lab_math_1

61

Лабораторная работа № 5

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

5.1.Общие сведения

Вэтой лабораторной работе рассматривается один из наиболее распространенных методов решения задачи, поставленной в предыдущей лабораторной работе. Пусть проводится некоторый экспери-

мент, в результате которого получены наборы значений x1, x2,…, xn и y1, y2,…, yn некоторых параметров этого эксперимента, причем значению xi соответствует значение yi , i =1, 2,..., n . Требуется исследовать зависимость параметра ( y) от параметра (x) , т. е. получить аналитическое выражение (эмпирическую формулу) y = f (x) ,

которая достаточно точно отражала бы эту зависимость.

Эта задача решается по-разному, в зависимости от того, какой смысл вкладывается в слова «достаточно точно». Если выдвигается требование, чтобы кривая y = f (x) прошла через все точки (xi, yi ) ,

то мы приходим к методам интерполяции и сплайн-интерполяции, рассмотренным в предыдущей лабораторной работе.

Однако, требование прохождения кривой y = f (x) в точности через все точки (xi, yi ) можно ослабить и заменить его на требова-

ние, чтобы искомая кривая проходила достаточно близко к этим точкам (т. е. yi ≈ f (xi ) . Это связано с тем, что всякий эксперимент

имеет свою погрешность измерений (зависящую от качества изме-

рительной аппаратуры и других априорных обстоятельств), и, поэтому нельзя утверждать, что значения найдены абсолютно точно.

При такой постановке задачи можно (хотя и не всегда) получить достаточно простое аналитическое выражение для эмпирической формулы y = f (x) . Оценку качества формулы можно провести,

придерживаясь условия, чтобы величина max | yi − f (xi )| не пре-

i=1, n

вышала погрешности эксперимента. Методику определения эмпирической формулы можно разделить на 3 основных этапа:

а) определение вида функциональной зависимости: линейная,

62

степенная, показательная, логарифмическая и т.д.; б) вычисление коэффициентов эмпирической формулы по методу наименьших квадратов; в) оценка погрешности найденной формулы.

5.2.Выбор эмпирической формулы

Вкачестве основных будем рассматривать следующие девять формул, содержащих по два параметра:

Графики указанных зависимостей имеют вид:

63

Для выбора наиболее подходящей (одной или нескольких) формулы можно поступить следующим образом. Нанесем на координатную плоскость все точки (xi, yi ) из исходной таблицы значений

и соединим их плавной (насколько это возможно) линией. Сравнивая полученную линию с девятью эталонными графиками, выберем один или несколько наиболее похожих.

После того, как мы определили вид эмпирической формулы, находим коэффициенты a и b в этой формуле и проводим оценку погрешности. Для этого могут служить величины:

В технических задачах используется, как правило, максимальная относительная погрешность.

Пользуясь этими величинами, можно сравнить качество нескольких подходящих зависимостей по принципу минимизации максимальной погрешности.

5.3. Метод наименьших квадратов для двухпараметрической зависимости

Итак, мы будем искать такую формулу y = f (x) по таблице значений (xi, yi ) , которая обеспечивала бы наименьшее (в определенном роде) отклонение кривой от точек (xi, yi ) . Так как параметры

есть функция 2-х переменных.

Упражнение 1. Укажите на графике расстояния, соответствующие отклонениям.

64

Для того чтобы найти значения параметров a и b , при которых

n

суммарные отклонения S(a, b) = ∑di(a, b) были бы наименьшими,

i=1

следует исследовать на экстремум функцию 2-х переменных. Как известно, для этого надо решить систему уравнений относительно

от параметров a и b нелинейно, данная система (даже для 2-х параметров) представляется весьма сложной для анализа. Поэтому более подробно мы рассмотрим случай линейной зависимости от параметров.

∆a = t1s0 −t0s1 , ∆b = t0s2 −t1s1 .

Упражнение 2. Докажите, что последняя система всегда имеет единственное решение.

Упражнение 3. Докажите, что решение последней системы доставляет минимум для функции S(a, b)

5.4.Сведение некоторых нелинейных зависимостей

кслучаю линейной зависимости (метод линеаризации)

В4.3 мы подробно остановились на линейной эмпирической формуле, так как в этом случае формулы для нахождения параметров a и b имеют простой вид. Оказывается, что любую из приве-

денных в 4.2 зависимостей можно свести к линейной путем несложных преобразований.

65

линейкой зависимости Y = AX + B . После нахождения коэффициентов А и В описанным в 4.3 методом, исходные параметры найдем

по обратным формулам a = eB , b = A .

Упражнение 4. Покажите, как остальные зависимости из 4.2 можно свести к линейной зависимости.

5.5. Пример нахождения коэффициентов эмпирической формулы в случае двухпараметрической зависимости

Пусть дана таблица экспериментальных данных:

66

системы sk и tk : s0 = 6 , s1 = 2,45 , s2 =1,4914 , t0 = 2,3510 , t1 =1,0293. Получили систему линейных алгебраических уравнений

для нахождения коэффициентов A и B : {1,4914 A+2,45 B=1,0293 . 2,45 A +6 B = 2,3510

Попробуем теперь провести вычисления для формулы (5) (случай 0 < b <1 ). Прологарифмируем соотношение (5) и проведем преобразования переменных Y = ln y , X = ln x и переобозначим коэф-

фициенты A = b , B = lna . Получим новую таблицу данных (округления проведем с точностью до четырех знаков после запятой):

t1 = 6,5467 . Получили систему линейных алгебраических уравнений

B = 0,7671, или Y = 0,1594 X +0,7671. Переходя к «старым» переменным, получим окончательный вид эмпирической формулы: y = 2,1535 x0,1594 .

Замечание. Если мы имеем дело с нелинейной зависимостью вида (2)–(9), параметры которой мы находим, используя метод линеаризации, то мы не находим именно ту функцию, y = f (x,a,b) ,

для которой величина max | yi − f (xi )| является минимальной, а

i=1, n

получаем только функцию, близкую к данной. Следует учесть в данном аспекте, что мы выбираем нужную зависимость весьма

67

субъективно (используя эмпирические точки) и не всегда можем «угадать». Тогда следует поступать следующим образом: сделать расчеты для нескольких наиболее приемлемых зависимостей, а за-

тем выбрать именно ту, для которой величина max | yi − f (xi )| бу-

i=1, n

дет наименьшей. Конечно, данный процесс будет эффективным только при использовании компьютерной техники.

Следуя этому замечанию, составим таблицу:

Изобразим полученные данные на диаграмме. Из таблицы видно, что максимальная абсолютная погрешность для первой формулы

68

5.6. Метод наименьших квадратов для многопараметрической зависимости

Будем считать, что эмпирическая модель зависит от k параметров и имеет вид y = ϕ(x,β1,β2,...,βk ) . По методу наименьших квад-

ратов для определения параметров β1,β2,...,βk , которые доставляют

Довольно простому анализу поддается только случай, когда эм-

где обозначения те же, что и в п. 4.3.

5.7. Пример нахождения коэффициентов эмпирической формулы в случае многопараметрической зависимости

Пусть дана таблица экспериментальных данных:

69

Считая, что зависимость между этими переменными имеет вид y =β1 +β2x +β3x2 , найти значения параметров β1,β2,β3 по методу

наименьших квадратов.

Здесь имеет смысл провести преобразование переменных, так как непосредственное составление системы приведет к очень большим числам (например s4 = 611875 ), что в дальнейшем может зна-

чительно повлиять на точность нахождения решения этой системы. Переобозначим: X = x −515 , Y =10( y −60) . Таблица примет вид:

Так как зависимость между старыми и новыми переменными линейная, то вид эмпирической функции останется прежним, а имен-

но квадратичная функция Y = α1 +α2 X +α3X 2 (хотя, чтобы найти

связь между старыми и новыми переменными стоит потрудиться). Система для нахождения параметров α1, α2, α3 примет вид:

70