающая убывание давления га­

за с высотой h над поверхностью Земли: Mgh

Р = Рое RT -

где р0давление на высоте h = 0, Т - температура газа, g - ускоре­

ние силы тяжести.

Средняя квадратичная скорость:

где Vj (i = 1, 2, ... N) - скорость i-ой частицы, N - число частиц в газе.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:

P = | n ( e ) = - j n m 0 ( v „ ) \

где п - число молекул в единице объема (концентрация молекул), { £ ) = ^ m0 v2 jj 2 - средняя кинетическая энергия поступательного

движения одной молекулы. Для однородного по составу частиц газа

51

Зависимость средней кинетической энергии поступательного движения молекул от температуры

<Еп ) = (3/2)кТ,

где к - постоянная Больцмана, равная

к = — = 1,38-10 23 Д ж /К ,'

Среднеквадратичная скорость поступательного движения молекул газа:

Наиболее вероятная скорость молекул:

Средняя арифметическая скорость поступательного движения молекул идеального газа:

Зависимость давления газа от концентрации п молекул и темпе­ ратуры Т

р = n кТ.

Числом степеней свободы i называется число независимых ве­ личин, с помощью которых может быть задано положение тела или частицы в пространстве. Для молекул одноатомного газа i = 3 (три поступательные степени свободы), двухатомного газа i = 5 (три по­ ступательные и две вращательные степени свободы), трех- и более

52

атомных газов i = 6 (три поступательные и три вращательные сте­ пени свободы).

Средняя кинетическая энергия (поступательного и вращатель­ ного движения) молекулы

< o 4 k T-

Среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой за секунду,

<z) = V2 nd2 n (v ),

где d - эффективный диаметр молекулы, п - концентрация моле­ кул.

Общее число столкновений всех молекул друг с другом в еди­ нице объема за единицу времени

Z = i ( z ) n .

Средняя длина свободного пробега молекулы

W = v d d v

Уравнение диффузии (закон Фика):

dm = -D — dS dt, dx

где — - градиент плотности, dm - масса, переносимая при диффуdx

зии за время dt через малую площадь dS, расположенную перпен­ дикулярно к оси ОХ, вдоль которой осуществляется перенос; D - диффузия (коэффициент диффузии).

D = I(v )(X ) .

Сила внутреннего трения в жидкости (газе), действующая на элемент поверхности слоя dS

53

F ^ - r ^ d S . dx

где r| - динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения)

Л = 7 Р {v) { * ) = D p ,

3

dv

-------изменение скорости движения слоев на единицу длины в наdx

правлении нормали к поверхности слоя, р - плотность газа или жидкости.

Уравнение теплопроводности (закон Фурье):

dQ = -К — dS dt, dx

где dQ —количество теплоты, проходящей при теплопроводности за время dt через площадь dS, расположенную перпендикулярно к оси ОХ, в направлении которой осуществляется перенос тепла; К - теплопроводность (коэффициент теплопроводности), dT/dx - гра­ диент температуры.

K *-jc¥p{v){X) = iicv,

cv - удельная теплоемкость газа а изохорическом процессе.

Первое начало термодинамики: количество теплоты, сообщен­ ное системе, идет на увеличение ее внутренней энергии и соверше­ ние системой работы над окружающими телами

Q = AU + А.

Изменение внутренней энергии для идеального газа

ди = — - R A T .

М2

Молярная теплоемкость измеряется количеством теплоты, необ­ ходимым для нагревания одного моля вещества на один Кельвин:

c- i l f i . v dT

где v = ш/М - количество вещества.

54

Удельная теплоемкость измеряется количеством теплоты, необ­ ходимым для нагревания единицы массы вещества на один Кель­ вин, т.е.

1dQ

°“ m dT '

Связь между удельной и молярной теплоемкостями с = С/М.

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме Cv = iR /2 .

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении Ср - Cv + R = (i + 2) R/2 .

Внутренняя энергия идеального газа

U = ^ - - R T = — CVT . М 2 М

При элементарном изменении объема газа совершается работа dA = pdV.

Впроизвольном термодинамическом процессе

А= Jv3 pdV .

V!

Работа идеального газа при изобарном процессе A = p(V 2 -V i).

Работа идеального газа при изотермическом процессе

А= — RT In — .

МV,

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса в идеальном газе

стей газа при постоянных давлении и объеме.

Работа идеального газа при адиабатическом процессе выражает­ ся следующими формулами:

55

Коэффициент полезного действия тепловой машины

где А - работа, совершенная рабочим веществом в течение цикла, Qi - количество теплоты, полученное от нагревателя за это время рабочим веществом, Q2 - количество теплоты, отданное им при этом холодильнику, Т| и Т2 - наивысшая и наинизшая температуры рабочего вещества.

Знак равенства в формуле для г) относится только к машине, ра­ ботающей по циклу Карно.

Изменение энтропии тела в любом обратимом процессе, перево­

дящем его из состояния А в состояние В, равно

в

А

где dQ - элементарное количество теплоты, полученное телом при температуре Т.

Второе начало термодинамики: энтропия замкнутой системы при любых происходящих в ней процессах не уменьшается - она возрастает при необратимых процессах и остается постоянной в случае обратимых процессов, т.е

AS > 0.

56

Примеры решения задач по статистической фи­

зике и термодинамике

Пример 1. Вычислить, какое число молекул кислорода содержится в сосуде объемом V = 1 л при нормальных условиях. Найти массу m кислорода в сосуде, а также массу ш0 одной его молекулы. Чему

равна внутренняя энергия U этого газа?

Решение: Молярная масса кислорода М=0,032 кг/моль, по­ этому масса одной молекулы кислорода

М

mn = ---- ,

NA

raeNA = 6,02-1021 моль"1 - число Авогадро. Следовательно

где при нормальных условиях давление р = 1,013-105 Па и темпера­

где N - число молекул в объеме V = 10-3 м3, то из (1) и (2) следует,

что

Масса газа равна массе всех его молекул, т.е.

57

m = Nm0,

поэтому

m = 2,7 • 5,32 ■10-4 кг = 1,44 г .

Внутренняя энергия заданной массы идеального газа равна

U = —— RT, 2 М

где R = 8,31 Дж/(моль-К) - молярная газовая постоянная; i = 5 - число степеней свободы жесткой двухатомной молекулы кислоро­ да. В результате вычислений получаем

lJ = 5-1.44J(,--;8.31-273.15

2-0,032

Ответ: N = 2,7-1022; m = 1,44 г; ш0 = 5,32-10"26 кг; U = 255 Дж.

Пример 2. Плотность кислорода в сосуде р = 0,06 кг/м3, а средне­ квадратичная скорость его молекул (vKB) = 500 м/с. Найти давление

р, которое оказывает газ на стенки сосуда, а также температуру Т газа и концентрацию п его молекул.

где т 0 - масса молекулы кислорода. Учтем, что р = nm0. С учетом, этого соотношения выражение ( 1) принимает вид:

1 / \ 2

P = - P ( Vkb) , откуда получаем следующий результат:

р = —0,06 - 5002 Па = 5 кПа . 3

Для среднеквадратичной скорости справедливо следующее соотношение:

58

= 0,032 кг/моль - молярная масса молекулярного кислорода. Воз­ ведем равенство (2 ) в квадрат и получим из него окончательное выражение

Давление газа связано с концентрацией его молекул следующим соотношением:

р = n k Т,

где к = 1,38-10-23 Дж/К - постоянная Больцмана. С учетом этого соотношения

п= ^ - . кТ

Вычисление приводит к итоговому результату:

n = -------------------= 1,13-Ю24 м"3.

1,38-10“23-321

Ответ: р = 5 кПа; Т = 321 К; п = 1,13-Ю24 м“3.

Пример 3. В одном баллоне объемом V] = 15 л находится газ под давлением pj = 0,2 МПа, а в другом - тот же газ под давлением Рг = 1 МПа. Баллоны, температура Т которых одинакова, соедине­ ны тонкой короткой трубкой с краном. Если открыть кран, то в обоих баллонах устанавливается давление р = 0,4 МПа. Каков объ­ ем У2 второго баллона?

59