Ф__120 Физика

А12 = WП1- WП2>

где W - потенциальная энергия системы в начальном (1) и конеч­

ном (2) положении системы. Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

w ; = i k x 2,

где к - жесткость пружины; х - абсолютная деформация;

ствующих тел; г - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести Wn = m g h ,

где g - ускорение свободного падения; h - высота тела над уров­ нем, условно принятым за нулевой (формула справедлива при ус­ ловии h « R, где R - радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия консервативной системы не изменяется с течением време­ ни, т.е.

W = Wn + WK= const.

Консервативной системой называют систему, в которой дейст­ вуют только консервативные силы.

Закон сохранения механической энергии, в частности, справед­ лив для замкнутой системы, т.е. системы, на которую внешние си­ лы не действуют, а все внутренние силы являются консервативны­ ми.

Момент М силы F относительно центра вращения

M = [?,F],

20

где г - радиус-вектор, проведенный из центра вращения в точку приложения силы.

Момент импульса материальной точки относительно центра вращения

L = [г, mv],

где mv - импульс этой точки, г - ее радиус-вектор.

Момент инерции материальной точки относительно оси враще­ ния

I = mr2,

где ш - масса точки, г - расстояние ее от оси вращения.

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции материальных точек, составляющих это тело:

J=i г*2 л т *•

Моменты инерции некоторых однородных тел вращения отно­ сительно их геометрических осей вращения:

-тонкостенный цилиндр 1 = mr2,

- сплошной цилиндр I mr2 ,

2тг2

- шар I = —-— .

Момент инерции однородного тонкого стержня длиной I отно­

сительно оси, проходящей через середину стержня перпендикуляр­ но его длине

I _ т^2

Момент инерции I тела относительно любой оси вращения и момент инерции 10 тела относительно оси, параллельной данной и

проходящей через центр инерции тела, связаны соотношением (теорема Штейнера)

21

I = I0 + md2,

где m - масса тела, d - расстояние между осями.

Основное уравнение динамики вращательного движения твер­ дого тела относительно точки вращения:

i

ныхктелу, в - его угловое ускорение.

Основное уравнение динамики вращательного движения отно­ сительно неподвижной оси Z

Mz = Izs,

где Mz —результирующий момент внешних сил относительно оси Z, действующих на тело; в - угловое ускорение; Izмомент инер­ ции относительно оси вращения Z.

Момент импульса симметричного твердого тела относительно центра вращения равен произведению момента инерции тела на угловую скорость:

L = I5.

Момент импульса системы тел есть векторная сумма моментов импульсов всех тел системы:

Закон сохранения момента импульса относительно точки О: ес­ ли результирующий момент внешних сил, приложенных к системе,

равен нулю ( М =0), то момент импульса системы есть величина постоянная, т.е.

L = const.

Проекция на ось Z момента импульса тела, вращающегося отно­ сительно неподвижной оси Z:

Lz = Izco, где со - угловая скорость тела.

22

Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающих­ ся вокруг неподвижной оси Z:

1гсо = co n st,

где \.г- момент инерции системы тел относительно оси Z; оо - уг­ ловая скорость вращения тел системы вокруг оси Z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z:

При повороте тела относительно оси Z на угол dtp совершается работа:

dA = М ^ф .

Смещение частицы от положения равновесия, ее скорость и ус­ корение при гармонических колебаниях определяется уравнения­ ми:

чальная фаза.

Циклическая частота со, период колебаний Т и частота v связаны соотношениями:

2я

со = — = 2лу .

Т

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое коле­ бание того же периода х = A sin (cot + cp), амплитуда которого А и начальная фаза ф определяются уравнениями:

А , соэф, + A , cos Ф2

23

где А] и А2 - амплитуды складываемых колебаний, <р, и ф2 - их

начальные фазы.

Сила, действующая на тело при свободном гармоническом ко­ лебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:

F = т а = -тсо2х = - к х ,

где к = тсо2 - коэффициент квазиупругой силы, определяемый си­ лой, вызывающей смещение х, равное единице.

При отсутствии сопротивления среды циклическая частота со0

свободных гармонических колебаний, называемая собственной циклической частотой, и период Т равны:

где I - момент инерции маятника относительно оси качания, d - расстояние от оси до его центра тяжести.

Полная энергия тела, совершающего свободные незатухающие гармонические колебания, постоянна и равна

W = mco2A2

2

Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии силы сопротивления Fconp, пропорциональной скорости

( Fconp = -rv ^ гДе г ~ коэффициент сопротивления) имеет вид х = A0e_|3t sin(oot + ср0).

24

Здесь А0е-Г1' - убывающая во времени амплитуда смещения; Р - коэффициент затухания; ю - циклическая частота; А0, срп - на­ чальная амплитуда и фаза (определяются из начальных условий). Величины (3 и со выражаются через параметры системы г, m, к со­ гласно формулам:

где А[ и А2 - амплитуды двух последовательных колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний

А"

-ю 2J + 4 р ’(02

где h есть отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела; <о0 - собственная циклическая частота; со - циклическая частота вынуждающей силы.

Резонансная циклическая частота равна

®рез V®o-2p2 .

25

Примеры решения задач по механике

Пример 1: Уравнение движения материальной точки имеет вид:

х = А + Bt + Ct4 (м), где А = 1м, В = 2м/с, С = -0,5 м/с4. Найти коор­ динату, скорость и ускорение точки в момент времени t| = 3 с.

Решение: Координату Xi точки находим, подставляя числен­ ные значения в уравнение движения.

х, =(1 + 2-3-0,5-81)м = 33,5м .

vx = (2-4-0,5-27)м/с = -52 м/с . ах = -12 -0,5 -9 м/с2 = -54 м/с2 .

Следовательно, точка движется в отрицательном направлении оси ОХ равнозамедленно.

Ответ: х, = 33,5 м , vx = -52 м /с, ах = -54 м /с2 .

Пример 2. Тело вращается вокруг непод­

В = 20 рад/с; С = -2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находящейся на рас­ стоянии г = 0,1 м от оси вращения в мо­ мент времени t] = 4 с.

Решение: Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометри­

26

ческая сумма тангенциального ускорения at , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения ап , направ­ ленного к центру кривизны траектории:

а = ат + а п .

'Гак как векторы a t и ап взаимно перпендикулярны, то модуль ус­ корения

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вра­ щающегося тела выражаются формулами

aT=er; ап =(»2г,

где со - модуль угловой скорости тела; е - модуль его углового ус­

Угловую скорость со найдем, взяв первую производную от угла по­ ворота по времени

со = — = В + 2C t. dt

В момент времени tj = 4 с модуль угловой скорости со = (20 + 2'(-2)'4)рад/с = 4 рад/с .

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени, т.е.

со = — = 2С = -4 рад/с2. dt

Подставляя значения со, е и г в формулу (2), получим а = 0,ц/(-4)2 +44 м/с2 =1,65м /с 2.

Ответ: а = 1,65 м / с2.

Пример 3. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу in = 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подве­

27

приобретает угловое ускорение в. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:

где в = —: Iz = —mr2- момент инерции блока относительно оси Z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити

Тогда

28

Сила, действует касательно к поверхности, поэтому sin а = 1, тогда Mz - F r, откуда

F_»k

г

Тормозящий момент можно определить из основного уравне­ ния динамики вращательного движения

М = fe,

29