Ф__120 Физика

где I - момент инерции цилиндра относительно оси вращения. В данном случае ось вращения совпадает с осью цилиндра, поэтому

I = - m r 2 . 2

Тогда

Знак минус у Mz означает, что сила оказывает тормозящее действие.

Модуль силы F, действующей на цилиндр: |М ,|

F = — — = 0,005 Н .

0,20 Ответ: F = 0,005 Н ; М = -1 • 10~4 Н • м .

Пример 5. Тело массой mi = 1 кг ударяется о неподвижное тело массой т 2 = 4 кг. Считая удар центральным и абсолютно упругим, найти, какую часть энергии первое тело передает второму при ударе.

Решение: Поскольку удар абсолютно упругий, то для него выпол­ няется закон сохранения энергии

где Vi, v2, ui, u2 - скорости тел соответственно до и после удара. Кинетическая энергия второго тела до удара была равна нулю. По­ сле удара изменение энергии второго тела AWK= Wk2 , где Wk2 - кинетическая энергия второго тела после удара. По определению:

30

По закону сохранения импульса

nijV, + m 2v 2

Т.к. v7 = 0, то

а закон сохранения импульса в проекции на ось, параллель­ ную скорости движения первого тела, запишем так:

Решая систему уравнений (1), (2), найдем

2m,v, u2 = — J - i - .

m, + m2

Кинетическая энергия второго тела после удара

Определим часть энергии, которую передаст первое тело при ударе:

Wk2 4m,m2 .

WKi

WK2 4-1-4 n , ,

Wri (1 + 4 )2

w

Ответ: —-*^-= 0,64 .

WKl

Пример 6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы дви­ жется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от

времени задана уравнением S = 2t2+4t + l (м). Определить работу

31

силы за 10с от начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Решение: Работа, совершаемая силой, равна:

A = jFdS.

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна

dt2

Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по

А = j"4m(4t + 4)dt.

ч

По этой формуле вычислим работу, совершаемую силой за первые 10 с движения (tj = 0, t2 = 10с):

A = 1 • (8 • 100 + 16 • 10) = 960 Дж .

32

Кинетическая энергия тела

(5)

Подставляя (4) в формулу (5), получаем:

Пример 7. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой Ш| = 180 кг вращается вокруг вертикальной оси с частотой п=10мин В центре платформы стоит человек массой шг = 60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола поме­ щения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение: Согласно условию задачи, момент внешних сил относи­ тельно оси вращения Z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии про­ екция Lz момента импульса системы платформа - человек остается постоянной.

где 1гмомент инерции платформы с человеком относительно оси Z; (о - угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, вхо­ дящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии

а в конечном состоянии

rz = i; + r 2.

С учетом этого равенство (1) примет вид:

(2) где значения моментов инерции I] и Ь платформы и человека соот­ ветственно относятся к начальному состоянию системы, IJ и Г2 - к конечному.

зз

Момент инерции платформы относительно оси Z при переходе человека не изменяется:

I| = ~ m 1R2.

Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции Ь в начальном состоянии можно считать равным нулю. В конечном состоянии момент инерции человека

Г2 = m2R 2.

Подставим в формулу (2) выражения для моментов инер­ ции, начальной угловой скорости вращения платформы с че­

ловеком ( го = 271П ) и конечной угловой скорости (&' = , где v - скорость человека относительно пола). Получаем

(д tti,R2 + 0jsrcn = ^ m,R2 + m2R2j ~ ,

откуда

2TtnRm,

v = 7---------- Ч ,

(m, + 2т2)

2 - З Д 4 - - 1 ,5-180

V = ------------------------= 1м/с. 180 + 2 ■60

Ответ: v = 1 м/с.

Пример 8. Диск массой m = 2 кг, радиусом R = 10 см враща­ ется вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр с частотой п = 600 мш Г1. Через At = 20 с под действием тор­ мозящего момента диск остановился. Считая массу диска рав­ номерно распределенной, найти тормозящий момент М и число оборотов N, которое сделает диск до полной остановки.

34

Решение: Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно использовать основное уравне­ ние динамики вращательного движения

начальную угловую скорость через частоту вращения диска. Тогда

©„ = 2тт и Аоо = - 2 ти1 .

О

М омент инерции диска

где ш - масса диска; R - его радиус. Тогда формула (1) при­ мет вид

-TtnmR2

М= -------

At

-3,14 ■10 -2г- 0,01

знак минус у М указывает на то, что на диск действует тор­ мозящая сила.

Угол поворота за время вращения диска до остановки мо­ жет быть определен по формуле для равнозамедленного вра­ щения

(2 )

35

где s - угловое ускорение. По условию задачи, сз = сое - е At;

со = 0; s At = со0. Тогда из формулы (2)

со„ At со„ At

N = 1 ^ = 100.

2

Ответ: М = -3,1 ■10'2 Н • м ; N = 100.

Пример 9. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармони­ ческие колебания с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеб­ лющейся частицы Е = ОД мДж. Определить амплитуду А ко­ лебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.

Решение: Для определения амплитуды колебаний воспользу­ емся выражением для полной энергии частицы

Е = —1шо2А 2 ,

2

где © = . Отсюда искомая амплитуда равна

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следова­ тельно, может быть выражена соотношением

36

F = - k x ,

где к - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение ко­ леблющейся точки. Максимальная сила будет при макси­ мальном смещении хтах , равном амплитуде,

37

Контрольная работа № 1

101. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение

движения имеет вид: S = 2t + 0,04t3 (расстояние - в метрах, время - в секундах). Найти скорость и ускорение точки в моменты времени tj = 0 и t2= 5 с. Каковы средние значения скорости и ускорения за первые 5 с движения?

102. Материальная точка движется по окружности радиуса 80 см согласно уравнению S = 10t —0slt3 (расстояние - в метрах, вре­ мя - в секундах). Найти скорость, тангенциальное, нормальное и

точки в момент времени t2 = 6 с.

104. Движения двух материальных точек выражается уравне­ ниями: х, = 20 + 2 t - 4 t 2(м) и х 2 =2 + 2t + 0,5t2 (м). В какой мо­ мент времени скорости этих материальных точек будут одинако­ выми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

В = 3 м/с , С = 4 м/с3. Найти: 1) зависимость скорости v и ус­ корения а от времени t; 2) расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения,

106. Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением S = A - B t + Ct2(м), где А = 6 м, В = 3 м/с, С = 2 м/с2. Найти среднюю скорость и среднее ускорение тела в интервале времени от 1 до 4 с, скорость и ускорение в момент времени tj = 4 с.

38

107. Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением S = А + Bt + Ct2 (м), где А = 3 м, В = 2 м/с и С = 1 м/с2. Найти среднюю скорость и среднее ускорение тела за первую, вто­ рую и третью секунды его движения.

108. Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается

уравнением S = A + Bt + Ct2 + Dt3(M), где С = 0,14 м/с2 и D = = 0,01 м/с3. 1) Через сколько времени после начала движения уско­ рение тела будет равно 1 м/с2? 2) Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени?

109. Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы 15 Н. Зависимость координаты от времени имеет вид

х =>Ш ~ 5t + 2t2 (м). Найти массу тела.

(j 10)» Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно, причем зави­ симость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением

S = A - B t + Ct2 - D t 3(м), где С = 5м/с2 и D = 1 м/с3. Найти силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

111. Сплошной диск массой 0,2 кг вращается вокруг оси, прохо­ дящей через его центр масс, под действием момента сил

0,8-10~2Н-м. Закон вращения имеет вид ср = 5 - 1 + 2t2(pafl). Опре­

Ф = А + Bt + Ct3 (рад), где А = 3 рад; В = -1 рад/с; С = 0,1 рад/с3.

Определить тангенциальное ат, нормальное а„ и полное а ускорение точек на окружности диска для момента времени tj = 10 с.

114. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость

39