5 Погрешности измерений

Обычно для описания и для аппроксимации систематической погрешности подбирают наиболее простую функцию, например линейную для прогрессирующей погрешности. Такой же упрощенный подход применяют и для аппроксимации гармонической систематической погрешности, которая может быть описана как синусоида, косинусоида, пилообразная либо другая периодическая функция.

Систематическая погрешность может иметь не только элементарный, но и более сложный характер, который можно аппроксимировать функцией, включающей приведенные простые составляющие. Сложная систематическая погрешность, включающая постоянную, прогрессирующую и периодическую составляющие, в общем виде может быть описана выражением

_s = a + b + dsin,

где a – постоянная составляющая сложной систематической погрешности;

,  – соответственно аргументы прогрессирующей и периодической составляющих сложной систематической погрешности.

Альтернативой систематической погрешности является случайная погрешность.

Стандартное определение случайной погрешности измерения в строгом смысле не является определением, поскольку содержит «порочный круг»: составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины. Здесь также использовано некорректное упоминание измерений одной и той же величины, а, кроме того, содержится бессмысленная характеристика качества выполнения измерений («проведенных с одинаковой тщательностью»).

Случайными погрешностями в строгом смысле термина можно считать только те, которые обладают статистической устойчивостью (ведут себя как центрированная случайная величина). Причиной появления таких погрешностей чаще всего является совокупное действие ряда слабо влияющих дестабилизирующих факторов, связанных с любыми источниками погрешностей, причем функциональные связи аргументов с погрешностями либо отсутствуют (в наличии только стохастические зависимости), либо не могут быть выявлены из-за неопределенности факторов и большого их числа.

Погрешности, которые ведут себя как центрированные случайные величины, можно оценивать вероятностно, применяя для этого математический аппарат теории вероятностей и математической статистики. Каждую из таких погрешностей нельзя предсказать индивидуально, но можно оценить вероятность их появления в определенном интервале значений.

Погрешности, которые нельзя отнести ни к случайным, ни к систематическим из-за совершенно иного механизма образования и значения, принципиально отличного от ожидаемого, называют грубыми погрешностями измерений или промахами. Промах – погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

Определение промаха сформулировано весьма неудачно, в первую очередь некорректным является упоминание «данных условий». Очевидно, что причинами возникновения грубой погрешности могут быть промах оператора при снятии отсчета или его записи, ошибка в реализации методики измерений, сбой в измерительной цепи прибора или незамеченное импульсное изменение влияющей физической величины. Причины появления результатов с грубыми погрешностями резко выпадают из ряда механизмов, формирующих систематические или случайные составляющие погрешности измерений. Однако «резкое отличие» не является критерием и оставляет значительные возможности для произвола.

«Результат измерения с грубой погрешностью» фактически вызван ошибкой, допущенной при измерении, поэтому результаты с грубыми погрешностями следует признать ошибочными и подлежащими устранению.

В некоторых метрологических источниках грубые погрешности измерений относят к случайным, что соответствует вульгарной трактовке понятия случайности и маскирует различия механизмов возникновения собственно случайных и грубых погрешностей. Грубые погрешности в принципе непредсказуемы, а их значения невозможно прогнозировать с учетом вероятности как это делают для случайных погрешностей. Фактически к результатам с грубыми погрешностями относят либо такие, которые явно не соответствуют ожидаемому результату измерений (нелепые результаты), либо экстремальные значения, отличия которых от средних значений массива выражены не столь откровенно, но принадлежность которых к данному массиву результатов имеет весьма малую вероятность.

Отбрасывание (элиминация) результатов с грубыми погрешностями предупреждает возможность значительного искажения оценки результатов измерений. Исключение результатов может осуществляться либо цензурированием явно нелепых значений, либо статистическим отбраковыванием экстремальных результатов (подозрительных на наличие грубых погрешностей), которое основано на принципе практической уверенности. Применение этого принципа позволяет отбрасывать те значения, вероятность появления которых в исследуемом массиве данных меньше некоторой заранее выбранной.

По значимости все погрешности (составляющие и интегральные) можно делить на значимые и пренебрежимо малые. К пренебрежимо малым составляющим относят погрешности, которые значительно меньше доминирующих составляющих. Соотношение между пренебрежимо малой _min и доминирующей _max составляющими можно записать в виде

_min << _max.

Практика показывает, что случайную или систематическую составляющую можно отнести к пренебрежимо малым погрешностям, если она на порядок меньше доминирующей составляющей той же интегральной погрешности. Столь малые погрешности при объединении всех составляющих _i в комплексную оценку интегральной погрешности  практически не оказывают влияния на окончательный результат, что формально после ранжирования составляющих в порядке увеличения можно записать как

 = ₁* ₂ *… *_i *… *_n  ₂ *…*_i *… *_n,

где ₁ = _min<< _max.

Пренебрежимо малой погрешностью измерения (интегральной) можно считать такую, которая не является препятствием для замены истинного значения физической величины полученным результатом. В соответствии со стандартом за действительное значение физической величины принимают такое значение, которое получено экспериментально (в результате измерений) и настолько близко к истинному, что для данной задачи измерений может заменить истинное

X _дQ  Q,

где X _дQ – действительное значение физической величины;

Q – истинное значение физической величины.

Если различие между истинным значением величины Q и результатом ее измерения X_дQ мы считаем пренебрежимо малым, можно записать

_дQ  0,

где _дQ – погрешность измерения действительного значения величины.

Для одной и той же физической величины могут рассматриваться разные действительные значения. Оценка близости этих значений к истинному зависит от задачи измерения. Очевидно, что точность измерения при установлении годности детали по заданному параметру может быть значительно ниже, чем при сортировке деталей по этому параметру на группы для последующей селективной сборки или при исследовании точности технологического процесса обработки детали.

Для установления действительного значения измеряемой величины следует выбрать значение допустимой погрешности измерений, которая будет представлять собой предел пренебрежимо малого значения погрешности измерений. Допустимая погрешность – это норма, которую не должна превысить реализуемая погрешность измерений.

Определенные сложности связаны с классификацией погрешностей на статические и динамические. Делить погрешности на статические и динамические принято в зависимости от режима измерения. Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения. Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения.

Стандартные «определения» фактически только именуют, но не определяют статическую и динамическую погрешности измерений. Кроме того, имеются определения динамической и статической погрешностей средств измерений. Динамическая погрешность средства измерений – погрешность средства измерений, возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины. Статическая погрешность средства измерений – погрешность средства измерений, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную. Все эти определения непригодны для идентификации динамической погрешности, поэтому метрологи вынуждены искать выход из сложившейся ситуации самостоятельно.

В соответствии с ранее действовавшим стандартом динамической погрешностью средства измерений называлась составляющая погрешности, дополнительная к статической, и возникающая при измерении в динамическом режиме. В соответствии с этим определением

_дин = _д.р – _ст.р ,

где _дин – динамическая погрешность средства измерения;

_д.р – погрешность средства измерения при использовании его в динамическом режиме;

_ст.р – статическая погрешность средства измерения (погрешность при использовании средства измерений в статическом режиме).

Динамический режим измерений встречается не только при измерении изменяющейся величины, но и при измерении величины постоянной. И в том и в другом случаях (рисунок 5.5) возможна слишком высокая скорость «подачи информации» на средство измерений V_Q (скорость изменения сигнала измерительной информации на входе средства измерений) которая оказывается соизмерима со скоростью преобразования измерительной информации V_{Q X} и/или даже выше ее.

Например, в контрольно-сортировочных автоматах для измерения диаметров тел качения подшипников измеряется постоянная физическая величина – длина. Но из-за необходимости обеспечить высокую производительность автомата скорость изменения входного сигнала измерительной информации может оказаться выше скорости преобразования измерительной информации средством измерения. В таком случае из-за «запаздывания» с преобразованием сигнала возникают динамические погрешности (рисунок 5.6).

T T

Поскольку речь идет не столько о средствах измерений, сколько об их работе в специфическим режиме, динамическую погрешность не следует считать инструментальной. Эту погрешность нужно рассматривать более широко – как составляющую итоговой (интегральной) погрешности, обусловленную динамическим режимом измерений.

Поиск и оценка погрешностей – не самоцель, найденные оценки погрешностей используют для оценки результата измерений и/или для повышения его точности.

В тех случаях, когда удается определить значение погрешности, в результат может быть внесена поправка – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения погрешности. Знак поправки противоположен знаку погрешности.

Исключение систематических погрешностей измерения не только из отдельных результатов измерений, но из целых серий, полученных при многократных измерениях одной и той же физической величины, в метрологии принято называть «исправлением результатов», а полученные при этом результаты – исправленными. Статистическая обработка массивов результатов измерений, образующих серии, недопустима без предварительного «исправления результатов», т.е. исключения результатов воздействия, по крайней мере, переменных систематических составляющих погрешностей.

Исключение систематических погрешностей не может быть идеальным, в любых результатах измерений присутствуют неисключенные систематические погрешности или неисключенные остатки систематических погрешностей.

Неисключенная систематическая погрешность – составляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешностей или систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие ее малости. (Иногда этот вид погрешности называют неисключенный остаток систематической погрешности).

Наиболее интересна возможность анализа ансамбля неисключенных остатков систематических погрешностей как массива случайно распределенных величин. Парадоксальность ситуации заключается в том, что массив случайно распределенных величин состоит из погрешностей, каждая из которых является систематической. Однако, для того, чтобы получить такой ансамбль, в ряде случаев приходится прибегать к специальной организации измерений. Такой прием называют рандомизацией систематических погрешностей. Иногда рандомизация получается самопроизвольно, но для того, чтобы использовать для оценки погрешностей аппарат теории вероятностей и математической статистики, необходимо убедиться, что мы в действительности имеем дело со случайным распределением исследуемых величин.

Неисключенные систематические погрешности могут быть либо значимыми, либо пренебрежимо малыми. К значимым относятся те невыявленные систематические погрешности и неисключенные остатки систематических погрешностей, которые соизмеримы со случайными составляющими погрешности измерений.

Невыявленные систематические погрешности, превосходящие случайные составляющие, могут привести к существенному искажению результатов измерений, что особенно опасно при выполнении прецизионных измерений со сравнительно малыми случайными погрешностями. В грамотно организованных измерениях значимые невыявленные систематические погрешности не имеют права на существование, они подлежат обязательному выявлению, оценке и исключению.

Неисключенные остатки имеют место при любом, даже самом тщательном выявлении и исключении систематических составляющих. В принципе они могут быть выявлены и исключены (как систематические), однако иногда остаются невыявленными из-за сложности технического решения такой задачи. В подобных случаях необходимо оценивать предельные значения этих погрешностей или их порядок. Если измерения характеризуются наличием нескольких неисключенных остатков систематических погрешностей, для расчета результирующего («суммарного») значения применяют аппарат теории вероятностей и математической статистики, в силу сходства механизмов формирования ансамбля этих погрешностей и случайных величин.

Применение такого математического аппарата тем более оправдано в случаях, когда систематическая погрешность отдельной реализации является случайной величиной в ансамбле однородных событий. Например, систематическая погрешность конкретной меры массы (гири) является случайной для партии гирь одного номинала и класса точности. Границы такой погрешности могут быть определены как границы поля допуска приписанного значения меры.

Статистическая обработка ансамбля неисключенных систематических составляющих приводит к появлению таких парадоксальных оценок, как значение среднего квадратического отклонения систематической составляющей погрешности и связанные с ним предельные значения или доверительные границы неисключенных остатков систематической погрешности с указанием доверительной вероятности, а также качественные оценки (принятая аппроксимация) закона распределения. Если полученные оценки значений неисключенных систематических погрешностей соизмеримы со случайными составляющими, расчет «суммарного значения» неисключенных остатков систематических погрешностей и учет их совместного со случайными составляющими влияния на результаты измерений должен осуществляться с применением специального аппарата математической обработки, который приведен в ГОСТ 8.207.

Традиционно в метрологии приводят «классификации погрешностей измерений по формам используемых оценок». При строгом подходе видно, что эти классификации относятся не к самим погрешностям, а к формам их выражения и используемым оценкам.

Общеприняты и практически непротиворечивы классификации по формам выражения погрешностей измерений. Абсолютные погрешности выражают в единицах измеряемой величины, а относительные, которые представляют собой отношение абсолютной погрешности  к значению измеряемой величины, могут быть рассчитаны в неименованных относительных единицах (или в именованных относительных единицах, например в процентах или в промилле). Формальное выражение относительной погрешности (_отн) может быть представлено в виде:

_отн = /Q,

а при использовании относительной погрешности, выраженной в процентах

_отн = (/Q)  100 %.

где  – абсолютная погрешность измерения;

Q – истинное значение физической величины.

Либо, принимая во внимание незначительное для данного выражения различие между истинным значением физической величины Q и результатом ее измерения X, можно записать

_отн  /X,

а также

_отн  (/X)  100 %.

Для характеристики средств измерений иногда используют такой специфический класс относительных погрешностей, как приведенные погрешности средств измерений (_прив), то есть отношение абсолютной погрешности к некоторой нормирующей величине (Q_норм)

_прив =  /Q_норм,

В качестве нормирующей величины могут использоваться верхний предел измерений, больший из модулей пределов измерений, если нулевое значение находится внутри диапазона измерений, а верхний и нижний пределы не одинаковы по модулю, и другие величины, оговоренные ГОСТ 8.401.

Формы оценок погрешностей, используемые в метрологии и в технических измерениях, весьма разнообразны. Они включают качественные характеристики и количественные оценки погрешностей измерений.

Качественные характеристики погрешностей в простейшем случае ограничиваются указанием их детерминированного или стохастического характера. Для систематических погрешностей дополнительно может быть указана тенденция (постоянная, прогрессирующая, периодическая), а при более полной информации – функция, описывающая изменение погрешности.

Для случайных погрешностей качественной характеристикой может быть аппроксимация функции распределения вероятностей. В метрологии приняты и наиболее часто применяются нормальное распределение (распределение Гаусса), равновероятное, трапециевидное и распределение Релея. При необходимости используют и другие аппроксимации.

Случайная составляющая погрешности вызывает рассеяние результатов измерений, которое носит вероятностный характер. Рассеяние результатов в ряду измерений – несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей. Количественными оценками рассеяния результатов в ряду измерений могут быть:

• размах результатов измерений,

• среднее арифметическое значение погрешности (по модулю),

• среднее квадратическое значение погрешности или стандартное отклонение результатов измерений (среднее квадратическое отклонение, экспериментальное среднее квадратическое отклонение),

• доверительные границы погрешности (доверительная граница или доверительная погрешность).

Размах результатов измерений – оценка R_n рассеяния результатов единичных измерений физической величины, образующих ряд (или выборку из п измерений). Размах результатов измерений Rn определяют из зависимости

R_n = X_max – X_min,

где X_max и X_min – наибольшее и наименьшее значения результатов в серии.

Размах отклонений R_e от среднего или произвольно выбранного значения (равен размаху результатов измерений) определяют из зависимости

R_e = e_max – e_min,

где e_max и e_min – наибольшее и наименьшее отклонения результатов от некоторого фиксированного значения.

Более строгими в математическом смысле оценками погрешностей можно считать среднее арифметическое значение погрешности в серии результатов, среднее квадратическое отклонение погрешности от точечного значения результата измерения, границы погрешности.

Средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений – оценка рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения. В метрологической практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение (СКО) единичных результатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения. Это отклонение иногда называют стандартной погрешностью измерений. Если в результаты измерений введены поправки для устранения систематических погрешностей, то отклонения от среднего арифметического значения можно рассматривать как случайные погрешности. В РМГ 29 – 99 предлагается для упорядочения совокупности терминов, родовым среди которых является термин «погрешность измерения», применять термин «средняя квадратическая погрешность». При обработке ряда результатов измерений, свободных от систематических погрешностей, СКП и СКО представляют собой одну и ту же оценку рассеяния результатов единичных измерений.

Границы погрешности могут быть определены как предельные значения или как доверительные границы с указанием вероятности попадания погрешности в указанный интервал. В качестве предельных значений или границ могут рассматриваться нижняя и верхняя границы (н и в либо – и +), значение модуля погрешности  (в случае если – = +) или значение модуля, равное большему из абсолютных значений – и +.

Доверительные границы погрешности результата измерений (доверительные границы погрешности; доверительные границы) – наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое значение погрешности результата измерений.

Доверительные границы результата измерений при симметричном распределении вычисляются как , ,

где , – средние квадратические погрешности, соответственно, единичного и среднего арифметического результатов измерений;

t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и числа измерений п.

При симметричных границах термин может применяться в единственном числе – доверительная граница. Иногда вместо термина доверительная граница применяют термин доверительная погрешность или погрешность при данной доверительной вероятности.

Одной из современных характеристик точности измерений является неопределенность измерений (неопределенность) – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине. К определению, которое взято из VIM—93, приведены примечания, из которых следует, что параметром может быть стандартное отклонение (или число, кратное ему) или половина интервала, имеющего указанный доверительный уровень.